Første middelsætning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 19. maj 2018; verifikation kræver 1 redigering .

Den første middelværdisætning er en af de bestemte integralsætninger .

Ordlyd

Lad funktionen være integrerbar på segmentet , og være afgrænset på det af tal og så . Så er der et nummer , sådan $f(x)$ $[a;b]$ $m$ $M$ $m\leq f(x)\leq M$ $\mu$ $m\leq \mu \leq M$

\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\mu (ba)

Bevis

Fra uligheden ved monotoniegenskaben af det integral , vi har $m\leq f(x)\leq M$

m(ba)\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)dx\leq M(ba)

Ved at angive , opnår vi den nødvendige påstand. Det så definerede tal kaldes middelværdien af funktionen på intervallet , deraf navnet på sætningen. $\mu ={\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)dx$ $\mu$ $f(x)$ $[a;b]$

Bemærk

Hvis funktionen er kontinuert på , så som og vi kan tage dens største og mindste værdier (som ifølge Weierstrass-sætningen opnås), så er der ifølge mellemværdisætningen et sådant punkt , at , så sætningens udsagn kan omskrives som $f(x)$ $[a;b]$ $m$ $M$ $c\in [a;b]$ $f(c)=\mu$

\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(ba)

Hvis vi bruger Newton-Leibniz formlen , så vil denne lighed blive skrevet som

F(b)-F(a)=F'(c)\;(ba)

hvor er antiafledningen af funktionen , som ikke er andet end Lagrange-formlen for funktionen . $F(x)$ $f(x)$ $F(x)$

Generalisering

Lad funktionerne og være integrerbare på segmentet , desuden som før , og den anden af dem ændrer ikke tegn (det vil sige, det er enten overalt ikke-negativ: , eller overalt ikke-positiv ). Så er der et nummer , sådan $f(x)$ $g(x)$ $[a;b]$ $m\leq f(x)\leq M$ $g(x)\geq 0$ $g(x)\leq 0$ $\mu$ $m\leq \mu \leq M$

\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=\mu \int \limits _{a}^{b}g(x)dx

Bevis

Lad det være ikke-negativt, så har vi det $g(x)$

mg(x)\leq f(x)g(x)\leq Mg(x)

hvorfra, i lyset af integralets monotonitet

m\int \limits _{a}^{b}g(x)dx\leq \int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq M\int \limits _{ a}^{b}g(x)dx

Hvis , så indebærer denne ulighed det , og påstanden om sætningen gælder for enhver . Ellers sætter vi $\int _{a}^{b}g(x)dx=0$ $\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx=0$ $\mu$

\mu ={\frac {\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx}{\int \limits _{a}^{b}g(x)dx))

Generaliseringen er bevist. Hvis funktionen er kontinuerlig, kan vi sige, at der er et punkt sådan, at $f(x)$ $c\in [a;b]$

\int \limits _{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}g(x)dx

(ligner den forrige).

Litteratur

Fikhtengol'ts G. M. Forløb af differential- og integralregning. - M . : Nauka, 1969. - T. II.
Zorich V. A. Matematisk analyse. Del I. - M . : Nauka, 1981.

Betyde
Matematik	Effektmiddel ( vægtet ) harmonisk middel vægtet geometrisk middelværdi vægtet Gennemsnit vægtet geometriske middelværdi Gennemsnitlig kubik glidende gennemsnit Aritmetisk-geometrisk middelværdi Funktion Middel Kolmogorov mener
Geometri	geometrisk centrum Barycenter
Sandsynlighedsteori og matematisk statistik	Winsoriseret middelværdi prøvegennemsnit Forventet værdi Median Mode standardafvigelse Afkortet middelværdi Betinget forventning
Informationsteknologi	Medoid k-median metode
Sætninger	Første middelsætning Anden middelsætning Ulighed om det aritmetiske, geometriske og harmoniske middelværdi
Andet	Distributionscenter-metrics