Median trekant

Median trekant (også median trekant eller komplementær trekant ) er en trekant bygget på midtpunkterne af siderne af en given trekant, et specialtilfælde af median polygon .

Egenskaber

Den midterste trekant kan betragtes som billedet af den oprindelige trekant under homoteti centreret ved tyngdepunktet med faktoren −1. Således ligner midtertrekanten den oprindelige og har samme tyngdepunkt og medianer som den oprindelige trekant . Det følger også af dette, at omkredsen af midtertrekanten er lig med trekantens halve omkreds , og at dens areal er lig med en fjerdedel af trekantens areal . Desuden er de fire trekanter, som den oprindelige trekant er opdelt i med den midterste trekant , lige store i tre sider , så deres arealer er lige store og udgør en fjerdedel af arealet af den oprindelige trekant [1] . I denne henseende kaldes nogle gange alle fire ens indre trekanter opnået fra en given trekant ved at tegne tre medianlinjer i den nogle gange "midt" (i den mest traditionelle terminologi kaldes kun en af dem den midterste - den centrale). $\trekant ABC$ $\trekant ABC$ $\trekant ABC$ $\trekant ABC$

Middeltrekantens ortocenter falder sammen med midten af den omskrevne cirkel af den givne trekant , denne kendsgerning giver midlerne til at bevise, at midten af den omskrevne cirkel, tyngdepunktet og orthocenteret ligger på den samme lige linje - Euler-linjen . $\trekant ABC$

Mediantrekanten er undertrekanten af midten af den omskrevne cirkel. Cirklen med ni punkter er beskrevet for den midterste trekant, og derfor er midten af ni punkter midten af den omskrevne cirkel omkring den midterste trekants Nagel-punktet i den midterste trekant er midten af den indskrevne cirkel i den oprindelige trekant [ 2] .

Den midterste trekant er lig med en trekant, hvis toppunkter er midtpunkterne på de segmenter, der forbinder ortocentret og dets toppunkter ( Eulers trekant ) [3] .

Midten af trekantens indskrevne cirkel ligger i den midterste trekant [4] . Et punkt inde i en trekant er midten af en ellipse indskrevet i trekanten, hvis og kun hvis dette punkt ligger inde i den midterste trekanten [5] . Mediantrekanten er den eneste indskrevne trekant, hvor ingen af de tre andre trekanter har et areal mindre end arealet af denne trekant [6] . Centrum af en cirkel indskrevet i midttrekanten af en given trekant er massecentret af trekantens omkreds ( Spiekers centrum ), dette centrum er tyngdepunktet for den ensartede trådfigur svarende til trekanten. $\trekant ABC$

Ortopolen P i trekantens rette linie ℓ er det radikale centrum af tre cirkler, der tangerer den rette linie ℓ og har centre ved spidserne af den antikomplementære trekant i forhold til den givne trekant. [7]

Midten af en given trekant er Nagel-punktet i trekanten dannet af dens 3 medianer ( trekant midtpunkt ). [otte]

Koordinater

Lade være længderne af siderne af trekanten . De trilineære koordinater for hjørnerne af den midterste trekants er givet ved formlerne: $a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|$ $\trekant ABC$

$X=0:1/b:1/c$
$Y=1/a:0:1/c$
$Z=1/a:1/b:0$

Antimedian trekant

Hvis er en medial trekant for , Så er en anti -median trekant ( antikomplementær ) for . En antikomplementær trekant for er dannet af tre rette linjer parallelt med siderne - parallelt gennem punktet , parallelt gennem punktet og parallelt gennem punktet . $\triangle XYZ$ $\trekant ABC$ $\trekant ABC$ $\triangle XYZ$ $\trekant ABC$ $\trekant ABC$ $AB$ $C$ $AC$ $B$ $f.Kr$ $EN$

De trilineære koordinater for toppunkterne i antimidtertrekanten er givet ved formlerne: $\triangle X'Y'Z'$

$X'=-1/a:1/b:1/c$
$Y'=1/a:-1/b:1/c$
$Z'=1/a:1/b:-1/c$

Noter

↑ Posamentier, Lehmann, 2012 , s. 177.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 161, sætning 337.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 103,#206;108,#1.
↑ Franzsen, 2011 , s. 233, Lemma 1.
↑ Chakerian, 1979 , s. 139, kapitel 7.
↑ Torrejon, 2005 , s. 137.
↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. (Afsnit: G. Ortopolen. Øvelser. Punkt 6. S. 291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 s.
↑ Honsberger, R. . Episoder i det nittende og tyvende århundredes euklidiske geometri. Washington, DC: Matematik. Assoc. amer. 1995. S. 51, punkt (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303

Litteratur