Tilfældig værdi

En tilfældig variabel er en variabel, hvis værdier repræsenterer de numeriske resultater af et tilfældigt fænomen eller eksperiment. Det er med andre ord et numerisk udtryk for resultatet af en tilfældig hændelse. Den stokastiske variabel er et af de grundlæggende begreber i sandsynlighedsteorien . [1] Det er sædvanligt at bruge det græske bogstav "xi" til at betegne en stokastisk variabel i matematik . Hvis vi definerer en tilfældig variabel mere stringent, så er det en funktion, hvis værdier numerisk udtrykker resultaterne af et tilfældigt eksperiment. Et af kravene til denne funktion vil være dens målbarhed , som tjener til at bortfiltrere de tilfælde, hvor værdierne af denne funktion $\xi$ $y=\xi (\omega )$ $y$ $\omega$ $\xi (\omega )$ uendeligt følsom over for den mindste ændring i resultatet af et tilfældigt eksperiment. I mange praktiske tilfælde kan man betragte en stokastisk variabel som en vilkårlig funktion fra i [2] . $\Omega$ $\mathbb {R}$

Som en funktion er en stokastisk variabel ikke sandsynligheden for, at hændelsen indtræffer , men returnerer et numerisk udtryk for resultatet . Vigtige karakteristika ved stokastiske variable er den matematiske forventning og varians [3] . $\xi (\omega )$ $\omega$ $\omega$

Et eksempel på objekter, der kræver brug af tilfældige variabler for at repræsentere deres tilstand, er mikroskopiske objekter beskrevet af kvantemekanik . Tilfældige variabler beskriver begivenhederne med overførsel af arvelige træk fra forældreorganismer til deres efterkommere (se Mendels love ). Tilfældige hændelser omfatter det radioaktive henfald af atomkerner. [en]

Der er en række problemer med matematisk analyse og talteori , for hvilke det er tilrådeligt at betragte funktionerne involveret i deres formuleringer som tilfældige variable defineret på passende sandsynlighedsrum [4] .

Historie

Rollen af en tilfældig variabel, som et af de grundlæggende begreber i sandsynlighedsteori, blev først klart anerkendt af P. L. Chebyshev , som underbyggede det i øjeblikket almindeligt accepterede synspunkt på dette begreb (1867) [5] . Forståelsen af en stokastisk variabel som et særligt tilfælde af det generelle begreb om en funktion kom meget senere, i den første tredjedel af det 20. århundrede. For første gang udviklede A. N. Kolmogorov (1933) [6] en fuldstændig formaliseret repræsentation af grundlaget for sandsynlighedsteori baseret på målteori , hvorefter det blev klart, at en stokastisk variabel er en målbar funktion defineret på et sandsynlighedsrum . I undervisningslitteraturen blev dette synspunkt først konsekvent udført af W. Feller (se forordet til [7] , hvor fremstillingen tager udgangspunkt i begrebet elementære begivenheders rum og det understreges, at kun i dette tilfælde repræsentationen af en stokastisk variabel bliver meningsfuld).

Definition

Den formelle matematiske definition er som følger: lad være et sandsynlighedsrum , så er en stokastisk variabel en funktion målbar med hensyn til og Borel σ-algebraen på . Den sandsynlige opførsel af en separat (uafhængig af andre) stokastisk variabel er fuldstændig beskrevet af dens fordeling . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ ${\mathcal {F}}$ $\mathbb {R}$

En stokastisk variabel kan defineres på en anden ækvivalent måde [8] . En funktion kaldes en tilfældig variabel hvis for nogen reelle tal og mængden af hændelser , sådan at , tilhører . $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ $-en$ $b$ $\omega$ $\xi (\omega )\i (a,b)$ ${\mathcal {F}}$

Quest metoder

Du kan indstille en tilfældig variabel, der beskriver alle dens sandsynlighedsegenskaber som en separat tilfældig variabel, ved at bruge fordelingsfunktionen , sandsynlighedstæthed og karakteristisk funktion , der bestemmer sandsynligheden for dens mulige værdier. Fordelingsfunktionen er lig med sandsynligheden for, at værdien af en stokastisk variabel er mindre end et reelt tal . Det følger af denne definition, at sandsynligheden for, at værdien af en stokastisk variabel falder ind i intervallet [a, b) er lig med . Fordelen ved at bruge fordelingsfunktionen er, at det med dens hjælp er muligt at opnå en ensartet matematisk beskrivelse af diskrete, kontinuerte og diskret-kontinuerlige stokastiske variable. Der er dog forskellige stokastiske variable, der har samme fordelingsfunktioner. For eksempel, hvis en stokastisk variabel tager værdierne +1 og -1 med samme sandsynlighed 1/2, så er de stokastiske variable og beskrevet af den samme fordelingsfunktion F(x). $F(x)$ $x$ $F(b)-F(a)$ $\xi$ $\xi$ $\xi ^{3}$

En anden måde at specificere en tilfældig variabel på er den funktionelle transformation af en tilfældig variabel . Hvis er en Borel-funktion , så er det også en tilfældig variabel. For eksempel, hvis er en standard normal tilfældig variabel , så har den stokastiske variabel en chi-kvadratfordeling med én frihedsgrad. Mange fordelinger, inklusive Fishers fordeling, Students fordeling er fordelinger af funktionelle transformationer af normale tilfældige variable. $\xi$ $f(x)$ $\eta =f(\xi)$ $\xi$ $\chi ^{2}=\xi ^{2}$

Hvis en tilfældig variabel er diskret, bestemmes en fuldstændig og utvetydig matematisk beskrivelse af dens fordeling ved at angive sandsynlighedsfunktionen for alle mulige værdier af denne tilfældige variabel. Som et eksempel kan du overveje binomial- og Poisson-fordelingslovene. $p_{k}=P(\xi =x_{k}),\;k\in \mathbb {N}$

Binomialfordelingsloven beskriver tilfældige variabler, hvis værdier bestemmer antallet af "succeser" og "fejl", når eksperimentet gentages gange. I hvert eksperiment kan "succes" forekomme med en sandsynlighed på , "fiasko" - med en sandsynlighed på . Fordelingsloven i dette tilfælde er bestemt af Bernoulli-formlen : $N$ $s$ $q=1-p$

P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{nk}

Hvis produktet forbliver konstant , når det nærmer sig uendeligheden , konvergerer binomialfordelingsloven til Poissons lov , som beskrives med følgende formel: $n$ $np$ $\lambda>0$

p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }

hvor

symbolet " " står for factorial , $!$
$e=2.7182818284\ldots$ er grundlaget for den naturlige logaritme .

Numeriske karakteristika for stokastiske variable

Den matematiske forventning eller gennemsnitsværdi af en stokastisk variabel i et lineært normeret rum X på rummet af elementære begivenheder kaldes integralet $\xi =\xi (\omega )$ $(\Omega ,{\mathfrak {A}),\mathbb {P} )$

\mathop {\mathbb {E} } \xi =\int \limits _{\Omega }\xi (\omega )\,\mathbb {P} (d\omega )=\int \limits _{\ Omega }x\mathbb {P_{\xi }} (d\omega )

(forudsat at funktionen er integrerbar). $\xi =\xi (\omega )$

Variansen af en tilfældig variabel er en mængde lig med: $\xi$

\operatorname {D} \xi =\mathop {\mathbb {E} } (\xi -\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}=\mathop {\mathbb {E} } \xi ^{2}-(\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}~.

I statistik er variansen ofte betegnet med eller . Værdi lig med ${\displaystyle \sigma _{\xi}^{2))$ $\sigma ^{2}$ $\sigma$

\sigma ={\sqrt {\operatørnavn {D} \xi }}

kaldet standardafvigelsen , standardafvigelsen eller standardspredningen.

Kovariansen af tilfældige variable er følgende variabel: $\xi$ $\eta$

\mathrm {cov} (\xi ,\eta )

\operatørnavn {E} (\xi -\operatørnavn {E} {\xi })({\eta }-\operatørnavn {E} {\eta })

(det antages, at de matematiske forventninger er defineret).

Hvis = 0, kaldes tilfældige variable og ukorrelerede . Uafhængige stokastiske variable er altid ukorrelerede, men det omvendte er ikke sandt [9] . $\mathrm {cov} (\xi ,\eta )$ $\xi$ $\eta$

Funktioner af stokastiske variable

Hvis er en Borel-funktion og er en tilfældig variabel, så er dens funktionelle transformation også en tilfældig variabel. For eksempel, hvis er en standard normal stokastisk variabel , har den stokastiske variabel en chi-kvadratfordeling med én frihedsgrad. Mange fordelinger, inklusive Fisher -fordelingen og Students fordeling , er fordelinger af funktionelle transformationer af normale tilfældige variable. $f(x)$ $\xi$ $\eta =f(\xi)$ $\xi$ $\chi ^{2}=\xi ^{2}$

Hvis og med fælles fordeling , og er en Borel-funktion, så for [ 10] : $\xi$ $\eta$ $F_{\xi \eta}(x,y)$ $\phi =\phi (x,y)$ $\zeta =\phi (\xi ,\eta )$

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{\{x,y:\phi (x,y)\leqslant z\}}\,dF_{\xi \eta}(x,y )~.

Hvis , og er uafhængige, så . Ved at anvende Fubinis sætning får vi: $\phi (x,y)=x+y$ $\xi$ $\eta$ $F_{\xi \eta }(x,y)=F_{\xi}(y)F_{\eta}(y)$

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\eta }(zx)dF_{\xi }(x)

og tilsvarende:

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\xi }(zy)dF_{\eta }(y)~.

Hvis og distributionsfunktioner, så funktionen $F$ $G$

H(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F(zx)dG(x)

kaldes en foldning og og betegner . Den karakteristiske funktion af summen af uafhængige stokastiske variable og er Fourier-transformationen af foldningen af fordelingsfunktionerne og og er lig med produktet af de karakteristiske funktioner og : $F$ $G$ $F*G$
$\zeta =\xi +\eta$ $\xi$ $\eta$ $F*G$ $F$ $G$ $\xi$ $\eta$

\phi _{\zeta }(u)=\phi _{\xi}(u)\phi _{\eta}(u)~.

Eksempler

Diskret tilfældig variabel

Eksempler på en diskret tilfældig variabel er speedometeraflæsninger eller temperaturmålinger på bestemte tidspunkter [11] .

Møntkast

Alle mulige udfald af en møntkast kan beskrives af rummet af elementære begivenheder hoveder, haler eller kort . Lad den stokastiske variabel være lig med gevinsten som et resultat af at kaste en mønt. Lad udbetalingen være 10 rubler, hver gang mønten kommer op, og -33 rubler, hvis den kommer op i haler. Matematisk kan denne udbetalingsfunktion repræsenteres som følger: $\Omega =\{$ $\}$ $\{op,pe\}$ $\xi$

\xi (\omega )={\begin{cases}10,&{\text{if }}\omega ={\text{op)),\\[6pt]-33,&{\text{ hvis }}\omega ={\text{pe}}.\end{cases}}

Hvis mønten er perfekt, vil gevinsten have en sandsynlighed givet som: $\xi$

P(\xi =y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2)),&{\text{if }}y=10,\\[6pt]{\tfrac {1 }{2}},&{\text{if }}y=-33,\end{cases}}

hvor er sandsynligheden for at vinde rubler i et møntkast.

P(\xi =y)

y

Kaste terninger

En tilfældig variabel kan også bruges til at beskrive processen med at kaste terninger, samt til at beregne sandsynligheden for et bestemt udfald af sådanne kast. Et af de klassiske eksempler på dette eksperiment bruger to terninger og , som hver kan tage værdier fra sættet {1, 2, 3, 4, 5, 6} (antallet af point på siderne af terningen). Det samlede antal point, der falder på terningen, vil være værdien af vores tilfældige variabel , som er givet af funktionen: $n_{1}$ $n_{2}$ $\xi$

{\displaystyle \xi ((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2))

og (hvis terningerne er perfekte) er sandsynlighedsfunktionen for givet ved: $\xi$

P(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36)),{\text{ for }}S\in \{2,3,4,5,6 ,7,8,9,10,11,12\}

, hvor er summen af point på de kastede terninger.

S

Et sæt kort

Lad eksperimentatoren trække tilfældigt et af kortene i bunken med spillekort . Så vil det repræsentere et af de trukket kort; her er ikke et tal, men et kort - et fysisk objekt, hvis navn er angivet med symbolet . Derefter vil funktionen , der tager objektets "navn" som et argument, returnere det tal, som vi yderligere vil associere kortet med . Lad eksperimentatoren tegne Kongen af Køller i vores tilfælde, det vil sige , efter at have erstattet dette resultat i funktionen , vil vi allerede få et tal, for eksempel 13. Dette tal er ikke sandsynligheden for at trække kongen fra dækket eller ethvert andet kort. Dette tal er resultatet af overførslen af et objekt fra den fysiske verden til et objekt i den matematiske verden, fordi med tallet 13 er det allerede muligt at udføre matematiske operationer, mens disse operationer ikke kunne udføres med objektet. $\omega$ $\omega$ $\omega$ $\xi (\omega )$ $\omega$ $\omega =K_{\klubdragt }$ $\xi (K_{\klubdragt})$ ${\displaystyle K_{\klubdragt))$

Absolut kontinuert tilfældig variabel

En anden klasse af tilfældige variable er dem, for hvilke der er en ikke-negativ funktion, der opfylder ligheden for enhver . Tilfældige variable, der opfylder denne egenskab, kaldes absolut kontinuerte, og funktionen kaldes sandsynlighedsfordelingstætheden. $p(x)$ $x$ $P(\omega \mid \xi (\omega )\leq x)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{x}\displaystyle p(z)dz$ $p(x)$

Antallet af mulige værdier for en absolut kontinuert tilfældig variabel er uendelig. Et eksempel på en absolut kontinuert tilfældig variabel: måling af bevægelseshastigheden for enhver form for transport eller temperatur i et bestemt tidsinterval. [elleve]

Vækst af en forbipasserende

Lad i et af eksperimenterne være nødvendigt at tilfældigt udvælge én person (lad os betegne det som ) fra gruppen af forsøgspersoner, så lad den stokastiske variabel udtrykke væksten af den person, vi har valgt. I dette tilfælde, fra et matematisk synspunkt, fortolkes en tilfældig variabel som en funktion , der transformerer hvert emne til et tal - hans vækst . For at kunne beregne sandsynligheden for, at en persons højde falder mellem 180 cm og 190 cm, eller sandsynligheden for, at hans højde vil være over 150 cm, skal du kende sandsynlighedsfordelingen , som sammen med og giver dig mulighed for at beregne sandsynligheden af visse resultater af tilfældige eksperimenter. $\omega$ $\xi$ $\xi$ $y=\xi (\omega )$ $\omega$ $y$ $\xi$ $\xi$

De enkleste generaliseringer

En tilfældig variabel kan generelt tage værdier i ethvert målbart rum. Så kaldes det ofte en tilfældig vektor eller et tilfældigt element. For eksempel,

En målbar funktion kaldes en -dimensional tilfældig vektor (med hensyn til Borel -algebraen på ). $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $n$ $\sigma$ $\mathbb {R} ^{n}$
En målbar funktion kaldes en -dimensional kompleks tilfældig vektor (også med hensyn til den tilsvarende Borel -algebra ). $\xi \colon \Omega \to \mathbb {C} ^{n}$ $n$ $\sigma$
En målbar funktion, der kortlægger et sandsynlighedsrum ind i rummet af delmængder af en eller anden (endelig) mængde, kaldes en (endelig) tilfældig mængde.

Se også

Noter

↑ 1 2 Prokhorov Yu. V. Tilfældig variabel // Mathematical Encyclopedia / Ed. Vinogradova I. M. - M .: Soviet Encyclopedia, 1985.-V.5.- Pp. 9.- 623 s.
↑ Chernova, 2007 , s. 49-50.
↑ Tilfældig variabel - artikel fra Great Soviet Encyclopedia .
↑ Katz M., Statistisk uafhængighed i sandsynlighedsteori, analyse og talteori, trans. fra engelsk, M., 1963.
↑ Chebyshev P. L., Om gennemsnitsværdier, i bogen: Komplet. Sobr. Soch., v. 2, M.-L., 1947
↑ Kolmogorov A. N., Grundlæggende begreber for sandsynlighedsteori, 2. udgave, M., 1974
↑ V. Feller, Introduktion til sandsynlighedsteori og dens anvendelser, trans. fra engelsk, 2. udgave, bind 1, M., 1967
↑ Chernova N. I. Kapitel 6. Random variable og deres fordelinger § 1. Random variables // Sandsynlighedsteori . - Tutorial. - Novosibirsk: Novosibirsk State University. un-t, 2007. - 160 s.
↑ Joseph P. Romano, Andrew F. Siegel. Modeksempler i Sandsynlighed og Statistik. - Belmont, Californien: Wadsworth, Inc., 1986. - 326 s. — ISBN 0534055680 .
↑ Shiryaev A.N. Sandsynlighed. - M:. : Videnskaben. Ch. udg. Fysisk.-Matematik. lit., 1989. - 640 s. — ISBN 5-02-013995-6 .
↑ 1 2 TSU uddannelsesportal . edu.tltsu.ru . Dato for adgang: 26. juni 2020. (ubestemt)

Litteratur

Gnedenko B. V. Sandsynlighedsteori kursus. - 8. udg. tilføje. og korrekt. - M. : Redaktionel URSS, 2005. - 448 s. — ISBN 5-354-01091-8 .
Matematisk encyklopædisk ordbog / Kap. udg. Prokhorov Yu. V .. - 2. udg. - M . : "Sovjetisk encyklopædi", 1998. - 847 s.
Tikhonov V.I., Kharisov V.N. Statistisk analyse og syntese af radiotekniske enheder og systemer. — Lærebog for universiteter. - M . : Radio og kommunikation, 1991. - 608 s. — ISBN 5-256-00789-0 .
Chernova N.I. Sandsynlighedsteori . - Tutorial. - Novosibirsk: Novosibirsk State University. un-t, 2007. - 160 s.