Nul funktion

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. maj 2021; checks kræver 6 redigeringer .

En funktions nul i matematik er et element fra en funktions domæne , hvor det får en nulværdi. For eksempel for en funktion givet af formlen $f$

f(x)=x^{2}-6x+9\,.

$x=3$ er nul fordi

f(3)=3^{2}-6\cdot 3+9=0

Begrebet nuller af en funktion kan overvejes for alle funktioner, hvis område indeholder nul eller et nulelement i den tilsvarende algebraiske struktur .

For en funktion af en reel variabel er nuller de værdier, hvor funktionens graf skærer x- aksen . $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$

At finde en funktions nuller kræver ofte brug af numeriske metoder (for eksempel Newtons metode , gradientmetoder ).

Et af de uløste matematiske problemer er at finde nullerne i Riemann zeta-funktionen .

Polynomial rod

Algebras grundlæggende sætning

Algebras grundlæggende sætning siger, at hvert polynomium af grad n har n komplekse rødder , givet deres mangfoldighed. Den kubiske ligning, som vist ovenfor, har altid tre komplekse rødder under hensyntagen til multipliciteten. Alle imaginære rødder af et polynomium, hvis nogen, er kun inkluderet i konjugerede par, hvis alle koefficienter i polynomiet er reelle. Hvert polynomium af ulige grad med reelle koefficienter har mindst én reel rod. Forbindelsen mellem rødderne af et polynomium og dets koefficienter er etableret af Vietas sætning .

Kompleks analyse

Et simpelt nul af en funktion holomorf i et eller andet domæne er et punkt i et eller andet kvarter, hvor repræsentationen gælder , hvor er holomorf i og ikke forsvinder på dette tidspunkt. $G\subset \mathbb {C}$ $f$ $z_{0}\i G$ $f(z)=(z-z_{0})g(z)$ $g$ $z_{0}$

Rækkefølgen nul af $k$ en funktion holomorf i et eller andet domæne er et punkt i et eller andet område, hvor repræsentationen gælder , hvor er holomorf i og ikke forsvinder på dette tidspunkt. $G\subset \mathbb {C}$ $f$ $z_{0}\i G$ $f(z)=(z-z_{0})^{k}g(z)$ $g$ $z_{0}$

Nuller af en holomorf funktion isoleret .

Andre specifikke egenskaber ved nuller af komplekse funktioner er udtrykt i forskellige teoremer:

Historie

Kubiske ligninger

Historisk set blev begrebet imaginære tal udviklet ved at løse tredjegradsligninger med tre forskellige reelle rødder. Ifølge Cardano-formlen er alle tre rødder i ligningen ens $x$ $x^{3}+kx+l=0$

$\left({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}C+{\frac {-k}{3}}\left[\left ({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}C\right]^{-1},$

hvor (i stedet for plus eller minus passer begge tegn, medmindre C går til 0), og er alle mulige komplekse rødder af 3. grad fra 1 , nemlig , $C^{3}={\tfrac {-l}{2}}\pm {\sqrt ({\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3} }{27}}}}$ $n\in \{0,1,2\},$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}$ $en$ ${\tfrac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}.$

Hvis tallet under kvadratroden er mindre end nul, og k og l er reelle, så er og ikke-reelle konjugerede tal, hvilket betyder, at når de lægges sammen, opnås tre forskellige reelle rødder af den kubiske ligning. ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\right)^{-1}$
Hvis er lig med nul, så har kubikligningen en tredobbelt rod eller to forskellige rødder, hvoraf den ene er todobbelt. ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$
Hvis mere end nul, og k og l er reelle , så er et af tallene reelt , men de er ikke længere konjugerede: de har forskellige moduler , - og som et resultat har den kubiske ligning kun én reel rod, og andre to gør det ikke . ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\right)^{-1}$

$-108({\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}})$ - dette er ligningens diskriminant , hvis fortegn kun bestemmer røddernes virkelighed og mangfoldighed. $x^{3}+kx+l=0,$

Ved første øjekast præsenterer afsnit 1 og 3 paradoksale tilfælde. Denne mærkværdighed blev løst og underbygget af Rafael Bombelli og tillod ham fuldt ud at legalisere imaginære tal, såvel som negative tal, der ikke blev anerkendt i Europa før ham.

Litteratur

Funktion nul -artikel fra Great Soviet Encyclopedia .
Weisstein, Eric W. Root (engelsk) på Wolfram MathWorld- webstedet .