Engel nedbrydning

Engel-dekomponeringen af et positivt reelt tal x er den eneste ikke-aftagende sekvens af positive naturlige tal, således at ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots \))$

x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{ 2}a_{3}}}+\cdots .\;

Rationelle tal har en endelig Engel-udvidelse, og irrationelle tal har en uendelig rækkeudvidelse. Hvis x er rationel, giver dens Engel-udvidelse en egyptisk brøkrepræsentation af x . Nedbrydningen er opkaldt efter matematikeren Friedrich Engel , som studerede den i 1913 .

En nedbrydning svarende til Engel-nedbrydningen , men med begreberne omvendt, kaldes Peirce-nedbrydningen .

Engel ekspansion, fortsat brøker og Fibonacci

Kraeikamp og Wu [1] bemærkede, at Engel-udvidelsen kan skrives som en stigende fortsatte brøkvariant :

x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3)))){\displaystyle a_{2)) }}{\displaystyle a_{1}}}}.

De hævder, at stigende fortsatte fraktioner som denne er blevet undersøgt siden Fibonacci 's kulram (1202). Denne erklæring refererer til Fibonacci-kompleksbrøknotationen, hvor en sekvens af tællere og nævnere, der deler samme egenskab, repræsenterer en stigende fortsat brøk:

{\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h))={\dfrac {d+{\dfrac {c+{\dfrac {b+{\dfrac {a}{e} }}{f}}}{g}}}{h}}.

Hvis alle tællere i denne notation er 0 eller 1, som det fremgår nogle steder i abacusbogen , er resultatet en Engel-udvidelse. Engel-nedbrydningen som teknik er dog ikke beskrevet i bogen.

Algoritme til beregning af Engel-udvidelser

For at finde Engel-udvidelsen for x sætter vi

u_{1}=x,

a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k))}\right\rceil ,

u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1

hvor er loftet (det mindste heltal ikke mindre end r ). $\left\lceil r\right\rceil$

Hvis for nogle i , stopper vi algoritmen. $u_{i}=0$

Eksempel

For at finde Engel-udvidelsen til nummeret 1.175 udfører vi følgende trin.

u_{1}=1{,}175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1{,}175}}\right\rceil =1;

u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1{,}175\cdot 1-1=0.175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0{ ,}175}}\right\rceil=6

u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0{,}175\cdot 6-1=0{,}05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1 }{0{,}05}}\right\rceil =20

u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0{,}05\cdot 20-1=0

Sekvensen er afsluttet. På denne måde

1{,}175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}

og Engel-udvidelsen til 1.175 er {1, 6, 20}.

Engel nedbrydning af rationelle tal

Ethvert positivt rationelt tal har en unik endelig Engel-udvidelse. I Engel-dekomponeringsalgoritmen, hvis u i er et rationelt tal x / y , så er u i +1 = (− y mod x )/ y . Således reducerer hvert trin tælleren i den resterende u i , og processen med at konstruere Engel-udvidelsen skal afsluttes efter et begrænset antal trin. Ethvert rationelt tal har også en unik uendelig Engel-udvidelse: ved at bruge ligheden

{\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}.

det sidste tal n i den endelige Engel-udvidelse kan erstattes af en uendelig rækkefølge ( n + 1) uden at ændre værdien. For eksempel,

1{,}175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\dots \}.\;\;

Dette er analogt med, at ethvert rationelt tal med en endelig decimalrepræsentation har en uendelig decimalrepræsentation (se 0,(9) ). En uendelig Engel-udvidelse, hvor alle elementer er lige, er en geometrisk progression .

Erdős , Renyi og Szüsz spurgte om ikke-trivielle grænser for længden af den endelige Engel-udvidelse af den rationelle brøk x / y . Dette spørgsmål blev besvaret af Erdős og Schallit og beviste, at antallet af ekspansionsled er O( y 1/3 + ε ) for enhver ε > 0 [2] [3] .

Engel-udvidelse for nogle velkendte konstanter

\pi

= {1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...} (sekvens A006784 i OEIS )

{\sqrt {2}}

= {1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...} (sekvens A028254 i OEIS )

e

= {1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...} (sekvens A000027 i OEIS )

e^{1/r}-1=\{1r,2r,3r,4r,5r,6r,\dots \}\;

Flere Engel-udvidelser kan findes her .

Væksthastigheden af nedbrydningselementer

Koefficienterne a i for Engel-udvidelsen har som regel eksponentiel vækst . Mere præcist, for næsten alle tal i intervallet (0,1), eksisterer grænsen og er lig med e . Den delmængde af intervallet, som dette ikke gælder for, er imidlertid stor nok til, at dens Hausdorff-dimension er en [4] ] . ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}^{1/n))$

Den samme typiske vækst ses i termerne genereret af den grådige algoritme for egyptiske fraktioner . Men mængden af reelle tal i intervallet (0,1), hvis Engel-udvidelse falder sammen med deres ekspansion ved den grådige algoritme, har mål nul og Hausdorff-dimension 1/2 [5] .

Noter

↑ Kraaikamp, Wu, 2004 .
↑ Erdős, Renyi, Szüsz, 1958 .
↑ Erdős, Shallit, 1991 .
↑ Wu, 2000 , Ifølge Wu skyldes resultatet på ligheden af grænsen e for næsten alle tal Janos Galambos.
↑ Wu, 2003 .

Litteratur

F. Engel. Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner i Marburg. - 1913. - S. 190-191.
T. A. Pierce. Om en algoritme og dens anvendelse til at tilnærme rødder til algebraiske ligninger // Am. Matematik. Månedlige. - 1929. - T. 36 , nr. 10 . - S. 523-525 . — .
Paul Erdős, Alfred Rényi, Peter Szüsz. Om Engels og Sylvesters serie // Ann. Univ. sci. Budapest. Eötvös sekt. Math.. - 1958. - T. 1 . - S. 7-32 .
Paul Erdős, Jeffrey Shallit. Nye grænser for længden af finite Pierce og Engel-serier // Journal de théorie des nombres de Bordeaux. - 1991. - Vol. 3 , udgave. 1 . - S. 43-53 . - doi : 10.5802/jtnb.41 .
J. Paradis, P. Viader, L. Bibiloni. Approksimation til kvadratiske irrationaler og deres Pierce-udvidelser // Fib. Quart .. - 1998. - T. 36 , nr. 2 . - S. 146-153 .
Cor Kraaikamp, Jun Wu. På en ny fortsat brøkudvidelse med ikke-aftagende partialkvotienter // Monatshefte für Mathematik. - 2004. - T. 143 , no. 4 . - S. 285-298 . - doi : 10.1007/s00605-004-0246-3 .
juni Wu. Et problem med Galambos på Engel-udvidelser // Acta Arithmetica. - 2000. - T. 92 , no. 4 . - S. 383-386 .
juni Wu. Hvor mange point har de samme Engel- og Sylvester-udvidelser? // Tidsskrift for talteori. - 2003. - T. 103 , no. 1 . - S. 16-26 . - doi : 10.1016/S0022-314X(03)00017-9 .