Nilpotent gruppe
En nilpotent gruppe er en naturlig generalisering af begrebet en abelsk gruppe .
Nilpotente grupper forekommer i Galois teori , såvel som i værker om klassificering af grupper. De spiller også en fremtrædende rolle i klassificeringen af Lie-grupper . Lignende begreber er defineret for Lie algebraer .
Definition
En nilpotent gruppe er en gruppe , der har en central række fra til endelig længde.
Relaterede definitioner
- Længden af den korteste centrale serie af en nilpotent gruppe kaldes dens nilpotensklasse ( eller trin ) .
- Alle nilpotente grupper i nilpotensklassen danner ikke længere en sort defineret af identiteten
- Frie grupper af denne sort, det vil sige grupper, der kun opfylder sådanne relationer , kaldes frie nilpotente grupper .
![[\ldots [[x_{0},\;x_{1}],\;x_{2}],\;\ldots ,\;x_{n}]=1.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2c5e9593a6c007fc648c16f8ae352f2ed63c95e)
Egenskaber
- I enhver nilpotent gruppe ender den nedre (og også den øverste) centrale række ved identitetsundergruppen og har en længde svarende til gruppens nilpotensklasse.
- Finite nilpotente grupper udtømmes af direkte produkter af -grupper .
- I enhver nilpotent gruppe danner elementer af endelige orden en undergruppe, hvis kvotientgruppe er torsionsfri .
- Endeligt genererede torsionsfrie nilpotente grupper udtømmes af grupperne af heltallige trekantede matricer med dem på hoveddiagonalen og deres undergrupper.
- Endeligt genererede nilpotente grupper er polycykliske grupper , desuden har de en central serie med cykliske faktorer .
- Enhver endeligt genereret torsionsfri nilpotent gruppe er et gitter i en enkelt forbundet nilpotent Lie -gruppe .
