Forudbestille

En forudbestilling ( kvasiorden ) er en binær relation på en mængde , der har egenskaberne refleksivitet og transitivitet . Normalt er denne relation betegnet , så har forudbestillingsaksiomerne på sættet formen: $\precurlyeq$ $M$

\forall a\in M\colon a\preccurlyeq a

\forall a,b,c\in M\colon (a\preccurlyeq b\land b\preccurlyeq c)\Rightarrow (a\preccurlyeq c)

En lineær forudbestilling er en forudbestilling på et sæt, hvor to vilkårlige elementer i sættet er sammenlignelige:

\forall a,b\in X\colon (a\preccurlyeq b)\lor (b\preccurlyeq a)

Kategori teori

En kategori kaldes en forudbestilling , hvis der højst er én morfisme for to objekter . Hvis er en lille kategori , så kan man på sættet af dens objekter indstille forudbestillingsrelationen i henhold til følgende regel: ${\mathcal P}$ $a,b\in Ob{\mathcal {P}}$ $f\colon a\to b$ ${\mathcal P}$

a\preccurlyeq b\iff \exists f\colon a\to b

Det følger af kategoriens aksiomer, at en sådan relation vil være refleksiv og transitiv. En forudbestilling er en abstrakt kategori , det vil sige i det generelle tilfælde kan den ikke repræsenteres som en kategori af nogle sæt med en given struktur og tilknytninger, der bevarer denne struktur. Forudbestilling er også en skeletkategori .

Hvis en lille kategori er komplet i en lille , så er det en forudbestilling, og hvert lille sæt af dets elementer har den største nedre grænse. Produktet af et sæt (sæt, klasse) af forudbestillingsobjekter er den største nedre grænse for dette sæt. Biproduktet af et sæt objekter er dets mindste øvre grænse . Det oprindelige objekt i forudbestillingen , hvis det findes, er dets mindste objekt, så . Ligeledes er terminalobjektet for en forudbestilling det største objekt i den. ${\mathcal C}$ $0$ ${\mathcal P}$ $\forall a\in {\mathcal {P}}\colon 0\preccurlyeq a$

Objekterne i kategorien af forudbestillinger (normalt betegnet med ) er forudbestillinger (i betydningen kategorier), især sæt, hvorpå forudbestillingsrelationen er givet. Morfismer i denne kategori er sæt afbildninger , der bevarer forudbestillingsrelationen, det vil sige monotone afbildninger . En underkategori af små forudbestillinger er en konkret kategori udstyret med en åbenlys univalent glemsom funktion : $\mathbf {Forudbestil}$ $\mathbf {Preord} _{S}$

U\colon \mathbf {Preord} _{S}\to \mathbf {Set}

at tildele hver lille forudbestilling et sæt af dens objekter, og til hver morfisme et monotont kort over de tilsvarende sæt. Denne funktion skaber grænser i . På samme måde er det oprindelige objekt i et tomt sæt , terminalobjektet er et sæt af et element, produktet af objekter er det direkte produkt af de tilsvarende sæt med en komponent-for-komponent sammenligning. $\mathbf {Forudbestil}$ ${\mathbf {Sæt}}$ $\mathbf {Forudbestil}$

Litteratur

Goldblatt R. Topoi. Kategorisk analyse af logik = Topoi. Den kategoriale analyse af logik / Pr. fra engelsk. V. N. Grishin og V. V. Shokurov, red. D. A. Bochvara. — M .: Mir , 1983. — 488 s.
McLane S. Kapitel 1. Kategorier, funktorer og naturlige transformationer // Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 17-42. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .