Jacobi mark

Et Jacobi-felt er et vektorfelt langs en geodætisk i en Riemann-manifold , der beskriver forskellen mellem denne geodætiske og en geodætisk "uendeligt tæt" på den. Det kan siges, at alle Jacobi-felter langs en geodætisk danner et tangentrum til det i alle geodetiske rum . $\gamma$

Opkaldt efter Carl Gustaf Jacob Jacobi .

Definition

Lad der være en glat én-parameter familie af geodetik med , så feltet $\gamma _{\tau }$ $\gamma _{0}=\gamma$

J(t)=\venstre.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}

kaldes Jacobi-marken.

Egenskaber

Jacobi-feltet J opfylder Jacobi-ligningen : $J''(t)+R(J(t),T(t))T(t)=0,$

hvor er den kovariante afledte med hensyn til Levi-Civita-forbindelsen , er krumningstensoren og er tangentvektoren til .

J''(t)={\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J

R

T(t)=d\gamma (t)/dt

\gamma

På komplette Riemann-manifolder er ethvert felt, der opfylder Jacobi-ligningen, et Jacobi-felt, det vil sige, det har en familie af geodætikere forbundet med det felt ifølge definitionen. $\gamma _{\tau }$

Jacobi-ligningen er en andenordens lineær almindelig differentialligning .
- Især, og på et tidspunkt unikt definere Jacobi-feltet. $J$ ${\frac {D}{dt}}J$ $\gamma$
- Derudover udgør sættet af Jacobi-felter langs det geodætiske et reelt vektorrum, hvis dimension er to gange dimensionen af mangfoldigheden.

Ethvert Jacobi-felt kan repræsenteres unikt som en sum , hvor er en lineær kombination af trivielle Jacobi-felter og ortogonalt for alle . $J$ $T+I$ $T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)$ $Det)$ ${\dot {\gamma }}(t)$ $t$
- I dette tilfælde svarer feltet til den samme familie af geodetik, kun med en modificeret parametrisering. $jeg$

For to Jacobi-felter og mængden $Det)$ $J(t)$ $\langle I'(t),J(t)\rangle -\langle I(t),J'(t)\rangle$

er ikke afhængig af .

t

Eksempel

På sfæren er geodetik gennem Nordpolen store cirkler . Overvej to sådanne geodetik og med naturlig parametrisering , adskilt af en vinkel . Den geodætiske afstand er $\gamma _{0}$ $\gamma _{\tau }$ $t\in [0,\pi ]$ $\tau$ $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$

d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\operatørnavn {arcsin} {\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt {1+ \cos ^{2}t\operatørnavn {tg} ^{2}(\tau /2))){\bigg )}.

For at få dette udtryk skal du kende geodætikken. Det mest interessante resultat er dette:

d(\gamma _{0}(\pi ),\gamma _{\tau }(\pi ))=0

for enhver .

\tau

I stedet kan vi overveje derivaterne med hensyn til : $\tau$ $\tau=0$

{\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau}(t ))=|J(t)|=\sin t.

Vi opnår igen skæringspunktet for geodætik ved . Bemærk dog, at for at beregne denne afledte er det ikke nødvendigt at vide ; alt du skal gøre er at løse ligningen $t=\pi$ $d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))$

y''+y=0

for nogle givne startbetingelser.

Jacobi-felter giver en naturlig generalisering af dette fænomen for vilkårlige Riemann-manifolder .

Løsning af Jacobi-ligningen

Lad ; føj andre til denne vektor for at få et ortonormalt grundlag i . Lad os flytte det ved paralleloversættelse for at få et grundlag til enhver tid . Dette giver et ortonormalt grundlag med . Jacobi-feltet kan skrives i koordinater knyttet til dette grundlag: , hvorfra: $e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|$ ${\big \{}e_{i}(0){\big \))$ $T_{\gamma (0)}M$ $\{e_{i}(t)\}$ $\gamma$ $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|$ $J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)$

{\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D ^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t ),

og Jacobi-ligningen kan omskrives som systemet

{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{ j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0

for alle . Således får vi lineære almindelige differentialligninger. Da ligningen har glatte koefficienter , har vi, at løsninger findes for alle og er unikke, hvis og er givet for alle . $k$ $t$ $y^{k}(0)$ ${\frac {dy^{k}}{dt}}(0)$ $k$

Eksempler

Overvej en geodæt med en parallel ortonormal ramme , konstrueret som beskrevet ovenfor. $\gamma (t)$ $e_{i}(t)$ $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|$

Vektorfelterne langs , givet af og , er Jacobi-felter. $\gamma$ ${\dot {\gamma }}(t)$ $t{\dot {\gamma }}(t)$
I det euklidiske rum (og også for rum med konstant nul-sektionskrumning) er Jacobi-felter de felter, der er lineære i . $t$
For Riemann-manifolder med konstant negativ sektionskrumning er ethvert Jacobi-felt en lineær kombination af , og , hvor . ${\displaystyle -k^{2))$ ${\dot {\gamma }}(t)$ $t{\dot {\gamma }}(t)$ $\exp(\pm kt)e_{i}(t)$ $i>1$
For Riemann-manifolder med konstant positiv sektionskrumning er ethvert Jacobi-felt en lineær kombination af , , og , hvor . $k^{2}$ ${\dot {\gamma }}(t)$ $t{\dot {\gamma }}(t)$ $\sin(kt)e_{i}(t)$ $\cos(kt)e_{i}(t)$ $i>1$
Begrænsningen af Killing -feltet til en geodætisk er et Jacobi-felt i enhver Riemann-manifold.
Jacobi-felter svarer til geodætik på tangentbundtet (med hensyn til metrikken induceret af metrikken på ). $TM$ $M$

Se også

Litteratur

Gromol D., Klingenberg V., Meyer V., Riemannsk geometri generelt, Mir, 1971, s. 343.
Burago Yu.D., Zalgaller V.A. Introduktion til Riemannsk geometri. - St. Petersborg: Nauka, 1994. - ISBN 5-02-024606-9 .