Inoue-overfladen er en kompleks Kodaira-overflade af klasse VII . Overfladerne er opkaldt efter Masahita Inoue, som gav de første ikke-trivielle eksempler på Kodaira klasse VII overflader i 1974 [1] .
Inoue-overflader er ikke Kähler-manifolder .
Inoue gav tre familier af overflader, S 0 , S + og S − , som er kompakte faktorer (produkter af et komplekst plan og et halvplan). Disse Inoue overflader er opløselige manifolds . De opnås som en faktor over en opløselig diskret gruppe, der virker holomorf på .
Alle opløselige overflader, som Inoue har konstrueret, har et andet Betti-nummer . Disse overflader er Kodaira-overflader af klasse VII , hvilket betyder, at for dem er Kodaira - dimensionen lig med . Som bevist af Bogomolov [2] , Li- Yau [3] og Telemann [4] er enhver overflade af klasse VII med b 2 = 0 en Hopf-overflade eller en opløselig manifold af Inoue-typen.
Disse overflader har ikke meromorfe funktioner, og de har heller ikke kurver.
K. Hasegawa [5] gav en liste over alle komplekse todimensionelle opløselige varianter. Disse er kompleks torus , hyperelliptisk overflade , Kodaira overflade og Inoue overflader S 0 , S + og S − .
Inoue overflader er konstrueret eksplicit som beskrevet nedenfor [5] .
Lad være en heltal 3 × 3 matrix med to komplekse egenværdier og en reel egenværdi c>1 , og . Så er den inverterbar i heltal og bestemmer virkningen af gruppen af heltal på . Lad . Denne gruppe er et gitter i en løselig Lie-gruppe
,handler på , mens gruppen handler på -delen ved overførsler og på -delen som .
Vi udvider denne handling til ved at indstille , hvor t er -part-parameteren for gruppen . Handlingen er triviel på faktoren i . Denne handling er åbenlyst holomorf, og faktoren kaldes en Inoue-overflade af typen S 0 .
Inoue-overfladen S0 er defineret ved valget af en heltalsmatrix med ovenstående begrænsninger. Der er et tælleligt antal af sådanne overflader.
Lad n være et positivt heltal og være gruppen af øvre trekantede matricer
,hvor x, y, z er heltal. Overvej en automorfi , som vi betegner med . Faktoren for en gruppe i dens centrum C er . Antag, at det virker som en matrix med to positive reelle egenværdier a, b , med ab = 1.
Overvej en løsbar gruppe , med , der fungerer som . Ved at identificere gruppen af øvre trekantede matricer med får vi en handling på . Vi definerer en handling på med at handle trivielt på -delen og fungerer som . De samme argumenter som for Inoue overflader af typen viser, at denne handling er holomorf. Faktoren kaldes overfladen af Inoue-typen .
Inoue overflader af typen er defineret på samme måde som S + , men de to egenværdier a, b af den automorfi , der virker på , har modsatte fortegn, og ligheden ab = −1 gælder. Da kvadratet af en sådan endomorfisme definerer en Inoue-overflade af type S + , har en Inoue-overflade af type S- et uforgrenet dobbeltdæksel af type S + .
Parabolske og hyperbolske Inoue overflader er klasse VII Kodaira overflader defineret af Iku Nakamura i 1984 [6] . De er ikke løselige sorter. Disse overflader har et positivt andet Betti-tal. Overflader har sfæriske skaller og kan deformeres til en Hopf-overfladeblow - up .
Parabolske Inoue overflader indeholder en cyklus af rationelle kurver med 0 selvskæringer og en elliptisk kurve. De er et særligt tilfælde af Enoki-overflader, der har en cyklus af rationelle kurver med nul selvskæringer, men ingen elliptisk kurve. Inoue-halvfladen indeholder en cyklus C af rationelle kurver og er en faktor af en hyperbolsk Inoue-overflade med to cyklusser af rationelle kurver.
Hyperbolske Inoue overflader er overflader af klasse VII 0 med to cyklusser af rationelle kurver [7] .