Legendre transformation

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 30. august 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Legendre-transformationen for en given funktion er konstruktionen af en funktion , der er dens Young dual. Hvis den oprindelige funktion blev defineret på et vektorrum , vil dens Legendre-transformation være en funktion defineret på det dobbelte rum , det vil sige på rummet af lineære funktionaler på rummet . $f(x)$ $f^{*}(p)$ $V$ $V^*$ $V$

Motivation

Mulig motivation kan udtrykkes som en mindre generel definition. Legendre-transformationen er en substitution af en funktion og en variabel, hvor den gamle afledte tages som den nye variabel, og den gamle variabel tages som den nye afledte.

Udtryk for differential

df(x)=f'(x)\,dx

på grund af, at , kan skrives i formen $d(xf')=f'\,dx+x\,df'$

d(xf'-f)=x\,df'.

Hvis vi nu accepterer det

F=xf'-f,\quad y=f'(x),

som er Legendre-transformationen , altså $(f,x)\to (F,y)$

dF(y)=F'(y)\,dy,\quad x=F'(y).

I dette tilfælde er den nye variabel lig med den gamle afledte, og den gamle variabel er lig med den nye afledte: $y$ $x$

y=f'(x),\quad x=F'(y).

Definitioner kan afvige i fortegn . Hvis der er mere end én kildevariabel , kan Legendre-transformationen udføres på en hvilken som helst undergruppe af dem. $F$ $x$

Definition

Analytisk definition

Legendre-transformationen af en funktion defineret på en delmængde af et vektorrum er en funktion defineret på en delmængde af det dobbelte rum med formlen $f$ $M$ $V$ $f^{*}$ $M^*$ $V^*$

f^{*}(p)=\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )},\quad p\in M ^{*}=\venstre\{p:\sup _{x\in M}{\big (}\langle p,x\rangle -f(x){\big )}<\infty \right\},

hvor er værdien af den lineære funktional på vektoren . I tilfælde af et Hilbert-rum , det sædvanlige skalarprodukt . I det særlige tilfælde af en differentierbar funktion defineret i , udføres overgangen til den adjoint funktion i henhold til formlerne $\langle p,x\rangle$ $s$ $x$ $\langle p,x\rangle$ ${\mathcal R}^{n}$

f^{*}(p)=\langle p,x\rangle -f(x),\quad p={\frac {\partial f}{\partial x))=\operatørnavn {grad} f ,

og det er nødvendigt at udtrykke igennem fra den anden ligning. $x$ $s$

Geometrisk sans

For en konveks funktion er dens epigraf et konveks lukket sæt , hvis grænse er grafen for funktionen . Sættet af understøttende hyperplaner til epigrafen af en funktion er det naturlige domæne af dens definition ved dens Legendre transformation. Hvis er et understøttende hyperplan (tangens i vores tilfælde) til epigrafen, skærer det aksen på et enkelt punkt. Dens -koordinat, taget med et minustegn, er værdien af funktionen . $f(x)$ $\operatornavn {epi} f=\{(x,y)\mid y\geqslant f(x)\}$ $f(x)$ $f(x)$ $f^{*}(p).$ $s$ $y$ $y$ $f^{*}(p)$

Korrespondancen er entydigt defineret i det domæne, hvor funktionen er differentierbar . Så er tangenthyperplanet til grafen ved punktet . Den omvendte korrespondance er entydigt defineret, hvis og kun hvis funktionen er strengt konveks. I dette tilfælde er referencehyperplanets eneste kontaktpunkt med grafen for funktionen $x\to p$ $f(x)$ $s$ $f(x)$ $x$ $p\to x$ $f(x)$ $x$ $s$ $f(x).$

Hvis funktionen er differentierbar og strengt konveks, defineres en korrespondance, der tildeler funktionens differentiale til hyperplanet i punktet . Denne korrespondance er en-til-en og giver os mulighed for at overføre funktionens definitionsdomæne til rummet af covektorer, som er funktionens differentialer . $f(x)$ $p(x)\leftrightarrow df(x),$ $s$ $f(x)$ $x$ $f^{*}(p)$ $V^{*},$ $f(x)$

I det generelle tilfælde af en vilkårlig ikke-konveks funktion bevares den geometriske betydning af Legendre-transformationen. I kraft af støtteprincippet er epigrafens konvekse skrog skæringspunktet mellem halvrummene defineret af alle støttehyperplanerne , så det er kun epigrafens konvekse skrog, der er afgørende for Legendre-transformationen . Således reduceres tilfældet med en vilkårlig funktion let til tilfældet med en konveks. Funktionen behøver ikke engang at være differentierbar eller kontinuerlig, dens Legendre-transformation vil stadig være en konveks lavere semikontinuerlig funktion. $\varphi$ $\varphi$

Egenskaber

Fenchel-Moro-sætning : for en egentlig konveks nedre semikontinuerlig funktion f defineret på et refleksivt rum, er Legendre-transformationen involutiv , dvs. Det er let at se, at hvis den konvekse lukning af funktionen f er funktionen g , så er f * = g *. Dette indebærer, at for en ikke-konveks funktion, hvis konvekse lukning er en egenfunktion, $f^{{**}}(x)=f(x)$ $f^{**}(x)=\operatørnavn {\overline {co)) f(x)$ , hvor er den konvekse lukning af funktionen f . $\operatørnavn {\overline {co}} f$
Young-Fenchel uligheden følger direkte af den analytiske definition : $f(x)+f^{*}(p)\geqslant \langle p,x\rangle$ , og lighed opnås kun hvis p = F ́( x ). (Ofte er Youngs ulighed et specialtilfælde af denne ulighed for en funktion , a > 1.) $F(x)=x^{a}/a$
I variationsregningen (og den lagrangske mekanik baseret på den ) anvendes Legendre-transformationen normalt på handlings-lagrangianere i en variabel . Billedet af Lagrangian bliver Hamiltonian af handlingen H ( t , x , p ), og Euler-Lagrange-ligningerne for optimale baner transformeres til Hamiltonian-ligningerne . $L(t,x,{\dot {x)))$ ${\dot {x}}$
Ved at bruge det, er det nemt at vise det . $p=\nabla _{x}f$ $\nabla _{p}f^{*}(p)=-x$

Eksempler

Power funktion

Overvej Legendre-transformationen af funktionen , ( , ) defineret på . I tilfælde af lige n kan vi overveje . $f(x)=x^{n}$ $n>0$ $n\neq 1$ $\mathbb {R^{+}}$ $\mathbb {R}$

p(x)={\frac {df}{dx}}=n\cdot x^{n-1}.

Herfra udtrykker vi, vi får $x=x(p)$

x(p)=\left({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {1}{n-1}}.

I alt opnår vi Legendre-transformationen for effektfunktionen :

f^{*}(p)=px-f(x)=\venstre({\frac {p}{n}}\right)^{\frac {n}{n-1}}\cdot (n-1).

Det er nemt at kontrollere, at gentagen Legendre-transformation giver den oprindelige funktion . $f(x)$

Funktion af mange variabler

Overvej en funktion af mange variable defineret på rummet af følgende form: $\mathbb {R} ^{n}$

f(x)=\langle x,Ax\rangle +c.

$EN$ reel, positiv bestemt matrix, konstant. Lad os først og fremmest sikre os, at det dobbelte rum, hvor Legendre-transformationen er defineret, falder sammen med . For at gøre dette skal vi sikre os, at funktionens ekstremum eksisterer . $c$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\phi =\langle p,x\rangle -\langle x,Ax\rangle -c$

\nabla _{x}\phi =p-2Ax,

\nabla _{x}\nabla _{x}\phi =-2A.

På grund af den positive bestemthed af matricen får vi, at ekstremumpunktet er maksimum. For hver er der således et højeste . Beregningen af Legendre-transformationen udføres direkte: $EN$ $s$

f^{*}(p)={\frac {1}{4}}\langle p,A^{-1}p\rangle -c.

Ansøgninger

Hamiltonsk mekanik

I Lagrangiansk mekanik er systemet beskrevet af Lagrange-funktionen. For et typisk problem ser Lagrange-funktionen sådan ud:

L(q,u)={\frac {1}{2}}\langle u,Mu\rangle -V(q),

${\displaystyle (q,u)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n))$ , med det standard euklidiske prikprodukt. Matrixen anses for at være reel, positiv bestemt. I det tilfælde, hvor Lagrangian ikke er degenereret i hastigheder, dvs. $M$

p=\nabla _{u}L(q,u)\neq 0,

du kan lave Legendre-transformationen i form af hastigheder og få en ny funktion kaldet Hamiltonian:

H(p,q)=pq'-L={\frac {1}{2}}\langle p,M^{-1}p\rangle +V(q).

Termodynamik

I termodynamik er der meget ofte en række termodynamiske funktioner , hvis differentiale i det mest generelle tilfælde ser ud som

dL=X\,dx+Y\,dy+Z\,dz+\ldots

For eksempel ser forskellen for intern energi sådan ud:

dE=T\,dS-P\,dV.

Energi præsenteres her som en funktion af variable . Sådanne variable kaldes naturlige. For eksempel opnås den frie energi som Legendre-transformationen af den indre energi: $S,V$

F=E-TS,

dF=-S\,dT-P\,dV.

Generelt, hvis vi ønsker at gå fra funktion til funktion , skal vi lave Legendre-transformationen: $L=L(x,y,z,\ldots )$ $L=L(X,y,z,\ldots )$

L(X,y,z,\ldots )=L-xX,

dL(X,y,z,\ldots )=-x\,dX+Y\,dy+Z\,dz+\ldots

Felt teori. Legendre funktionel transformation

I kvantefeltteorien bruges Legendre funktionelle transformation meget ofte. Det indledende objekt er den forbundne grønnes funktioner, som er betegnet med , hvor er nogle eksterne felter. Følgende funktion kaldes Legendre-transformationen over feltet A [1] : $W(A)$ $EN$

\Gamma (\alpha )=W{\big (}A(\alpha ){\big )}-\int dx\cdot \alpha A.

Integrationstegnet er normalt ikke skrevet. er defineret af følgende udtryk [1] : $\alfa$

\alpha (x)={\frac {\delta {W}}{\delta {A(x)))},

$\delta$ betyder variationsafledningen . Ved at bruge egenskaben for den variationelle afledte er det let at udlede følgende relation, der forbinder og . Virkelig: $W$ $\Gamma$

\delta (xy)={\frac {\delta A(x)}{\delta A(y)))=\int dz\,{\frac {\delta A(x)}{\delta \ alpha (z))){\frac {\delta \alpha (z)}{\delta A(y)))=-\int dz\,{\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)}}{\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y))).

Med andre ord er funktionalerne og , indtil fortegn, omvendt til hinanden. Symbolsk er dette skrevet som følger: $W_{2}={\frac {\delta ^{2}W}{\delta A(z)\delta A(y)))$ $\Gamma _{2}={\frac {\delta ^{2}\Gamma }{\delta \alpha (x)\delta \alpha (z)))$

W_{2}\cdot \Gamma _{2}=-1.

Noter

↑ 1 2 Vasiliev A. N. Funktionelle metoder i kvantefeltteori og statistik. - Leningrad, 1976. - S. 81. - 295 s.

Litteratur

Polovinkin E. S. , Balashov M. V. Elementer af konveks og stærkt konveks analyse Arkiveret 1. april 2022 på Wayback Machine . — M.: FIZMATLIT, 2004. — 416 s. — ISBN 5-9221-0499-3 .
Vasiliev A. N. Funktionelle metoder til kvantefeltteori og statistik. - 1976. - 295 s.