Forhold

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 9. september 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Ratio i matematik (ratio, proportion) er forholdet mellem to homogene numeriske værdier [1] . Normalt udtrykt som " a til b " eller nogle gange udtrykt aritmetisk som resultatet (ikke nødvendigvis et heltal ) af at dividere to numeriske værdier [2] , der direkte repræsenterer hvor mange gange det første tal indeholder det andet [3] .

Kort sagt viser forholdet, at for hver mængde af én ting, er der hvor meget af noget andet. Antag for eksempel, at nogen har 8 appelsiner og 6 citroner i en frugtskål, er forholdet mellem appelsiner og citroner 8:6 (eller tilsvarende 4:3), og forholdet mellem citroner og appelsiner er 3:4. Derudover vil antallet af appelsiner i forhold til det samlede antal frugter være 4:7 (svarende til 8:14). Et forhold på 4:7 kan konverteres til en brøkdel af 4/7, hvilket viser, hvor stor en andel af det samlede antal frugter, der er appelsiner.

Betegnelser og udtryk

Forholdet mellem tallene A og B kan repræsenteres som: [2]

desuden skrives forholdene som regel som forhold mellem heltal, og i dette tilfælde er forholdet mellem tallene A og B også

Tallene A og B kaldes i denne sammenhæng nogle gange termer (termer), hvor A  er antecedenten , og B  er den efterfølgende .

Proportionen , der udtrykker ligheden mellem forholdene A  : B og C  : D , skrives som A  : B = C  : D eller A  : B∷ C  : D . Læser:

A er til B som C er til D.

Og i dette tilfælde kaldes A , B , C , D medlemmer af andelen. A og D  er de ekstreme led i forholdet, og B og C  er de midterste led.

Nogle gange kan der skrives tre eller flere led i forhold. For eksempel vil dimensionerne af en genstand med en sektion på to til fire og en længde på ti centimeter være 2: 4: 10. Ligheden mellem tre eller flere forhold kaldes en kontinuerlig proportion ( engelsk  fortsat proportion - en række forhold ). ). [2]

Historie og etymologi

Det er umuligt at spore oprindelsen af ​​forholdsbegrebet, da de ideer, hvorfra det udviklede sig, må have været kendt af præ-litterære kulturer. For eksempel er ideen om, at en landsby er dobbelt så stor som en anden, så grundlæggende, at selv et forhistorisk samfund ville have forstået det. [fire]

For at betegne forholdet brugte grækerne udtrykket anden græsk. λόγος , som latinerne gengav som ratio ("rimelig grund"; som i ordet "rationel") eller som proportio . (Et rationelt tal kan opfattes som resultatet af forholdet mellem to hele tal.) En mere moderne fortolkning af den gamle betydning er tættere på "beregning" eller "beregning". [3] Boethius ("Fundamentals of Arithmetic", "Fundamentals of Music", tidligt 6. århundrede) brugte ordet proportio (sammen med ratio , comparatio og habitudo ) til at betegne ratio og proportionalitas (oversættelse af andet græsk. ἀναλογία ) til at betegne proportioner (relationsforhold) [5] . Denne terminologi (på grund af Boethius' udbredte brug af aritmetik og musik) blev også praktiseret i middelalderen.

Euklid kombineret i elementerne resultater fra tidligere kilder. Pythagoræerne udviklede teorien om forhold og proportion som anvendt på tal [6] . Det pythagoræiske talbegreb omfattede kun rationelle tal , hvilket rejste tvivl om teoriens anvendelighed inden for geometri, hvor der, som pythagoræerne også opdagede, er inkommensurable dimensioner svarende til irrationelle tal . Opdagelsen af ​​teorien om relationer, som ikke antog sammenlignelighed, tilhører sandsynligvis Eudoxus af Cnidus . I Bog VII af "Begyndelsen" er en tidligere teori om forholdet mellem sammenlignelige størrelser givet [7] .

Eksistensen af ​​adskillige teorier ligner en unødvendig komplikation til den moderne opfattelse, da forholdet i høj grad bestemmes af resultatet af division. Dette er dog en ret ny opdagelse, som det kan ses af, at moderne geometrilærebøger stadig bruger forskellig terminologi for forhold (ratio) og divisionsresultater (kvotient, kvotient). Det er der to grunde til. For det første var der den førnævnte modvilje mod at genkende irrationelle tal som sande tal. For det andet forsinkede manglen på udbredte symboler (notationer) til at erstatte den allerede etablerede terminologi af nøgletal den fulde accept af brøker som et alternativ indtil det 16. århundrede. [otte]

Euklids definitioner

Bog V i Euklids elementer indeholder 18 definitioner vedrørende relationer [9] . Derudover bruger Euklid ideer, der var i så udbredt brug, at han ikke definerer dem. De to første definitioner siger, at en del af en mængde er en anden størrelse, der "måler" den, og omvendt er et multiplum af en mængde en anden størrelse, der måles af den. I moderne termer betyder dette, at et multiplum af en mængde er den mængde ganget med et heltal, der er større end én, og brøkdelen af ​​mængden (dvs. divisoren ), når den ganges med et tal, der er større end én, giver denne mængde.

Euklid definerer ikke ordet "mål". Det kan dog antages, at hvis en mængde tages som en måleenhed, og en anden mængde er repræsenteret som det samlede antal af sådanne måleenheder, så måler den første mængde den anden. Bemærk, at disse definitioner gentages næsten ord for ord som definition 3 og 5 i bog VII.

Definition 3 forklarer, hvad en relation er i generel forstand. Det er ikke matematisk strengt, og nogle forskere tilskriver det til redaktører snarere end Euklid selv. [10] Euklid definerer forholdet mellem to mængder af samme art , såsom to segmenter eller to områder, men ikke forholdet mellem længde og areal. Definition 4 gør dette endnu mere stringent. Den siger, at et forhold mellem to størrelser eksisterer, hvis der er et multiplum af hver, der er større end den anden. I moderne termer: en relation mellem størrelserne p og q eksisterer, hvis der er heltal m og n , således at mp > q og nq > p . Denne tilstand er kendt som Archimedes' aksiom .

Definition 5 er den mest komplekse og svære at forstå. Den forklarer, hvad lighed betyder for to forhold. I dag kan man ganske enkelt konstatere, at forholdene er ens, hvis resultaterne af divideringsled er ens, men Euklid anerkendte ikke eksistensen af ​​divisionsresultater for inkommensurable størrelser, så for ham ville en sådan definition være meningsløs. Derfor var der behov for en mere subtil definition i tilfælde af mængder, der ikke direkte måler hinanden. Selvom det måske ikke er muligt at tildele en rationel værdi til et forhold, er det muligt at sammenligne forholdet med et rationelt tal. Givet to størrelser p og q , og et rationelt tal m / n , kan vi nemlig sige, at forholdet mellem p og q er mindre end, lig med eller større end m / n , når np er mindre end, lig med eller større end henholdsvis mq . Den euklidiske definition af lighed kan angives som følger: to forhold er ens, når de opfører sig på samme måde, mens de er mindre end, lig med eller større end et hvilket som helst rationelt tal. I moderne notation ser det sådan ud: givet størrelser p , q , r og s , p : q :: r : s gælder, hvis for eventuelle positive heltal m og n relationen np < mq , np = mq , np > mq i ifølge nr < ms , nr = ms , nr > ms . Der er en bemærkelsesværdig lighed mellem denne definition og teorien om Dedekind-skæringen brugt i den moderne teori om irrationelle tal [11] .

Definition 6 angiver, at mængder med samme forhold er proportionale eller proportionale . Euklid bruger det græske ord ἀναλόγον (analogon), med samme rod som λόγος, hvorfra ordet "analog" er afledt.

Definition 7 forklarer, hvad det betyder, at et forhold er mindre end eller større end et andet, og bygger på ideer fra definition 5. I moderne notation: givne mængder p , q , r og s , p : q > r : s, hvis der er positive heltal m og n således, at np > mq og nr ≤ ms .

Som med definition 3 ses definition 8 af nogle forskere som en sen inklusion af redaktører. Den siger, at de tre led p , q og r er i forhold, hvis p : q :: q : r . Dette udvides til 4 led p , q , r og s som p : q :: q : r :: r : s osv. Sekvenser med den egenskab, at forholdet mellem på hinanden følgende led er ens, kaldes geometriske progressioner . Definition 9 og 10 anvender dette ved at sige, at hvis p , q og r er i forhold, så er p : r duplikatforholdet af p : q , og hvis p , q , r og s er i forhold, så er p : s det tredobbelte forhold for p : q . Hvis p , q og r er i forhold, så siges q at være den proportionelle middelværdi (eller geometrisk middelværdi ) af p og r . På samme måde, hvis p , q , r og s er i forhold, så siges q og r at være middelproportionale for p og s .

Procentdel

Hvis du ganger alle mængderne i et forhold med det samme tal, ændres forholdet ikke. For eksempel er et forhold på 3:2 det samme som 12:8. Normalt reduceres andelens vilkår til den laveste fællesnævner eller udtrykt i brøkdele af hundrede ( procent ). Nogle gange, for at lette sammenligningen, præsenteres forholdene som n :1 eller 1: n .

Hvis blandingen indeholder stofferne A , B , C og D i forholdet 5:9:4:2, så indeholder den 5 dele A for hver 9 dele B , 4 dele C og 2 dele D. Da 5+9+4+2=20, indeholder den samlede blanding 5/20 A (5 dele ud af 20), 9/20 B , 4/20  C og 2/20 D. Hvis disse tal, divideret med det samlede beløb, ganges med 100, så får vi procenterne: 25% A, 45% B, 20% C og 10% D (svarende til at skrive forholdet som 25:45:20:10 ).

Proportioner

Hvis der i en given situation overvejes to eller flere mængder, der er i forhold - f.eks. hvis der er to æbler og tre appelsiner i en kurv, og kun disse - så kan vi sige, at "helheden" indeholder fem dele, bestående af af to dele æbler og tre stykker appelsiner. I dette tilfælde er , eller 40 % af det hele, æbler, og , eller 60 % af det hele, er appelsiner. Denne sammenligning af en given mængde med en "helhed" kaldes undertiden en andel. Proportioner er nogle gange udtrykt som procenter som ovenfor.

Andre anvendelser

Se også

Noter

  1. ↑ Wentworth, s. 55
  2. ↑ 1 2 3 New International Encyclopedia
  3. ↑ 1 2 Penny Cyclopedia, s. 307
  4. ↑ Smith, s. 477
  5. ↑ A. M. S. Boethius. Fundamentals of Music / Forberedelse af teksten, oversættelse fra latin og kommentarer af S. N. Lebedev. M.: Videnskabeligt og forlagscenter "Moscow Conservatory", 2012, s. xxxiv-xxxv, 276.
  6. ↑ Heath, 1908 , s. 112.
  7. ↑ Heath, 1908 , s. 113.
  8. ↑ Smith, s. 480
  9. ↑ Heath, 1908 , reference til afsnit.
  10. ↑ "Geometry, Euclidean" Encyclopædia Britannica Eleventh Edition p682.
  11. ↑ Heath, 1908 , s. 125.

Litteratur