Syngony

Syngoni (fra græsk σύν "ifølge, sammen, ved siden af" + γωνία "vinkel"; lit. "lighed") er en klassifikation af krystallografiske symmetrigrupper , krystaller og krystalgitter afhængig af koordinatsystemet ( koordinatramme ); symmetrigrupper med et enkelt koordinatsystem kombineres til én syngoni. Krystaller, der tilhører den samme syngoni, har lignende hjørner og kanter af enhedsceller .

Et krystalsystem er en klassifikation af krystaller og krystallografiske grupper baseret på et sæt symmetrielementer, der beskriver en krystal og tilhører en krystallografisk gruppe.

Gittersystem - klassificering af krystalgitre afhængigt af deres symmetri .

Der er en forvirring i litteraturen af alle tre begreber: syngoni [1] , krystalsystem [2] og gittersystem [3] , som ofte bruges som synonymer .

I den russisksprogede litteratur er udtrykket "gittersystem" endnu ikke brugt. Normalt forveksler forfattere dette koncept med et krystallinsk system. I bogen "Fundamentals of Crystallography" [4] bruger forfatterne udtrykket "Gittersyngoni" (" I henhold til nodernes symmetri kan rumlige gitter opdeles i syv kategorier kaldet gittersyngonier "). De samme forfattere kalder syngonies-systemer (" Den mest etablerede klassificering af grupper er deres opdeling i seks systemer baseret på symmetrien af ansigtskomplekser ").

Syngony

Historisk set var den første klassificering af krystaller opdelingen i syngonier, afhængigt af det krystallografiske koordinatsystem. Krystallens symmetriakser blev valgt som koordinatakser, og i deres fravær krystallens kanter. I lyset af moderne viden om krystallers struktur svarer sådanne retninger til oversættelserne af krystalgitteret , og oversættelserne af Bravais-cellen i standardopsætningen er valgt som koordinatsystemet . Afhængigt af forholdet mellem længderne af disse oversættelser og vinklerne mellem dem skelnes der mellem seks forskellige syngonier , som falder i tre kategorier afhængigt af antallet af lige længder af oversættelser [5] : $\alfa ,\beta ,\gamma$

Laveste kategori (alle udsendelser er ikke lige hinanden)
- Triclinic : , $a\neq b\neq c$ $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ }$
- Monoklinisk : , $a\neq b\neq c$ $\alpha =\gamma =90^{\circ },\beta \neq 90^{\circ }$
- Rhombic : , $a\neq b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Mellem kategori (to udsendelser ud af tre er lige store)
- Tetragonal : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$
- Sekskantet : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ },\gamma =120^{\circ ))$

Højeste kategori (alle udsendelser er lige)
- Kubik :, _ $a=b=c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Crystal System

Opdelingen i krystalsystemer udføres afhængigt af det sæt af symmetrielementer, der beskriver krystallen . En sådan opdeling fører til syv krystalsystemer, hvoraf to - trigonale (med en akse af 3. orden) og sekskantede (med en akse af 6. orden) - har samme enhedscelle i form og derfor hører til en, sekskantet, syngoni. Det siges nogle gange, at den sekskantede syngoni er opdelt i to subsygonier [6] eller hyposygonier. [7]

Krystalsystemer er også opdelt i tre kategorier, afhængigt af antallet af højere ordens akser (akser over anden orden).

Mulige krystalsystemer i tredimensionelt rum med symmetrielementer, der definerer dem, det vil sige symmetrielementer, hvis tilstedeværelse er nødvendig for at tilskrive en krystal eller en punktgruppe til et specifikt krystalsystem:

Underordnet kategori (ingen højere ordens akser)
- Triclinic : ingen symmetri eller kun centrum for inversion $\overline {1}$
- Monoklinisk : en -ordens akse og/eller symmetriplan $2$ $m$
- Rombisk : tre indbyrdes vinkelrette akser af orden og/eller et symmetriplan (retningen af symmetriplanet anses for at være vinkelret på det) $2$ $m$
Mellem kategori (en højere ordens akse)
- Tetragonal : en akse af -. orden eller $fire$ $\overline {4}$
- Trigonal : 1. ordens akse $3$
- Sekskantet : en akse af -. orden eller $6$ $\overline {6}$
Højeste kategori (flere akser af højere orden)
- Kubik : fire akser af -. orden $3$

Krystalsystemet i en rumgruppe bestemmes af systemet med dens tilsvarende punktgruppe. For eksempel hører grupperne Pbca, Cmcm, Immm, Fddd ( klasse mmm) til det rombiske system.

Den moderne definition af et krystalsystem (gælder ikke kun for almindelige tredimensionelle grupper, men også for rum af enhver dimension) henviser punktgrupper (og rumgrupper afledt af dem) til ét krystalsystem, hvis disse grupper kan kombineres med det samme. typer af Bravais-gitre. For eksempel hører grupperne mm2 og 222 begge til det rombesystem, da der for hver af dem er rumgrupper med alle typer af rombegitter (Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2 og P222, C222, I222, F222), mens grupperne 32 og 6 tilhører ikke det samme krystalsystem, da for gruppe 32 er primitive og dobbeltcentrerede hexagonale celler tilladt (gruppe P321 og R32), og gruppe 6 er kun kombineret med en primitiv hexagonal celle (der er en gruppe P 6 , men der er ingen R6 ) .

Gittersystem

Beskriver typerne af krystalgitre. Kort sagt: gitter er af samme type, hvis deres punktsymmetrigrupper (når man betragter gitter som geometriske objekter) er de samme. Sådanne punktgrupper, der beskriver symmetrien af gitteret, kaldes holohedry . [otte]

I alt er der syv systemer af gitter, som i lighed med de tidligere klassifikationer (syngoni og krystalsystem) er opdelt i tre kategorier.

Laveste kategori (alle udsendelser er ikke lige hinanden)
- Triclinic : , $a\neq b\neq c$ $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ }$
- Monoklinisk : , $a\neq b\neq c$ $\alpha =\gamma =90^{\circ },\beta \neq 90^{\circ }$
- Rhombic : , $a\neq b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Mellem kategori
- Tetragonal : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$
- Sekskantet : , $a=b\neq c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =90^{\circ },\gamma =120^{\circ ))$
- Rhombohedral : , $a=b=c$ $\alpha =\beta =\gamma <120^{\circ }\neq 90^{\circ }$

Højeste kategori (alle udsendelser er lige)
- Kubik :, _ $a=b=c$ ${\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =90^{\circ ))$

Det rhomboedriske gittersystem må ikke forveksles med det trigonale krystalsystem. Krystaller af det rhomboedriske gittersystem hører altid til det trigonale krystalsystem, men trigonale krystaller kan tilhøre både rhomboedriske og hexagonale gittersystemer. For eksempel hører grupperne R3 og P321 (begge fra det trigonale krystalsystem) til forskellige gittersystemer (henholdsvis rhomboedral og hexagonal).

Generel definition gældende for rum af enhver dimension - Gitter er af samme type, hvis de er kombineret med de samme punktgrupper. For eksempel er alle rombiske gitter (rhombic P, rhombic C, rhombic I og rhombic F) af samme type, da de kombineres med punktgrupperne 222, mm2 og mmm for at danne rumgrupper P222, Pmm2, Pmmm; C222, Cmm2, Cmmm; I222, Imm2, Immm; F222, Fmm2, Fmmm. Samtidig svarer cellerne i det hexagonale system (primitiv P og dobbelt centreret R) til forskellige gittersystemer: begge er kombineret med punktgrupperne i det trigonale krystalsystem, men kun den primitive celle er kombineret med grupperne i sekskantet system (der er grupperne P6, P 6 , P6/m, P622, P6mm, P 6 m2, P6/mmm, men der er ingen grupper R6, R 6 , R6/m, R622, R6mm, R 6 m2, R6 /mmm).

Forbindelsen mellem syngoni, krystalsystem og gittersystem i tredimensionelt rum er angivet i følgende tabel:

Syngony	Krystal system	Punktgrupper	Antal rumgrupper	Modigt gitter [9]	Gittersystem	Holohedria
Triclinic		1, 1	2	aP	Triclinic	en
Monoklinisk		2, m, 2/m	13	mP, mS	Monoklinisk	2/m
Rhombic		222, mm2, mmm	59	oP, oS, oI, af	Rhombic	hmmm
tetragonal		4, 4 , 422, 4mm, 42m , 4/m, 4/mmm	68	tP, tI	tetragonal	4/mmm
Sekskantet	Trigonal	3, 3 , 32, 3m , 3m	7	hR	Rhombohedral	3 m
	Trigonal	3, 3 , 32, 3m , 3m	atten	hP	Sekskantet	6/mmmm
	Sekskantet	6, 6 , 622, 6mm, 6m2 , 6/m, 6/mmm	27	hP	Sekskantet	6/mmmm
kubik		23, m 3 , 4 3 m, 432, m 3 m	36	cP, cl, cF	kubik	m 3 m
I alt: 6	7	32	230	fjorten	7

En oversigt over punktgrupper

Krystal system	punktgruppe / symmetriklasse	Skoenfluer symbol	internationalt symbol	Shubnikovs symbol	Type
triklinik	monohedral	C1 _	$en\$	$en\$	enantiomorf polær
triklinik	pinacoidal	C i	${\bar {1}}$	${\tilde {2}}$	centrosymmetrisk
monoklinisk	dihedral aksial	C2 _	$2\$	$2\$	enantiomorf polær
	dihedral akseløs (domatisk)	Cs _	$m\$	$m\$	polar
	prismatisk	C 2h	$2/m\$	$2:m\$	centrosymmetrisk
Rhombic	rombo-tetraedrisk	D2 _	$222\$	$2:2\$	enantiomorf
	rhombo- pyramideformet	C 2v	$mm2\$	$2\cdot m\$	polar
	rhombo-dipyramidal	D2h _	$mmm\$	$m\cdot 2:m\$	centrosymmetrisk
tetragonal	tetragonal-pyramideformet	C4 _	$fire\$	$fire\$	enantiomorf polær
	tetragonal-tetraedrisk	S4 _	${\bar {4}}$	${\tilde {4}}$
	tetragonal dipyramidal	C4h _	$4/m\$	$4:m\$	centrosymmetrisk
	tetragonal-trapezoedral	D4 _	$422\$	$4:2\$	enantiomorf
	didragonal-pyramideformet	C4v _	$4 mm\$	$4\cdot m\$	polar
	tetragonal-scalenohedral	D2d _	${\bar {4}}2m\$ eller ${\bar {4}}m2$	${\tilde {4}}\cdot m$
	ditragonal-dipyramidal	D4h _	$4/mmm\$	$m\cdot 4:m\$	centrosymmetrisk
Trigonal	trigonal-pyramideformet	C3 _	$3$	$3\$	enantiomorf polær
	rhomboedral	S6 ( C3i ) _	${\bar {3}}$	${\tilde {6}}$	centrosymmetrisk
	trigonal-trapezoedral	D3 _	$32\$ eller eller $321\$ $312\$	$3:2\$	enantiomorf
	ditrigonal-pyramideformet	C 3v	$3m\$ eller eller $3m1\$ $31m\$	$3\cdot m\$	polar
	ditrigonal-scalenohedral	D3d _	${\bar {3}}m\$ eller eller ${\bar {3}}m1$ ${\bar {3}}1m$	${\tilde {6}}\cdot m$	centrosymmetrisk
Sekskantet	sekskantet-pyramideformet	C6 _	$6\$	$6\$	enantiomorf polær
	trigonal-dipyramidal	C 3h	${\bar {6}}$	$3:m\$
	sekskantet-dipyramidal	C6h _	$6/m\$	$6:m\$	centrosymmetrisk
	sekskantet-trapezoedrisk	D6 _	$622\$	$6:2\$	enantiomorf
	dihexagonal-pyramideformet	C6v _	$6 mm\$	$6\cdot m\$	polar
	ditrigonal-dipyramidal	D3h _	${\bar {6}}m2$ eller ${\bar {6}}2m$	$m\cdot 3:m\$
	dihexagonal-dipyramidal	D6h _	$6/mmm\$	$m\cdot 6:m\$	centrosymmetrisk
kubik	tritetraedral	T	$23\$	$3/2\$	enantiomorf
	didodekaedral	T h	$m{\bar {3}}\$	${\tilde {6}}/2$	centrosymmetrisk
	hexatetraedrisk	T d	${\bar {4}}3m$	$3/{\tilde {4}}$
	trioktaedral	O	$432\$	$3/4\$	enantiomorf
	heksoktaedrisk	Åh h	$m{\bar {3}}m$	${\tilde {6}}/4$	centrosymmetrisk

Gitterklassifikation

Syngony	Modig cellecentreringstype
Syngony	primitiv	base- centreret	krop centreret	ansigt centreret	dobbelt kropscentreret _
Triklinik ( parallelepipedum )
Monoklinisk ( prisme med et parallelogram i bunden)
Rhombisk ( rektangulær parallelepipedum )
Tetragonal ( rektangulær parallelepipedum med en firkant i bunden)
Sekskantet ( prisme med basis af en regulær centreret sekskant)
Trigonal (ligesidet parallelepipedum - rhombohedron )
Kubik ( terning )

Historie

Den første geometriske klassificering af krystaller blev givet uafhængigt af Christian Weiss og Friedrich Moos i begyndelsen af det 19. århundrede. Begge videnskabsmænd klassificerede krystaller efter symmetrien af deres ydre form (snit). I dette tilfælde introducerer Weiss faktisk begrebet en krystallografisk akse (symmetriakse). Ifølge Weiss er "aksen en linje, der dominerer hele krystallens figur, da alle dele omkring den er placeret på en lignende måde og i forhold til den svarer de til hinanden" [13] . I sit arbejde "A Visual Representation of the Natural Divisions of Crystallization Systems" klassificerede Weiss krystaller ved tilstedeværelsen af akser i fire store sektioner af krystallinske former, "krystallisationssystemer", svarende til det moderne syngonibegreb [14] . Moderne navne er angivet i parentes.

Sektion 1 - "korrekt", "sfærisk", "ligeakset", "ækvinomialt" (kubisk) system: tre dimensioner er ens og danner rette vinkler mellem sig.
- undersektion homosfæroedrisk system (m 3 m symmetrikrystaller )
- underafsnit hemispheroedral system (krystaller med symmetri 432, 43m og m 3 )
Afsnit 2 - "fire-leddet" (tetragonalt) system: akserne danner rette vinkler mellem sig, to akser er lig med hinanden og ikke lig med den tredje.
Afsnit 3 - "to-term" system: alle tre akser er ulige og danner rette vinkler mellem sig.
- underafsnit "to-og-to-term" (rhombisk) system
- underafsnit "to-og-en-term" (monoklinisk) system
- underafsnit "et-og-enkelt-medlem" (triklinisk) system
4 sektioner - en uens akse er vinkelret på tre lige store akser og danner vinkler på 120 ° mellem sig.
- underafsnit "seksleddet" (sekskantet) system:
- underafsnit "tre-og-tre-leddet" eller "rhombohedral" (trigonalt) system:

Til de monokliniske og trikliniske syngonier brugte Weiss et rektangulært koordinatsystem (moderne krystallografiske koordinatsystemer for disse syngonier er skrå).

Omtrent på samme tid udviklede Friedrich Moos begrebet krystallinske systemer [15] . Hvert system er kendetegnet ved den enkleste "grundform" af ansigter, hvorfra alle andre former for dette system kan udledes. Således opnåede Mohs følgende fire systemer:

1. Rhombohedralt system (sekskantet syngoni). Hovedformen er et rhombohedron.
2. Pyramidesystem (tetragonal syngoni). Hovedformen er en tetragonal bipyramide.
3. Tessulære system (kubisk syngoni). Hovedformerne er terningen og oktaederet.
4. Prismatisk system (rhombic syngony). Hovedformen er en rombisk bipyramide.
- Hemiprismatisk subsystem (monoklin syngoni)
- Tetartoprismatisk subsystem (triklinisk syngoni)

I begge klassifikationer identificerer Weiss og Moos kun fire systemer, selvom alle seks syngonier er opført, betragter de kun de monokliniske og trikliniske syngonier som undersystemer af det rombiske system. Efter eget udsagn udviklede Moos dette koncept i 1812-14, som var genstand for en strid med Weiss om prioriteringen af opdagelsen af krystallinske systemer. I modsætning til Weiss påpegede Moos behovet for et skrå aksesystem for monokliniske og trikliniske krystaller.

Skråvinkelsystemer blev endelig udviklet og introduceret i krystallografi af hans elev Carl Friedrich Naumann . Naumann baserede sin klassifikation på krystallografiske akser og vinklerne mellem dem og skelnede således for første gang alle seks syngonier [16] [17] . Interessant nok bruger Naumann allerede i 1830 navnene på syngonier, der er identiske eller tæt på moderne (navnene tetragonal , hexagonal og rhombic blev oprindeligt foreslået af Breithaupt).

1. Tesseral (fra tessera - terning) - alle tre vinkler mellem koordinatakserne er lige, alle tre akser er lige store.
2. Tetragonal - alle tre vinkler er rette, to akser er lige store.
3. Sekskantet - det eneste fireaksesystem: en uens akse er vinkelret på tre lige store akser og danner vinkler på 60 ° mellem sig.
4. Rombisk - alle tre vinkler er rigtige, alle akser er ulige.
5. Monoklinohedral - to rette vinkler og en skrå.
6. Diclinohedral - to skrå vinkler og en lige linje.
7. Triklinohedral - alle tre vinkler er skrå.

Da teorien om symmetri på det tidspunkt kun var ved at udvikle sig, dukkede et usædvanligt diclinoedrisk (diclinic) system op på listen over systemer. Et sådant krystallinsk system er i princippet umuligt i tredimensionelt rum, da tilstedeværelsen af en symmetriakse altid garanterer tilstedeværelsen af translationer vinkelret på aksen, som er valgt som koordinatakser. Det dicliniske system eksisterede i krystallografien i omkring et halvt århundrede (selvom Dufrenois allerede i 1856 viste, at dette kun var et specialtilfælde af det trikliniske system). I 1880 nævner Dana , i sin berømte bog "The System of Mineralogy" [18] , det "såkaldte diclinic system", men bemærker samtidig, at der ikke kendes en eneste naturlig eller kunstig krystal, der tilhører dette system, og at det desuden er matematisk bevist, at der kun er seks krystalsystemer. Naumann troede selv på diklinisk syngoni indtil slutningen af sit liv, og i den niende udgave af Fundamentals of Mineralogy [19] , udgivet posthumt i 1874, er denne syngoni stadig på listen, selvom Naumann bemærker, at dette system kun findes i et par kunstige salte, og overvejer det ikke nærmere.

Navne på krystallografiske syngonier blandt forfatterne af det 19. århundrede

Forfatter	kubik	tetragonal	Sekskantet	Rhombic	Monoklinisk	Triclinic
Weiss	Korrekt, sfærisk, sfærisk, sfæronomisk, ligeakset, jævndøgn	Fire-leddet, To-og-en-aksel	Seksleddet, tre-og-en-akslet	To-og-to-leddet, En-og-en-aksel	To-og-enkelt medlem	En-og-en periode
Moos	Tessular, Tessular	Pyramideformet	Rhombohedral	Prismatisk, ortotypisk	Hemiprismatisk, Hemiortotypisk	Tetartoprismatisk, anortotype
Breithaupt		tetragonal	Sekskantet	Rhombic	Hemirhombisk	tetrarhombisk
Nauman	tesseral	tetragonal	Sekskantet	Rhombisk, anisometrisk	monoklinohedral, klinorhombisk	Triklinohedral, Triklinometrisk
Gausman	Isometrisk	Monodimetrisk	Monotrimetrisk	Trimetrisk, ortorhombisk	klinorhombisk, orthorhomboid	klinorhomboid
Møller 1839	Oktaedral	Pyramideformet	Rhombohedral	Prismatisk	Skrå prismatisk	Dobbelt-skrå-prismatisk
Gadolin	Korrekt	Firkant	Sekskantet	Rhombic	monoklinoedrisk	triklinohedral
Andre forfattere	Tetrahedral (Bedan), kubisk (Duprenois)	dimetrisk		Binær (Quenstedt)	Monoklinometrisk (Frankenheim), Augite (Haidinger)	Triclinic (Frankenheim), Anorthic (Haidinger)

For første gang blev opdelingen i syv krystallografiske systemer givet i 1850 i værket af Auguste Bravais "Memoir on systems of points regularly distributed on a plane or in space" [20] . Faktisk er dette den første division baseret på symmetrielementer og ikke på koordinatsystemer. Derfor svarer alle tidligere klassifikationer til den nuværende definition af syngoni, mens Bravais-klassifikationen er en klassifikation efter krystalsystemer (strengt taget gittersystemer).

Bravais opdeler gitter afhængigt af deres symmetri i 7 systemer (sætklasser).

1. Tre-firedobbelt (kubisk system)
2. Gear (sekskantet system)
3. Firedobbelt (tetragonalt system)
4. Triple (rhombohedral system)
5. Tri-double (rhombisk system)
6. Dobbelt (monoklinisk system)
7. Asymmetrisk (triklinisk system)

Samtidig bemærker Bravais selv, at selv Hayuy opdelte gitterne i det sekskantede system (ifølge Naumanns klassifikation) "i krystaller genereret af et regulært sekskantet prisme, og krystaller genereret af en romboedrisk kerne."

Klassificering af grupper i flerdimensionelle rum

I anden halvdel af det 20. århundrede blev krystallografiske grupper i firedimensionelle, femdimensionelle og seksdimensionale rum studeret og klassificeret. Efterhånden som dimensionen øges, stiger antallet af grupper og klasser markant [21] . Antallet af enantiomorfe par er angivet i parentes.

Rummets dimension:	en	2	3	fire	5	6
Antal syngonier	en	fire	6	23 (+6)	32	91
Antal netsystemer	en	fire	7	33 (+7)	57	220
Antal krystalsystemer	en	fire	7	33 (+7)	59	251
Antal Bravais-riste	en	5	fjorten	64 (+10)	189	841
Antal pointgrupper	2	ti	32	227 (+44)	955	7103
Antal rumgrupper	2	17	219 (+11)	4783 (+111)	222018 (+79)	28927915 (+?) [22]

I firedimensionelt rum er en enhedscelle defineret af fire sider ( ) og seks vinkler mellem dem ( ). Følgende relationer mellem dem definerer 23 syngonier: $a,b,c,d$ $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon ,\zeta$

Hexaclin: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq \delta \neq \epsilon \neq \zeta \neq 90^{\circ }$
Triklinik: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ },\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Diklinnaya: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ},\zeta \neq 90^{\circ }$
Monoklinisk: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Ortogonal: $a\neq b\neq c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Tetragonal monoklinisk: $a\neq b=c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Hexagonal monoklinisk: $a\neq b=c\neq d,\alpha \neq 90^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta =120^{\circ }$
Ditetragonal diclinic: $a=d\neq b=c,\alpha =\zeta =90^{\circ },\beta =\epsilon \neq 90^{\circ },\gamma \neq 90^{\circ },\delta = 180^{\cirkel }-\gamma$
Ditrigonal diclinic: $a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma \ne \delta \ne 90 ^\circ, \cos \delta = \cos \beta - \cos \gamma$
Tetragonal ortogonal: $a\neq b=c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Sekskantet ortogonalt: $a\neq b=c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta =120^{\circ }$
Ditetragonal monoklinisk: $a=d\neq b=c,\alpha =\gamma =\delta =\zeta =90^{\circ },\beta =\epsilon \neq 90^{\circ }$
Ditrigonal monoklinisk: $a = d \ne b = c, \alpha = \zeta = 120 ^\circ, \beta = \epsilon \ne 90 ^\circ, \gamma = \delta \ne 90 ^\circ, \cos \gamma = - \color{Sort}\tfrac{1}{2} \cos \beta$
Ditetragonal ortogonal: $a=d\neq b=c,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Sekskantet tetragonal: $a=d\neq b=c,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ },\zeta =120^{\circ }$
Dihexagonal ortogonal: $a=d\neq b=c,\alpha =\zeta =120^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ }$
Kubisk ortogonal: $a=b=c\neq d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$
Ottekantet: $a=b=c=d,\alpha =\gamma =\zeta \neq 90^{\circ },\beta =\epsilon =90^{\circ},\delta =180^{\circ }-\alpha$
Dekagonal: $a = b = c = d, \alpha = \gamma = \zeta \ne \beta = \delta = \epsilon, \cos \beta = -0,5 - \cos \alpha$
Dodecagonal: $a=b=c=d,\alpha =\zeta =90^{\circ },\beta =\epsilon =120^{\circ},\gamma =\delta \neq 90^{\circ }$
Di-isohexagonal ortogonal: $a=b=c=d,\alpha =\zeta =120^{\circ },\beta =\gamma =\delta =\epsilon =90^{\circ }$
Icosagonal: $a = b = c = d, \alpha = \beta = \gamma = \delta = \epsilon = \zeta, \cos \alpha = -\color{Sort}\tfrac{1}{4}$
Hyperkubisk: $a=b=c=d,\alpha =\beta =\gamma =\delta =\epsilon =\zeta =90^{\circ }$

Forbindelsen mellem syngoni, krystalsystem og gittersystem i firedimensionelt rum er angivet i følgende tabel [23] [24] . Stjerner markerer enantiomorfe systemer. Antallet af enantiomorfe grupper (eller gitter) er angivet i parentes.

Syngony nummer	Syngony	Krystal system	Systemnummer _	Antal pointgrupper	Antal rumgrupper	Antal Bravais-riste	Gittersystem
jeg	Hexaclin		en	2	2	en	Hexacline P
II	Triclinic		2	3	13	2	Triclinic P, S
III	Diklinnaya		3	2	12	3	Diclinic P, S, D
IV	Monoklinisk		fire	fire	207	6	Monoklinisk P, S, S, I, D, F
V	ortogonal	Akselløs ortogonal	5	2	2	en	Ortogonal KU
		Akselløs ortogonal	5	2	112	otte	Ortogonal P, S, I, Z, D, F, G, U
		Aksial ortogonal	6	3	887	otte	Ortogonal P, S, I, Z, D, F, G, U
VI	Tetragonal monoklinisk		7	7	88	2	Tetragonal monoklinisk P, I
VII	Sekskantet monoklinisk	Trigonal monoklinisk	otte	5	9	en	Hexagonal monoklinisk R
		Trigonal monoklinisk	otte	5	femten	en	Hexagonal monoklinisk P
		Sekskantet monoklinisk	9	7	25	en	Hexagonal monoklinisk P
VIII	Ditetragonal diclinic*		ti	1 (+1)	1 (+1)	1 (+1)	Ditetragonal diclinic P*
IX	Ditrigonal diclinic*		elleve	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Ditrigonal diclinic P*
x	Tetragonal ortogonal	Inverteret tetragonal ortogonal	12	5	7	en	Tetragonal ortogonal KG
		Inverteret tetragonal ortogonal	12	5	351	5	Tetragonal ortogonal P, S, I, Z, G
		Roterende tetragonal ortogonal	13	ti	1312	5	Tetragonal ortogonal P, S, I, Z, G
XI	Sekskantet ortogonalt	Trigonal ortogonal	fjorten	ti	81	2	Hexagonal ortogonal R, RS
		Trigonal ortogonal	fjorten	ti	150	2	Hexagonal ortogonal P, S
		Sekskantet ortogonalt	femten	12	240	2	Hexagonal ortogonal P, S
XII	Ditetragonal monoklinisk*		16	1 (+1)	6 (+6)	3 (+3)	Ditetragonal monoklinisk P, S, D*
XIII	Ditrigonal monoklinisk*		17	2 (+2)	5 (+5)	2 (+2)	Ditrigonal monoklinisk P, RR
XIV	Ditetragonal ortogonal	Krypto-ditragonal ortogonal	atten	5	ti	en	Ditetragonal ortogonal D
		Krypto-ditragonal ortogonal	atten	5	165 (+2)	2	Ditetragonal ortogonal P, Z
		Ditetragonal ortogonal	19	6	127	2	Ditetragonal ortogonal P, Z
XV	Sekskantet tetragonal		tyve	22	108	en	Sekskantet tetragonal P
XVI	Dihexagonal ortogonal	Krypto-ditrigonal ortogonal*	21	4 (+4)	5 (+5)	1 (+1)	Dihexagonal ortogonal G*
		Krypto-ditrigonal ortogonal*	21	4 (+4)	5 (+5)	en	Dihexagonal ortogonal P
		Dihexagonal ortogonal	23	elleve	tyve
		Ditrigonal ortogonal	22	elleve	41
		Ditrigonal ortogonal	22	elleve	16	en	Dihexagonal ortogonal RR
XVII	Kubisk ortogonal	Simpel kubisk ortogonal	24	5	9	en	Kubisk ortogonal KU
		Simpel kubisk ortogonal	24	5	96	5	Kubisk ortogonal P, I, Z, F, U
		Kompleks kubisk ortogonal	25	elleve	366	5	Kubisk ortogonal P, I, Z, F, U
XVIII	Ottekantet*		26	2 (+2)	3 (+3)	1 (+1)	Ottekantet P*
XIX	Dekagonal		27	fire	5	en	Dekagonal P
XX	Dodecagonal*		28	2 (+2)	2 (+2)	1 (+1)	Dodecagonal P*
XXI	Di-isohexagonal ortogonal	Simpel di-isohexagonal ortogonal	29	9 (+2)	19 (+5)	en	Di-isohexagonal ortogonal RR
		Simpel di-isohexagonal ortogonal	29	9 (+2)	19 (+3)	en	Di-isohexagonal ortogonal P
		Kompleks di-isohexagonal ortogonal	tredive	13 (+8)	15 (+9)	en	Di-isohexagonal ortogonal P
XXII	Icosagonal		31	7	tyve	2	Icosagonal P, SN
XXIII	hyperkubisk	Ottekantet hyperkubisk	32	21 (+8)	73 (+15)	en	Hyperkubisk P
		Ottekantet hyperkubisk	32	21 (+8)	107 (+28)	en	Hyperkubisk Z
		Todekagonal hyperkubisk	33	16 (+12)	25 (+20)	en	Hyperkubisk Z
I alt:	23 (+6)	33 (+7)		227 (+44)	4783 (+111)	64 (+10)	33 (+7)

Se også

Noter

↑ Krystalfamilie - Online ordbog over krystallografi . Hentet 22. februar 2009. Arkiveret fra originalen 21. marts 2013. (ubestemt)
↑ Krystalsystem - Online ordbog over krystallografi . Hentet 22. februar 2009. Arkiveret fra originalen 21. marts 2013. (ubestemt)
↑ Gittersystem - Online ordbog for krystallografi . Hentet 29. april 2013. Arkiveret fra originalen 29. april 2013. (ubestemt)
↑ Shubnikov A. V., Bokiy G. B., Flint E. E., Fundamentals of Crystallography, Publishing House of the Academy of Sciences of the USSR, 1940
↑ Zagalskaya Yu.G., Litvinskaya G.P., Egorov-Tismenko Yu.K. Geometrisk krystallografi. - M . : Moscow Universitys forlag, 1986. - 168 s.
↑ "Yu.K. Egorov-Tismenko, G.P. Litvinskaya, Theory of Crystal Symmetry, GEOS, 2000. Kapitel III. Koordinatsystemer, kategorier, syngonier." . Hentet 12. januar 2021. Arkiveret fra originalen 13. januar 2021. (ubestemt)
↑ Fedorov E. S., Krystallografikursus. Ed. 3., 1901 online
↑ Holohedry - Online ordbog for krystallografi . Dato for adgang: 30. januar 2013. Arkiveret fra originalen 21. marts 2013. (ubestemt)
↑ de Wolff et al., Nomenklatur for krystalfamilier, Bravais-gittertyper og aritmetiske klasser, Acta Cryst. (1985). A41, 278-280. online Arkiveret 27. januar 2013 på Wayback Machine
↑ Weinstein B.K. Moderne krystallografi. Bind 1. Symmetri af krystaller, metoder til strukturel krystallografi. Nauka, Moskva, 1979.
↑ Sirotin Yu.I., Shaskolskaya M.P. Grundlæggende om krystalfysik. Nauka, Moskva, 1979.
↑ Flint E.E. En praktisk guide til geometrisk krystallografi. 3. udgave, oversat. og yderligere, Gosgeoltekhizdat, Moskva, 1956.
↑ CS Weiss De indagando formarum crystallinarum charactere geometrico principali dissertatio. Lipsiae [Leipzig] 1809
↑ C.S. Weiss : Ueber die natürlichen Abtheilungen der Crystallisations Systeme. Abhandl. k. Akad. Wiss., Berlin 1814-1815, S. 290-336.
↑ Friedrich Mohs : Grund-Riß der Mineralogie. Erster Hale. Terminologi, Systematik, Nomenklatur, Charakteristik. Dresden 1822
↑ Carl Friedrich Naumann , Lehrbuch der Mineralogie Mineralogie, 1828 online
↑ Carl Friedrich Naumann , Lehrbuch der reinen und angewandten Krystallographie, 1830 online
↑ Edward Salisbury Dana, James Dwight Dana, A text-book of mineralogy, 1880 online
↑ Carl Friedrich Naumann, Elemente der mineralogie, 1874 online
↑ Bravais, A. (1850) Mémoire sur les systèmes formés par les points distribués régulièrement sur un plan ou dans l'espace. Journal de L'Ecole Polytechnique.
↑ B. Souvignier: "Enantiomorfisme af krystallografiske grupper i højere dimensioner med resultater i dimensioner op til 6". Acta Crystallographica Sektion A, bind 59, s. 210-220, 2003.
↑ CARAT-hjemmesiden . Dato for adgang: 5. maj 2015. Arkiveret fra originalen 5. marts 2016. (ubestemt) En del af beregningerne i Souvignier (2003) for seksdimensionelt rum var baseret på en fejlagtig version af CARAT-programmet.
↑ EJW Whittaker, Et atlas af hyperstereogrammer af de firedimensionelle krystalklasser. Clarendon Press (Oxford Oxfordshire og New York) 1985.
↑ H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek og H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978.

Links

Ordliste over vilkår på webstedet for International Union of Crystallographers

Syngony
Symmetri
laveste kategori	Triclinic system Monoklinisk syngoni Rhombisk system
Mellem kategori	Tetragonalt system Trigonalt system (rhombohedral) Sekskantet syngoni
Top kategori	Kubisk system
se også	Krystal struktur Pearson symbol prikgruppe Krystallografisk punktsymmetrigruppe Krystallografisk gruppe
Krystallografi