Dræbermark

Killing-feltet (i relativitetsteorien, ofte kun Killing-vektoren ) er et vektorhastighedsfelt af en (lokal) én-parameter gruppe af bevægelser af en Riemannsk eller pseudo-Riemannmanifold .

Med andre ord definerer flowet, der genereres af Killing-vektorfeltet, en kontinuerlig én-parameter familie af bevægelser af manifolden, det vil sige transformationer, under hvilke den metriske tensor forbliver invariant.

Især hvis den metriske tensor i et eller andet system er uafhængig af en af koordinaterne , så vil vektorfeltet langs den koordinat være et Killing-felt. $g_{\mu \nu }$ $x^{\mu}$ ${\hat {e}}_{\mu}(x)\equiv \partial _{\mu }$

Dræbende vektorer i fysik indikerer symmetrien af en fysisk model og hjælper med at finde bevarede mængder såsom energi , momentum eller spin . I relativitetsteorien , for eksempel, hvis den metriske tensor ikke afhænger af tid, så er der i rum-tid en tidslignende Killing-vektor, som en bevaret størrelse er forbundet med - tyngdefeltets energi.

Navnet er givet til ære for den tyske matematiker Wilhelm Killing , som opdagede Lie grupper og mange af deres ejendomme parallelt med Sophus Lie .

Definition

Et vektorfelt på kaldes et Killing-felt, hvis det opfylder følgende ligning: $x$ $M$

{\mathcal {L}}_{X}g=0,

hvor er Lie-afledningen med hensyn til , a er Riemann-metrikken på . ${\mathcal {L}}_{X}$ $x$ $g$ $M$

Denne ligning kan omskrives i forhold til Levi-Civita-forbindelsen :

g(\nabla _{Y}X,Z)+g(Y,\nabla _{Z}X)=0

for alle marker og . $Y$ $Z$

Med hensyn til lokale koordinater:

\nabla _{i}X_{j}+\nabla _{j}X_{i}=0.

Egenskaber

Et vektorfelt er et Killing-felt, hvis og kun hvis begrænsningen til en hvilken som helst geodætisk er et Jacobi-felt . $x$ $x$
For at specificere et Killing-felt er det nok at specificere dets værdi plus værdierne af alle dets ( kovariante ) første-ordens derivater på kun ét punkt. Fra dette tidspunkt kan vektorfeltet udvides til hele manifolden.
Lie-parentesen , eller kommutatoren, af to Killing-felter giver igen et Killing-felt. Således danner Killing-felterne en subalgebra af den uendelig-dimensionelle Lie-algebra af alle (differentierbare) vektorfelter på manifolden . Denne subalgebra er Lie-algebraen for gruppen af bevægelser i manifolden.
En lineær kombination af Killing fields er også et Killing field.
- Illustration af tilføjelsen af Killing fields på et fly. Rotationsfelt om origo + felt med parallel translation langs y -aksen = rotationsfelt om et centrum forskudt fra origo langs x -aksen : Alle tre felter er bevægelsesfelter af planet.
Hvis Ricci-krumningen af en kompakt manifold er negativ, er der ingen ikke-trivielle (det vil sige ikke identisk nul) dræbende felter på den.
Hvis sektionskrumningen af en kompakt manifold er positiv, og dimensionen er lige, så skal Killing-feltet have nul.

Eksempler

Der er tre lineært uafhængige drabsfelter på det euklidiske plan:

{\displaystyle \xi _{1}=\mathbf {e} _{x))

... _

{\displaystyle \xi _{2}=\mathbf {e} _{y))

\xi _{3}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.

De første to Killing-felter svarer til en-parameter-undergrupper af skift langs akserne og , og det sidste, til en undergruppe af rotationer omkring origo. Forskellige kombinationer af disse tre undergrupper udtømmer flyets mulige bevægelser .

x

y

Der er seks lineært uafhængige drabsfelter i det tredimensionelle euklidiske rum : $\mathbb {R} ^{3}$

{\displaystyle \xi _{x}=\mathbf {e} _{x))

... _

{\displaystyle \xi _{y}=\mathbf {e} _{y))

\xi _{z}=\mathbf {e} _{z},

\zeta _{x}=-y\mathbf {e} _{z}+z\mathbf {e} _{y},

\zeta _{y}=-z\mathbf {e} _{x}+x\mathbf {e} _{z},

\zeta _{z}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.

De sidste tre felter , og er også Dræbende felter på sfæren (dette bliver indlysende, hvis vi betragter det nedsænket i tredimensionelt rum ). $\zeta _{x}$ $\zeta _{y}$ $\zeta _{z}$ $\mathbf {S} ^{2}$
Den univalente hyperboloid givet af ligningen , nedsænket i Minkowski-rummet med metrisk , har tre lineært uafhængige Killing-felter, svarende til Killing-felterne på kuglen: $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}-dz^{2}$

\zeta _{x}=y\mathbf {e} _{z}+z\mathbf {e} _{y},

\zeta _{y}=z\mathbf {e} _{x}+x\mathbf {e} _{z},

\zeta _{z}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.

Variationer og generaliseringer

De konforme Killing-felter er defineret af formlen

{\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g

for nogle skalarer . De er afledt af én-parameter familier af konforme kortlægninger .

\lambda

Konforme tensor Dræbende felter : symmetriske tensorfelter, således at symmetriiseringen er nul. $T$ $\nabla T$
Det antisymmetriske Killing-Yano tensorfelt , ofte repræsenteret som "kvadratroden af det symmetriske Killing tensorfelt". Symmetrien beskrevet af Killing og Killing-Yano tensorerne eksisterer i roterende Kerr sorte huller , såvel som nogle af deres generaliseringer. Tilstedeværelsen af en sådan symmetri forklarer, hvorfor variablerne er adskilt i bevægelsesligningerne for klassisk og kvanterelativistisk mekanik : Hamilton-Jacobi , wave , Klein-Gordon , Dirac , etc. [1]
The Killing tensor field .

Noter

↑ Alexey Borisovich Gaina . Kvantepartikler i Einstein-Maxwell felter/Kishinev. Shtiintsa. 1989.

Litteratur

Rashevsky P. K. Riemann geometri og tensoranalyse - M .: Nauka, 1967.
Eisenhart L.P. Riemannsk geometri - M .: Izd-vo inostr. lit., 1948.
Xelgason S. Differentialgeometri og symmetriske rum - M.: Mir, 1964.
Kobayashi Sh., Nomizu K. Fundamentals of differential geometri - M.: Nauka, 1981.