Ortodiagonal firkant

I euklidisk geometri er en ortodiagonal firkant en firkant , hvor diagonalerne skærer hinanden i rette vinkler .

Særlige lejligheder

En deltoideus er en ortodiagonal firkant, hvor en diagonal er symmetriaksen. Deltoider er nøjagtigt ortodiagonale firkanter med en cirkel, der tangerer alle fire sider. Således er deltoider afgrænsede ortodiagonale firkanter [1] .

En rhombus er en ortodiagonal firkant med to par parallelle sider (dvs. en ortodiagonal firkant og et parallelogram på samme tid).

Et kvadrat er et specialtilfælde af en ortodiagonal firkant, som både er en deltoideus og en rombe.

Ortho-diagonale ækvidiagonale firkanter, hvor diagonalerne ikke er mindre end en hvilken som helst side, har den maksimale diameter blandt alle firkanter, hvilket løser n = 4 tilfælde af problemet med den største enhedsdiameter polygon i areal . Pladsen er en sådan firkant, men der er uendeligt mange andre.

Beskrivelse

For enhver ortodiagonal firkant er summen af kvadrater af modstående sider lig - for siderne a , b , c og d har vi [2] [3] :

\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}.

Dette følger af Pythagoras sætning , ifølge hvilken enhver af disse to summer er lig med summen af fire kvadrerede afstande fra firkantens hjørner til diagonalernes skæringspunkt.

Omvendt skal enhver firkant, hvor a 2 + c 2 = b 2 + d 2 være ortodiagonal [4] . Dette kan vises på mange måder ved hjælp af cosinussætningen , vektorer , modsigelsesbevis og komplekse tal [5] .

Diagonalerne på en konveks firkant er vinkelrette, hvis og kun hvis bimedianerne har samme længde [5] .

Diagonalerne af en konveks firkant ABCD er også vinkelrette hvis og kun hvis

\angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi

hvor P er skæringspunktet for diagonalerne. Af denne lighed følger det næsten umiddelbart, at diagonalerne i en konveks firkant også er vinkelrette, hvis og kun hvis projektionerne af diagonalernes skæringspunkt på firkantens sider er hjørnerne af den indskrevne firkant [5] .

En konveks firkant er ortodiagonal, hvis og kun hvis dens Varignon-parallelografi (hvis spidser er midtpunkterne på siderne) er et rektangel [5] . Også en konveks firkant er ortodiagonal, hvis og kun hvis midtpunkterne på dens sider og baserne af de fire antimediatrikker er otte punkter, der ligger på samme cirkel , cirklen med otte punkter . Centrum af denne cirkel er tyngdepunktet for firkanten. Firkanten dannet af antimediatrikernes baser kaldes hovedorthoquadrilateralen [6] .

Hvis normalerne til siderne af en konveks firkant ABCD gennem skæringspunktet mellem diagonalerne skærer modstående sider i punkterne R , S , T , U og K , L , M , N er baserne for normalerne, så er firkanten ABCD er ortodiagonal, hvis og kun hvis otte punkter K , L , M , N , R , S , T og U ligger på samme cirkel, den anden cirkel med otte punkter . Derudover er en konveks firkant ortodiagonal, hvis og kun hvis firkantet RSTU er et rektangel, hvis sider er parallelle med diagonalerne på firkanten ABCD [5] .

Der er flere relationer vedrørende de fire trekanter dannet af skæringspunktet mellem diagonalerne P og hjørnerne af den konvekse firkant ABCD . Betegn med m 1 , m 2 , m 3 , m 4 medianerne i trekanter ABP , BCP , CDP , DAP fra henholdsvis P til siderne AB , BC , CD , DA . Betegn med R 1 , R 2 , R 3 , R 4 radierne af de omskrevne cirkler , og gennem h 1 , h 2 , h 3 , h 4 - højderne af disse trekanter. Så er firkantet ABCD ortodiagonalt, hvis og kun hvis nogen af følgende ligheder [5] er sande :

${\displaystyle m_{1}^{2}+m_{3}^{2}=m_{2}^{2}+m_{4}^{2))$
${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Desuden er firkanten ABCD med skæringspunktet for diagonalerne P ortodiagonal, hvis og kun hvis centrene i cirklerne beskrevet omkring trekanterne ABP , BCP , CDP og DAP er midtpunkterne på firkantens sider [5] .

Sammenligning med den omskrevne firkant

Nogle numeriske karakteristika for de beskrevne firkanter og ortodiagonale firkanter er meget ens, som det kan ses i følgende tabel [5] . Her er længderne af firkantens sider a , b , c , d , radierne af de omskrevne cirkler omkring trekanterne er R 1 , R 2 , R 3 , R 4 , og højderne er h 1 , h 2 , h 3 , h 4 (som på figuren) .

Omskrevet firkant	ortodiagonal firkant
$a+c=b+d$	${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2))$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4))$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2))$
${\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1 }{h_{4}}}$	${\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2} ^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}$

Område

Arealet K af en ortodiagonal firkant er lig med halvdelen af produktet af længderne af diagonalerne p og q [7] :

K={\frac {p\cdot q}{2)).

Omvendt er enhver konveks firkant, hvis areal er lig med halvdelen af produktet af diagonalerne, ortodiagonal [5] . En ortodiagonal firkant har det største areal blandt alle konvekse firkanter med givne diagonaler.

Andre egenskaber

Kun for ortodiagonale firkanter er arealet ikke entydigt bestemt af siderne og vinklen mellem diagonalerne [8] . For eksempel, hvis en af to romber med sider a (som alle romber er deres diagonaler vinkelrette) har en mindre spids vinkel, så vil arealerne være forskellige.
Hvis firkanter tegnes på siderne af en firkant (konveks, konkav eller selvskærende) , så vil deres centre være hjørnerne af en ortodiagonal firkant (også lige diagonal ). Dette udsagn kaldes Van Obels sætning .

Egenskaber for en ortodiagonalt indskrevet firkant

Radius af den omskrevne cirkel og areal

Lad skæringspunktet for diagonalerne i en ortodiagonal firkant indskrevet i en cirkel opdele en af diagonalerne i segmenter med længden p 1 og p 2 og den anden i segmenter med længden q 1 og q 2 . Derefter (den første lighed i Proposition 11 i Archimedes ' Lemmas )

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^ {2}=b^{2}+d^{2}

hvor D er diameteren af den omskrevne cirkel . Dette gælder for alle to vinkelrette akkorder i cirklen [9] . Fra denne formel følger udtrykket for radius af den omskrevne cirkel

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2 }}}

eller, hvad angår siderne af en firkant,

R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+ d^{2}}}.

Heraf følger også, at

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.

Derefter kan radius af den omskrevne cirkel ifølge Eulers formel udtrykkes i form af diagonalerne p og q og afstanden x mellem diagonalernes midtpunkter

R={\sqrt {{\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}}.

Formlen for arealet K af en indskrevet ortodiagonal firkant i form af fire sider opnås direkte ved at kombinere Ptolemæus' sætning og formlen for arealet af en ortodiagonal firkant .

K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).

Andre egenskaber

I en indskrevet ortodiagonal firkant falder anticentret sammen med diagonalernes skæringspunkt [2] .
Brahmaguptas sætning siger, at for enhver indskrevet ortodiagonal firkant, halverer vinkelret på den side, der går gennem skæringspunktet for diagonalerne, den modsatte side [2] .
Hvis en ortodiagonal firkant er en indskrevet, er afstanden fra midten af den omskrevne cirkel til hver side lig med halvdelen af længden af den modsatte side [2] .
I en indskrevet ortodiagonal firkant er afstanden mellem diagonalernes midtpunkter lig med afstanden mellem midten af den omskrevne cirkel og diagonalernes skæringspunkt [2] .
En ortodiagonal firkant, som også er ækvidiagonal , er en rms-firkant , da dens Varignon-parallelografi er en firkant. Dens areal kan udtrykkes udelukkende i form af sider.

Rektangler indskrevet i en ortodiagonal firkant

Enhver ortodiagonal firkant kan indskrives med uendeligt mange rektangler, der tilhører følgende to sæt:

(i) rektangler, hvis sider er parallelle med diagonalerne på en ortodiagonal firkant (ii) rektangler defineret af Pascals punktcirkler. [10] [11] [12]

Noter

↑ Josefson, 2010 , s. 119-130.
↑ 1 2 3 4 5 Altshiller-Court, 2007 , s. 136-138.
↑ Mitchell, 2009 , s. 306-309.
↑ Ismailescu, Vojdany, 2009 , s. 195-211.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Josefsson, 2012 , s. 13-25.
↑ Mammana, Micale, Pennisi, 2011 , s. 109-119.
↑ Harrys, 2002 , s. 310-311.
↑ Mitchell, 2009 , s. 306-309.
↑ Posamentier, Salkind, 1996 , s. 104–105, #4–23.
↑ David, Fraivert (2019), A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles , Journal for Geometry and Graphics Vol . 23: 5–27 , < http://www.heldermann.de/JGG /JGG23/JGG231/jgg23002.htm > Arkiveret 23. oktober 2020 på Wayback Machine .
↑ David, Fraivert (2017), Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals , Forum Geometricorum bind 17: 509–526 , < http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201748.pdf > Archived datedf 5. december 2020 på Wayback Machine .
↑ Freivert, D. M. (2019), Et nyt emne i euklidisk geometri på planet: Theory of "Pascal Points" Formed by a Circle on the Sides of a Quadrilateral , Matematisk uddannelse: State of the Art og Perspectives: Proceedings of the International Scientific Conference , < http://libr.msu.by/handle/123456789/9675 > Arkiveret 10. november 2019 på Wayback Machine

Litteratur

Martin Josephson. Beregninger vedrørende tangentlængderne og tangens akkorder af en tangentiel firkant // Forum Geometricorum. - 2010. - Bd. 10. - S. 119-130.
Martin Josephson. Karakteriseringer af ortodiagonale firkanter // Forum Geometricorum. - 2012. - Bd. 12. - S. 13–25.
Maria Flavia Mammana, Biagio Micale, Mario Pennisi. Droz-Farny-cirklerne af en konveks firkant // Forum Geometricorum. - 2011. - Bd. 11. - S. 109-119.
N. Altshiller-retten. College geometri. - Dover Publications, 2007. (Genoptryk af bogen fra 1952, Barnes & Noble)

Douglas W. Mitchell. Arealet af en firkant // Matematisk Gazette. - 2009. - Bd. 93.—S. 306–309.
Dan Ismailescu, Adam Vojdany. Klassebevarende dissektioner af konvekse firkanter // Forum Geometricorum. - 2009. - Bd. 9. - S. 195-211.
J. Harrys. Areal af en firkant // Matematisk Gazette. - 2002. - Nej. 86.
David Fraivert. Egenskaber for en Pascal-punktcirkel i en firkant med vinkelrette diagonaler // Forum Geometricorum. - 2017. - Bd. 17. - S. 509-526.
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind. Udfordrende problemer i geometri. 2. udgave . - New York: Dover Publ., 1996. - ISBN 0-486-69154-3 .