Geometrisk Brownsk bevægelse

Geometrisk Brownsk bevægelse (GBM) (mere sjældent, eksponentiel Brownsk bevægelse, økonomisk Brownsk bevægelse) er en kontinuerlig- tidstilfældig proces, hvis logaritme er en Brownsk bevægelse ( Wiener-proces ). GBM bruges til at modellere prisfastsættelse på finansielle markeder og bruges primært i optionsprismodeller , da GBM kan få enhver positiv værdi. GBM er en rimelig tilnærmelse til aktiekursernes reelle dynamik, men den tager ikke højde for sjældne begivenheder (outliers).

En tilfældig proces S t er GBM, hvis den opfylder følgende stokastiske differentialligning :

{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t))

hvor er den Brownske bevægelse , og ("driftsparameteren") og ("volatilitetsparameteren") er konstante. $W_{t}$ $\mu$ $\sigma$

For en vilkårlig begyndelsesværdi S 0 , har denne SDE løsningen

S_{t}=S_{0}\exp \left(\left(\mu -{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma W_{t}\right ),

hvad er en lognormalfordelt stokastisk variabel med middelværdi og varians ${\displaystyle \mathbb {E} (S_{t})=e^{\mu t}S_{0))$ $\operatorname {Var} (S_{t})=e^{2\mu t}S_{0}^{2}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right) .$

Rigtigheden af løsningen kan fastslås ved hjælp af Itô's lemma . Den stokastiske variable log( S t / S 0 ) er normalfordelt med middelværdi og varians , hvilket betyder, at GBM-inkrementerne er normale (under hensyntagen til prisen), hvilket giver anledning til at tale om den "geometriske" proces. $(\mu -\sigma ^{2}/2)t$ $\sigma ^{2}t$