Hartley transformation

Hartley transformation (Hartley transform) - integral transformation , tæt beslægtet med Fourier transformation , men i modsætning til sidstnævnte transformerer den nogle reelle funktioner til andre reelle funktioner. Transformationen blev foreslået som et alternativ til Fourier-transformationen af R. Hartley i 1942 . Hartley-transformationen er en af de mange velkendte former for Fourier-transformationer. Hartley-transformationen kan også vendes.

En diskret version af Hartley-transformationen blev introduceret af Ronald Bracewelli 1983 .

Definition

Direkte konvertering

Hartley-transformationen beregnes ved formlen $H(\omega )$

H(\omega )=\left\{{\mathcal {H}}f\right\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{ -\infty }^{\infty }f(t)\,{\mbox{cas}}(\omega t)\mathrm {d} t,

hvor

{\mbox{cas}}(t)=\cos(t)+\sin(t)={\sqrt {2}}\sin(t+{\frac {\pi }{4}})= {\sqrt {2}}\cos(t-{\frac {\pi }{4)))

- Hartley kerne .

Omvendt transformation

Den omvendte transformation opnås ved involutionsprincippet :

f=\{{\mathcal {H}}\{{\mathcal {H}}f\}\}

Præciseringer

I stedet for at bruge de samme formler for de fremadrettede og omvendte transformationer, kan du indtaste en faktor for den omvendte og tage den samme faktor ud af den fremadrettede Hartley-transformation. Denne måde kaldes asymmetrisk normalisering ; ${\frac {1}{2\pi }}$
Du kan bruge koefficienten i stedet for at udelade koefficienten helt ; $2\pi \nu t$ $\omega t$ ${\frac {1}{2\pi }}$
Du kan bruge cosinus og sinus subtraktion i stedet for deres sum .

Forholdet til Fourier-transformationen

Hartley-transformationen adskiller sig fra Fourier-transformationen i valget af kernen .

Fourier-transformationen bruger den eksponentielle kerne

\exp \left({-i\omega t}\right)=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t),

hvor

jeg

er den imaginære enhed .

Disse to transformationer er tæt beslægtede, og hvis de har samme normalisering, så

F(\omega )={\frac {H(\omega )+H(-\omega )}{2}}-i{\frac {H(\omega )-H(-\omega )}{ 2}}

For virkelige funktioner bliver Hartley-transformationen til en kompleks Fourier-transformation: $f(t)$

\{{\mathcal {H}}f\}=\Re \{{\mathcal {F}}f\}-\Im \{{\mathcal {F}}f\}=\Re \{ {\mathcal {F}}f\cdot (1+i)\},

hvor

\Re

og er henholdsvis den reelle og den imaginære del af funktionen.

\Jeg er

Egenskaber

Hartley transformation - ægte symmetrisk unitær lineær operator

Der er også en analog til foldningssætningen : hvis to funktioner og henholdsvis har Hartley-transformationer , så vil deres foldning have en transformation $x(t)$ $y(t)$ $X(t)$ $Y(t)$ $z(t)=x*y$

Z(\omega )=\{{\mathcal {H}}(x*y)\}={\sqrt {2\pi }}\left(X(\omega)\left[Y(\omega )+Y(-\omega )\right]+X(-\omega )\left[Y(\omega )-Y(-\omega )\right]\right)/2

Ligesom Fourier-transformationen vil Hartley-transformationen være en lige eller ulige funktion afhængigt af arten af den funktion, der transformeres.

Cas

Hartley-kernens egenskaber følger af egenskaberne for trigonometriske funktioner . Fordi

{\mbox{cas}}(t)={\sqrt {2}}\sin(t+\pi /4),

derefter

2{\mbox{cas}}(a+b)={\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(-a){ \mbox{cas}}(b)+{\mbox{cas}}(a){\mbox{cas}}(-b)-{\mbox{cas}}(-a){\mbox{cas}} (-b)

{\mbox{cas}}(a+b)=\cos(a){\mbox{cas}}(b)+\sin(a){\mbox{cas}}(-b)=\ cos(b){\mbox{cas}}(a)+\sin(b){\mbox{cas}}(-a)

Afledt af kernen er

{\mbox{cas}}'(a)={\frac {\mbox{d}}({\mbox{d}}a}}{\mbox{cas}}(a)=\cos( a)-\sin(a)={\mbox{cas}}(-a)

Litteratur

RONALD N. Bracewell Fourier Transform [1] Arkiveret 24. maj 2017 på Wayback Machine
Hartley, RVL, En mere symmetrisk Fourier-analyse anvendt på transmissionsproblemer Arkiveret 2. juni 2008 på Wayback Machine , Proc. IRE 30 , 144-150 (1942).
Bracewell, RN, The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2. udgave 1978, revideret 1986) (også oversat til japansk og polsk)
Bracewell, RN, The Hartley Transform (Oxford University Press, 1986) (også oversat til tysk og russisk)
Bracewell, RN, Skabelon:Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 381-387 (1994).
Millane, RP, Skabelon:Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 413-428 (1994).
Villasenor, John D., Skabelon:Doi-inline , Proc. IEEE 82 (3), 391-399 (1994).

Integrale transformationer
Abel transformerer Bessel forvandler sig Bushman transformation Gegenbauer transformation Hilbert transformation Kontorovich-Lebedev transformation Laplace transformation Meyer transformation Mehler-Fock transformation Mellin transformation Nerain transformation Radon transformation Stieltjes transformerer Fourier transformation Hankel transformation Hartley transformation