Nedbrydning af primære idealer i Galois-udvidelser

Nedbrydningen af primidealer i Galois-udvidelser er dekomponeringen af primidealer af ringen af heltal i feltet af algebraiske tal i ringen af heltal i en Galois-udvidelse med en Galois-gruppe . Studiet af denne nedbrydning er en af de rigeste dele af algebraisk talteori . Denne teori tilskrives nogle gange Hilbert , og optræder derfor under navnet Hilberts teori . $P$ $O_{K}$ $K$ $O_{L}$ $L/K$ $G$

Definitioner

Lade være en endelig forlængelse af talfeltet , og lad og være ringene af heltal og hhv. $L/K$ $O_{K}$ $O_{L}$ $K$ $L$

{\begin{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array))

Lad endelig være et ikke-nul primideal i eller tilsvarende et maksimalt ideal , så kvotientringen er et felt . $P$ $O_{K}$ $O_{K}/P$

Fra grundlaget for teorien om en endimensionel ring følger eksistensen af en unik nedbrydning af idealet : $P$

P=\prod \limits _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j)),

hvor er forskellige maksimale idealer og er deres mangfoldighed. $P_{j}$ $e_{j}\geqslant 1$

Feltet indlejres naturligt i hver , graden af denne udvidelse af restfeltet kaldes graden af inerti over . $F=O_{K}/P$ ${\displaystyle F_{j}=O_{L}/P_{j))$ $j$ $f_{j}=[O_{L}/P_{j}:O_{K}/P]$ $P_{j}$ $P$

Eksponenten kaldes grenindekset over . Hvis for nogle , så kaldes udvidelsen forgrenet ved (eller vi siger, at den forgrener sig ved ). Ellers kaldet uforgrenet i . Hvis ja, så er faktoren ifølge den kinesiske restsætning produktet af felterne . er forgrenet, hvis og kun hvis den deler den relative diskriminant , så er kun et begrænset antal prime idealer uforgrenede. $e_j$ $P_{j}$ $P$ $e_{j}>1$ $j$ $L/K$ $P$ $P$ $L$ $L/K$ $P$ $O_{L}/P$ $F_{j}$ $P$

Multiplikativiteten af normen for et ideal indebærer

[L:K]=\sum \limits _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.

Hvis for alle (og derfor ), så siger vi, at det fuldstændig nedbrydes til . Hvis og (og derfor ), siger vi, at den forgrener sig fuldstændigt til . Til sidst, hvis og (og derfor ), siger vi, at det er inert i . ${\displaystyle f_{j}=e_{j))$ $j$ $g=[L:K]$ $P$ $L$ $g=1$ $f_{1}=1$ $e_{1}=[L:K]$ $P$ $L$ $g=1$ $e_{1}=1$ $f_{1}=[L:K]$ $P$ $L$

Dekomponering i Galois-udvidelser

Lad være en Galois-udvidelse . Så handler Galois-gruppen transitivt på . Det vil sige, de primære ideelle faktorer i udvidelsen af i form af en enkelt bane under påvirkning af en automorfi over . Det følger af dette og faktoriseringens unikke teoremet , at og ikke afhænger af . Så tager de resulterende relationer formen $L/K$ $G=\operatørnavn {Gal} (L/K)$ $P_{j}$ $P$ $L$ $L$ $K$ ${\displaystyle f=f_{j))$ ${\displaystyle e=e_{j))$ $j$

P=\left(\prod \limits _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}

[L:K]=efg.

Det følger, at er antallet af prime koefficienter i . Ifølge formlen for antallet af grundstoffer i kredsløbet for alle , hvor er stabilisatoren , kaldet idealets nedbrydningsgruppe . Da, ifølge den grundlæggende Galois-teori, rækkefølgen af nedbrydningsgruppen for alle . $[L:K]/ef=g$ $P$ $O_{L}$ $g=|G|/|D_{P_{j}}|$ $j$ $D_{P_{j}}=\{\sigma \in G:\sigma (P_{j})=P_{j}\}$ $P_{j}$ $P_{j}$ $[L:K]=|G|$ $|D_{P_{j}}|=ef$ $j$

Nedbrydningsgruppen indeholder en normal undergruppe , kaldet inertigruppen , bestående af automorfier , der inducerer identiteten automorfi på . Er med andre ord kernen i reduktionskortlægningen . Det kan påvises, at denne kortlægning er surjektiv, og det følger heraf, at og . $I_{P_{j))$ $P_{j}$ $L/K$ ${\displaystyle F_{j}=O_{L}/P_{j))$ $I_{P_{j))$ $D_{P_{j}}\to \operatørnavn {Gal} (F_{j}/F)$ $\operatorname {Gal} (F_{j}/F)\cong D_{P_{j}}/I_{P_{j}}$ $|I_{P_{j}}|=e$

Frobenius elementteorien går videre til at identificere et element for en given , hvilket svarer til en Frobenius automorfi i Galois-gruppen med en finit feltudvidelse . I det uforgrenede tilfælde er rækkefølgen og triviel. Også Frobenius-elementet i dette tilfælde er et element (og dermed også et element fra ). $D_{P_{j}}/I_{P_{j}}$ $j$ $F_{j}/F$ $|D_{P_{j}}|=f$ $I_{P_{j))$ $D_{P_{j))$ $G$

Nedbrydningen af prime idealer i felter, der ikke er Galois-udvidelser, kan studeres med et dekomponeringsfelt , det vil sige med en Galois-udvidelse, der indeholder det oprindelige felt, men er noget større end det. For eksempel indlejres et kubisk felt normalt i en Galois-udvidelse på grad 6.

Et eksempel er Gaussiske heltal

Dette afsnit beskriver opdelingen af primære idealer i feltudvidelse . Det vil sige, vi tager og , så og er ringen af Gaussiske heltal . Selvom dette tilfælde langt fra er repræsentativt, da - En faktoriel ring og et begrænset antal kvadratiske felter med en unik faktorisering - viser det mange af teoriens træk. $\mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q}$ $L=\mathbb {Q} (i)$ $O_{K}=\mathbb {Z}$ $O_{L}=\mathbb {Z} [i]$ ${\mathbb {Z}}[i]$

Lad os betegne Galois-gruppen , , hvor er den komplekse konjugerede automorfi. Lad os overveje tre tilfælde. $G$ $\mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q}$ ${\displaystyle G=\{1,\sigma \))$ $\sigma$

Prime p = 2

Simpel 2 i gafler : $\mathbb {Z}$ ${\mathbb {Z}}[i]$

(2)=((1+i)^{2})

Filialindeks . Restfeltet her er $e=2$

{\displaystyle O_{L}/(1+i)O_{L}\cong \mathbb {F} _{2))

er et sidste felt med 2 elementer. Udvidelsesgruppe , da der kun er et af tallene over 2. Inertigruppe , siden $D_{(1+i)}=G$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $I_{1+i}=G$

a+bi\equiv a-bi{\bmod {1+i))

for alle heltal $a,b$

Faktisk er 2 det eneste primtal, der forgrener sig ved , da hver forgrenende primtal skal dividere diskriminanten , som er . ${\mathbb {Z}}[i]$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $-4$

Simpel p ≡ 1 mod 4

Enhver primtal nedbrydes til et produkt af to forskellige prime idealer i ; dette er faktisk Fermats sum af to kvadraters sætning . For eksempel: $p\equiv 1{\pmod {4}}$ ${\mathbb {Z}}[i]$

{\displaystyle 13=(2+3i)(2-3i)=2^{2}+3^{2))

Begge nedbrydningsgrupper er trivielle i dette tilfælde: , da automorfismen permuterer og derfor . Inertigruppen er også en triviel gruppe som en undergruppe af nedbrydningsgruppen. Der er to restfelter, et for hver prime: ${\displaystyle G_{2\pm 3i}\{1\))$ $\sigma$ $(2+3i)$ $(2-3i)$ ${\displaystyle \sigma \ikke \i G_{2\pm 3i))$

O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\,

som er isomorfe . Frobenius-elementet vil være en triviel automorfi, hvilket betyder det $\mathbb {F} _{13}$

(a+bi)^{13}\equiv a+bi{\pmod {2\pm 3i))

for alle $a,b\in \mathbb {Z}$

Simpel p ≡ 3 mod 4

Enhver simpel , for eksempel , forbliver enkel, inert , i , det vil sige, nedbrydes ikke. I denne situation er nedbrydningsgruppen fordi . Denne situation adskiller sig dog fra tilfældet , fordi den nu ikke virker trivielt på restfeltet . For eksempel . Derfor er inertigruppen triviel :. Galois-gruppen over underfeltet har ordre 2 og genereres af billedet af Frobenius-elementet. Frobenius er intet andet end hvad det betyder det $p:p\equiv 3{\pmod {4}}$ $7$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $G_{7}=G$ $\sigma (7)=7$ $p=2$ $\sigma$ $O_{L}/(7)O_{L}\cong \mathbb {F} _{7^{2))$ $1+i\not \equiv 1-i{\pmod {7}}$ $I_{7}=\{1\}$ ${\displaystyle O_{L}/(7)O_{L))$ $\mathbb {Z} /7\mathbb {Z}$ $\sigma$

(a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7))

for alle $a,b\in \mathbb {Z}$

Resumé

Let at $\mathbb {Z}$	Hvordan nedbrydes det til ${\mathbb {Z}}[i]$	Gruppe af inerti	nedbrydningsgruppe
$p=2$	Gafler med indeks 2	$G$	$G$
$p\equiv 1{\pmod {4}}$	Dekomponerer i 2 forskellige primfaktorer	$\{en\}$	$\{en\}$
$p\equiv 3{\pmod {4}}$	Inert, forbliver enkel	$\{en\}$	$G$

Beregning af faktoriseringen af et ideal

Antag, at vi ønsker at dekomponere et primideal af en ring til primidealer af en ring . Den følgende procedure (Neukirch, s. 47) løser dette problem i mange tilfælde. Strategien er at vælge et heltal , således at (en sådan findes ved den primitive elementsætning ), og derefter undersøge det minimale elementpolynomium over . Ved at reducere koefficienterne modulo får vi et polynomium med koefficienter fra et endeligt felt . Antag at faktoriserer i en polynomial ring som $P$ $O_{K}$ $O_{L}$ $\theta \in O_{L}$ $L=K(\theta )$ $\theta$ $H(X)$ $\theta$ $K$ $H(X)$ $P$ $h(X)$ $F=O_{K}/P$ $h(X)$ $F[X]$

h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n)),

hvor er forskellige irreducerbare polynomier i . Så, hvis ikke er en af et endeligt antal exceptionelle primtal (den nøjagtige tilstand er beskrevet nedenfor), er nedbrydningen som følger: ${\displaystyle h_{j))$ $F[X]$ $P$ $P$

PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n)),

hvor er forskellige primære idealer . Derudover er inertigraden for hver lig med graden af det tilsvarende polynomium , og der er en eksplicit formel for : $Q_{j}$ $O_{L}$ $Q_{j}$ ${\displaystyle h_{j))$ $Q_{j}$

Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L},

hvor betegner her ophævelsen af et polynomium i . ${\displaystyle h_{j))$ ${\displaystyle h_{j))$ $K[X]$

I tilfælde af en Galois-udvidelse er inertigraderne ens, og forgreningsindekserne er . ${\displaystyle e_{1}=...=e_{n))$

De ekstraordinære primtal, for hvilke ovenstående resultat ikke altid holder, er dem, der ikke er coprime i forhold til ringens leder . Lederen er defineret som et ideal $O_{K}[\theta ]$

\{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\};

det måler, hvor meget orden er den fulde ring af heltal (maksimal rækkefølge) . $O_{K}[\theta ]$ $O_{L}$

En væsentlig hindring er, at der er sådanne og , for hvilke der ikke er nogen , der opfylder ovenstående hypoteser (se f.eks. [1] ). Derfor kan algoritmen ovenfor ikke bruges til at bestemme en sådan og mere sofistikerede tilgange som dem, der er beskrevet i. [2] $L/K$ $P$ $\theta$ $P$

Beregningseksempel

Overvej igen tilfældet med Gaussiske heltal. Vi tager den imaginære enhed . Da det er ringen af heltal , er lederen en enhedsideal, så der er ingen ekstraordinære primtal. $\theta =i$ $H(X)=X^{2}+1$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $\mathbb {Q} (i)$

For vi skal arbejde i feltet , hvilket bunder i at udvide polynomiet modulo 2: $P=(2)$ ${\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ $X^{2}+1$

X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2)).

Derfor er der kun én primfaktor med en inertigrad på 1 og et forgreningsindeks på 2, og den er givet ved formlen

Q=(2)\mathbb {Z} [i]+(i+1)\mathbb {Z} [i]=(1+i)\mathbb {Z} [i].

Det næste tilfælde er for en simpel . Lad os for eksempel tage . Polynomiet er irreducible modulo 7. Derfor er der kun én primfaktor med en inertigrad på 2 og et forgreningsindeks på 1, og det er givet ved formlen $P=(p)$ $p\equiv 3{\pmod {4}}$ $P=(7)$ $X^{2}+1$

Q=(7)\mathbb {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbb {Z} [i]=7\mathbb {Z} [i].

Det sidste tilfælde er for en simpel ; vi tager igen . Denne gang har vi en nedbrydning $P=(p)$ $p\equiv 1{\pmod {4}}$ $P=(13)$

X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13)).

Derfor er der to hovedmultiplikatorer, både med en inertigrad og med et forgreningsindeks lig med 1. De er givet ved udtrykket

Q_{1}=(13)\mathbb {Z} [i]+(i+5)\mathbb {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbb {Z} [i]

Q_{2}=(13)\mathbb {Z} [i]+(i-5)\mathbb {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbb {Z} [i] .

Geometrisk analogi

Noter

↑ {title} (downlink) . Hentet 2. juni 2018. Arkiveret fra originalen 12. september 2006. (ubestemt)
↑ {title} (downlink) . Hentet 2. juni 2018. Arkiveret fra originalen 12. september 2006. (ubestemt)

Litteratur

Ireland K., Rosen M. En klassisk introduktion til moderne talteori. — M .: Mir, 1987. — 428 s.