Black-Scholes model

Black - Scholes Option Pricing Model ( OPM ) er en model, der bestemmer den teoretiske pris på europæiske optioner , hvilket indebærer, at hvis det underliggende aktiv handles på markedet, så er prisen på optionen på det implicit allerede sat af sig selv. . Denne model er blevet brugt meget i praksis og kan blandt andet også bruges til at værdiansætte alle derivater, herunder warrants , konvertible værdipapirer og endda til at vurdere egenkapitalen i finansielt afhængige virksomheder.

Ifølge Black-Scholes-modellen er nøgleelementet i bestemmelsen af værdien af en option den forventede volatilitet af det underliggende aktiv. Afhængigt af aktivets udsving stiger eller falder prisen på det, hvilket direkte påvirker værdien af optionen i direkte forhold. Hvis værdien af optionen er kendt, er det således muligt at bestemme niveauet af volatilitet, der forventes af markedet [1] .

Historie

Optionsprismodelformlen blev først udviklet af Fisher Black og Myron Scholes i 1973 i The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Deres forskning byggede på tidligere arbejde af Jack Traynor , Paul Samuelson , James Bones, Sheen Kassoufog Edward Thorpe og blev udviklet i en periode med hurtig vækst inden for handel med optioner.

Teoriens syv antagelser

For at udlede deres optionsprismodel lavede Black og Scholes følgende antagelser:

Værdipapirer ( underliggende aktiv ) handles kontinuerligt, og deres kursadfærd følger en geometrisk Brownsk bevægelsesmodel med kendte parametre (især disse parametre er konstante gennem optionens levetid).
Det underliggende aktiv for optionen udbetaler ikke udbytte i optionens levetid.
Der er ingen transaktionsomkostninger forbundet med at købe eller sælge en aktie eller option.
Den korte risikofri rente er kendt og er konstant i hele optionens levetid.
Enhver køber af et værdipapir kan låne til en kortsigtet risikofri rente for at betale en hvilken som helst del af prisen.
Short selling er tilladt uden begrænsninger, og sælger vil straks modtage alle kontanter for det shortede værdipapir til dagens kurs.
Der er ingen mulighed for arbitrage .

Konklusionen af modellen er baseret på begrebet risikofri afdækning . Ved at købe aktier og samtidig sælge købsoptioner på disse aktier, kan en investor konstruere en risikofri position, hvor overskuddet på aktierne præcist vil opveje tabene på optionerne og omvendt.

En risikofri afdækket position skal opnå et afkast til en rente svarende til den risikofrie rente, ellers ville der være en arbitrage-mulighed, og investorer, der forsøger at udnytte denne mulighed, vil bringe prisen på optionen til det ligevægtsniveau, som bestemmes af modellen.

Formler

Call option pris :

C=SN(d_{1})-Xe^{-rT}N(d_{2}),

hvor

d_{1}={\frac {\ln({\frac {S}{X)))+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})T}{\sigma {\sqrt {T)))),

d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T)).

put option pris :

P=Xe^{-rT}N(-d_{2})-SN(-d_{1}).

Betegnelser:

$C$ — call option pris ;
$S$ — den aktuelle pris på det underliggende aktiv (spot);
$N(x)$ er den kumulative fordelingsfunktion af standardnormalfordelingen;
$x$ — optionens udnyttelsespris (strike);
$r$ — risikofri rente;
$T$ - tid til udløb af optionen;
$\sigma$ — volatiliteten i afkastet af det underliggende aktiv.

"Grækere"

For at karakterisere følsomheden af prisen (præmien) på en option over for en ændring i visse værdier, bruges forskellige koefficienter, kaldet "grækere". Navnet kommer fra det græske alfabet , hvis bogstaver betegner disse koefficienter (med undtagelse af "vega"). "Grækere" inden for rammerne af Black-Scholes-modellen beregnes eksplicit:

"græsk"	Delvis afledt repræsentation	opkaldsmuligheder _	put optioner
delta	${\frac {\partial c}{\partial S))$	$N(d_{1})$	$-N(-d_{1})=N(d_{1})-1$
gamma	${\frac {\partial ^{2}c}{\partial S^{2))}$	${\frac {N'(d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T))))$
vega [2] [3]	${\frac {\partial c}{\partial \sigma ))$	$SN'(d_{1}){\sqrt {T))$
theta	${\frac {\partial c}{\partial t))$	$-{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T))))-rKe^{-r(T)}N(d_{2})$	$-{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T))))+rKe^{-r(T)}N(-d_{2})$
ro [3]	${\frac {\partial c}{\partial r))$	$K\cdot T\cdot e^{-r(T)}N(d_{2})$	$-K\cdot T\cdot e^{-r(T)}N(-d_{2})$

Gamma- og vegaformlerne er især de samme for puts og calls, hvilket er en logisk afledning af put- og call-paritetsteori .

For eksempel gør viden om delta- og gammakoefficienterne det muligt at estimere ændringen i prisen (præmien) på en option, når prisen på det underliggende finansielle instrument ændres : $\Delta$ $\Gamma$ $\delta c$ $\delta S$

\delta c\approx \Delta \cdot \delta S+\Gamma \,{\frac {(\delta S)^{2}}{2}}.

Denne formel opnås ved at udvide optionsprisen i en Taylor-serie . Ligeledes, jo større theta, desto hurtigere tidsforfald af indstillingen, og så videre. $c(S)$

Merton model

Merton -modellen følger direkte af Black-Scholes- modellen , som gør det muligt at modellere værdien af virksomhedens egenkapital baseret på værdien af virksomhedens værdi og dens gæld, præsenteret i form af en nulkuponobligation [4] . I dette tilfælde er egenkapitalen S repræsenteret som en lang købsoption på den samlede værdi af virksomhed V med en strikepris på nulkuponobligationen F:

$S=max(VF,0)$

Gæld D er til gengæld repræsenteret som en portefølje, enten lang på nulkupon F og kort sat på virksomhed V's egenkapital til strejkekurs F, eller lang på virksomhed V's egenkapital og kort call på V ved strejke F:

$D=F-max(FV,0)=V-max(VF,0)$

Noter

↑ Roger Lowenstein, "When genious failed" kapitel 7 "Bank of volatility", s.124
↑ Ikke et græsk bogstav.
↑ 1 2 den såkaldte bastard-græsker. Der er ingen russisk oversættelse for dette udtryk, meningen er, at differentiering udføres i henhold til parameteren, som blev betragtet som en konstant, da formlen blev udledt. Derfor kan brugen af bastard-grækere føre til alvorlige fejl i handel og risikostyring.
↑ Rene M. Stulz. Kapitel 18: Kreditrisici og kreditderivater // Risikostyring og derivater. — Konsortium, 1999.

Litteratur

Sort, Fischer; Myron Scholes. Prisfastsættelsen af optioner og virksomhedernes forpligtelser // Journal of Political Economy : journal. - 1973. - Bd. 81 , nr. 3 . - s. 637-654 . - doi : 10.1086/260062 . [en]
Merton, Robert C. Theory of Rational Option Pricing // Bell Journal of Economics and Management Science : journal. - The RAND Corporation, 1973. - Vol. 4 , nr. 1 . - S. 141-183 . - doi : 10.2307/3003143 . — .
Hull, John C.Optioner, Futures og andre derivater. - Prentice Hall , 1997. - ISBN 0-13-601589-1 .