Paritet mellem put- og call-optioner

Put and call paritet er forholdet mellem værdien af europæiske puts og calls , hvilket betyder, at en portefølje med et kort put og et langt call svarer til en forward med samme strike-pris .

Årsagen til at opretholde paritet i værdien af optioner er kravet om ingen arbitrage: hvis aktivprisen er højere end strejken, vil call-optionen blive udnyttet, hvis den er lavere, vil put-optionen blive udnyttet. En enhed af aktivet vil således under alle omstændigheder blive købt til strikekursen - ligesom ved udnyttelse af en lang terminskontrakt.

Paritet kræver opfyldelse af visse betingelser. I praksis fører transaktionsomkostninger og finansieringsomkostninger (gearing) til en afvigelse fra paritet, men på likvide markeder er forholdet mellem optionspriser tæt på perfekt.

Paritetsbetingelser

Paritet tillader porteføljereplikering og kræver derfor minimale antagelser, nemlig eksistensen af en tilsvarende terminskontrakt . I mangel af omsættelige terminskontrakter kan terminskontrakten erstattes (faktisk selv replikeret) af en lang position i det underliggende aktiv og finansiere det med en kort kontantposition eller omvendt af en kort position i det underliggende aktiv og udlån pengene modtaget for en vis periode. Der oprettes således i begge tilfælde en selvfinansierende portefølje .

Replikering tyder på, at derivattransaktioner, der kræver gearing, kan indgås, og at køb og salg vil medføre transaktionsomkostninger , specifikt bud-ask-spændet . Paritet er således kun opfyldt på et ideelt marked med ubegrænset likviditet. Imidlertid kan de virkelige verdensmarkeder være likvide nok til, at optionspriserne er tæt på perfekte. Således har valutamarkeder i større valutaer eller markeder for større aktieindeks i perioder uden for krise tilstrækkelig likviditet.

Forhold

Paritet kan udtrykkes på en række lignende måder, for eksempel:

CP=df\cdot(FK)

hvor:

$C$ — nuværende opkaldsmulighed,
$P$ er den aktuelle værdi af put-optionen,
$D$ - diskonteringsfaktor ,
$F$ — terminsprisen på aktivet
$K$ - strike price.

Spotprisen er defineret som . $S=df\cdot F$

Venstre side af nøgletallet svarer til en portefølje med en lang købsoption og en kort put-option, og den højre side svarer til en lang terminskontrakt. For optioner i venstre side bruges værdierne af den aktuelle pris, og og er angivet i værdierne af fremtidige priser, som er givet af diskonteringsfaktoren, der konverterer til aktuelle værdier. $F$ $K$ $D$

Ved brug af prisen i stedet for terminsprisen omregnes forholdet til formen: $S$ $F$

CP=S-df\cdot K

Det oprindelige forhold kan også formuleres som:

C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)

hvor:

$C(t)$ er prisen på købsoptionen på det tidspunkt , $t$
$P(t)$ — prisen på en put-option med samme udløbsdato
$S(t)$ — spotprisen på det underliggende aktiv
$K$ — strejkepris,
$B(t,T)$ — den aktuelle værdi af en nulkuponobligation på $1, som i det væsentlige er diskonteringsfaktoren for strejkeprisen.

Hvis renten på en obligation antages at være konstant, så: $r$

{\displaystyle B(t,T)=e^{-r(Tt)))

Ved værdiansættelse af europæiske aktieoptioner med kendte udbytter, der vil blive udbetalt i løbet af optionens levetid, omregnes forholdet til:

C(t)-P(t)+D(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)

hvor D(t) repræsenterer den samlede nutidsværdi af udbytte pr. aktie, der skal betales over optionernes resterende løbetid. Forholdet kan også udtrykkes som:

C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\ -D(t)

Konklusion

For det første, forudsat at der ikke er nogen arbitragemuligheder , skal to porteføljer, der altid har den samme udbetaling på tidspunktet T, have samme værdi på et hvilket som helst tidligere tidspunkt. For at bevise dette, antag, at på et tidspunkt t før T var den ene portefølje billigere end den anden. Så var det muligt at købe en billigere portefølje og sælge en dyrere. På tidspunktet T vil den samlede portefølje til enhver værdi af prisen på det underliggende aktiv have en værdi på nul (alle aktiver og passiver vil blive nettet). Således vil den fortjeneste, der modtages på tidspunktet t , være risikofri, hvilket er en overtrædelse af antagelsen om ingen arbitrage.

Vi udleder paritetsforholdet ved at skabe to porteføljer med lige store udbetalinger og anvende ovenstående rationelle prissætningsprincip.

Overvej et opkald og en put-option på nogle udbyttefri aktie S med samme strike-kurs K og udløbsdato T . Antag også eksistensen af en nulkuponobligation med en pålydende værdi på $1 og en udløbsdato T (markedsprisen på denne obligation kan være hvad som helst, men skal være lig med $1 på dato T ).

Lad os betegne spotprisen S på tidspunktet t som S(t). Byg nu en portefølje af long call C og short put P med samme udløbsdato T og strike K. PnL for denne portefølje er S(T) - K. Vi vil også opbygge en anden portefølje ved at købe en aktie og låne obligationer i mængde K. PnL for den anden portefølje er også S(T) - K på tidspunktet T , da aktien købt for S(t) vil være S(T) værd, og de lånte obligationer vil være K værd.

Identiske Pnl'er indebærer, at begge porteføljer skal have samme pris på samme tid , hvilket kommer til udtryk i følgende forhold mellem priserne på forskellige instrumenter: $t$

C(t)-P(t)=S(t)-K\cdot B(t,T)\,

I mangel af arbitragemuligheder er ovenstående relation, kendt som put- og call-paritet , opfyldt , mens for tre kendte priser på et call og en put-option, en obligation og et underliggende aktiv (i dette tilfælde en aktie) ), kan værdien af det fjerde instrument beregnes .

Historie

I praksis begyndte optionsparitet at blive brugt allerede i middelalderen og blev formelt beskrevet af en række forfattere i begyndelsen af det 20. århundrede.

Michael Knoll , i The Ancient Roots of Modern Financial Innovation: The Early History of Regulatory Arbitrage , beskriver den vigtige rolle, paritet spillede i udviklingen af tvangsauktioner, ejendom , som var en analog til det moderne realkreditlån i middelalderens England.

I 1904 udgav en arbitragehandler i New York ved navn Nelson The ABC of Options and Arbitrage , som detaljerede paritet . Hans bog blev genopdaget af Espen Gaarder Haug i begyndelsen af 2000'erne, som refererede til den adskillige gange i sin bog Derivatives : Models on Models .

Henry Deutsch i 1910 beskrev også paritet i sin bog Arbitrage in Bullion , Coins, Bills, Stocks, Shares and Options ), men mindre detaljeret end Trader Nelson i 1904.

Matematikprofessor Vinzenz Bronzin udledte også optionparitet i 1908 og brugte den til at udvikle en række matematiske modeller for optioner. Professor Bronzins arbejde blev for nylig opdaget af professorerne Wolfgang Hafner ( tysk: Wolfgang Hafner ) og Heinz Zimmermann ( tysk: Heinz Zimmermann ).

Den første beskrivelse af paritet i moderne akademisk litteratur ser ud til at være af Hans Stoll i The Journal of Finance [1] [2] .

Noter

↑ Stoll, Hans R. Forholdet mellem put- og købsoptionspriser // Journal of Finance : journal. - 1969. - December ( bind 24 , nr. 5 ). - s. 801-824 . - doi : 10.2307/2325677 .
↑ Citeret for eksempel i Derman, Emanuel. Illusionerne om dynamisk replikation (neopr.) // Kvantitativ finansiering. - 2005. - T. 5: 4 , nr. 4 . - S. 323-326 . - doi : 10.1080/14697680500305105 .