I matematik er en permutationspolytop af orden n en ( n − 1)-dimensionel konveks polytop indlejret i et n -dimensionelt euklidisk rum, der er det konvekse skrog af alle n ! punkter opnået ved at permutere vektorens koordinater (1, 2, 3, ..., n ).
Ifølge Ziegler, Günther [1] optræder permutationspolyederet første gang i Schutes værker i 1911. Selve udtrykket "permutation polyhedron" (mere præcist dens franske version "permutoèdre") optrådte første gang i en artikel af Guibud (G.-T.Guibaud) og Rosenstahl, Pierre i 1963. Ved at foreslå det skrev forfatterne, at "permutoèdre" ser barbarisk ud, men er let at huske, og at de overlader brugen af udtrykket til læseren.
Et nært beslægtet koncept er Birkhoff-polyederet , defineret som det konvekse skrog af permutationsmatricer . I en mere generel situation brugte Bowman (V.-J.Bowman) i 1972 udtrykket "permutationspolytop" ("permutationspolytop") for enhver polytop, hvis toppunkter er i en-til-en-korrespondance med permutationer af et eller andet sæt.
En permutationspolytop af orden n er fuldstændig indeholdt i det ( n − 1)-dimensionelle hyperplan bestående af alle punkter, hvis sum af koordinater er
1 + 2 + ... + n = n ( n + 1)/2.Desuden kan dette hyperplan flisebelægges med et uendeligt antal parallelle kopier af permutationspolyederet. Hver af disse kopier adskiller sig fra det oprindelige permutationspolyhedron ved et element af et eller andet ( n − 1)-dimensionelt gitter dannet af n -dimensionelle vektorer, hvis koordinater er heltal, deres sum er lig med nul, og alle koordinater tilhører samme klasse af rester modulo n :
x 1 + x 2 + ... + x n \u003d 0, x 1 ≡ x 2 ≡ ... ≡ x n (mod n ).For eksempel tesellerer permutationspolyederet af orden 4 vist i figuren 3-dimensionelt rum ved hjælp af parallelle translationer. Her betragtes det 3-dimensionelle rum som et affint underrum af det 4-dimensionelle rum R 4 med koordinaterne x , y , z , w , som er dannet af fire reelle tal, hvis sum er 10, dvs.
x + y + z + w = 10.Det er let at kontrollere det for hver af de følgende fire vektorer
(1,1,1,−3), (1,1,−3,1), (1,−3,1,1) og (−3,1,1,1),summen af koordinaterne er nul, og alle koordinater er kongruente med 1 modulo 4. Enhver tre af disse vektorer genererer et gitter af parallelle translationer.
Flisebelægningerne konstrueret på denne måde fra permutationspolyedre af orden 3 og 4 er henholdsvis regulære sekskantede fliser og afkortede ottekantede fliser .
| Ordre 2 | Ordre 3 | Ordre 4 |
|---|---|---|
| 2 toppe | 6 toppe | 24 toppe |
| Et permutationspolyhedron af orden 2 er et segment på diagonalen af enhedskvadratet . | Et permutationspolyeder af orden 3 er en regulær sekskant , som er et udsnit af en 2×2×2 terning . | Et permutationspolyeder af orden 4 er et trunkeret oktaeder . |
| Ordre 5 | Ordre 6 |
|---|---|
| 120 toppe | 720 toppe |
| Permutationspolyeder af orden 5. | Permutationspolyeder af orden 6. |