Masser af niveau

I matematik er niveausættet af en reel funktion f af n reelle variable et sæt af formen

L_{c}(f)=\left\{(x_{1},\cdots,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots,x_{n}) =c\right\}~,

det vil sige den mængde, hvorpå funktionen tager en given konstant værdi c .

Når antallet af variable er to, er niveausættet normalt en kurve kaldet en niveaulinje, isoline eller konturlinje. Så niveaukurven er mængden af alle reelle løsninger af ligningen i to variable x 1 og x 2 . Når , kaldes niveausættet en plan overflade (eller også en isosurface ), og i tilfælde af et større antal variable n , er niveausættet en hyperflade. Således er en niveauoverflade mængden af alle reelle rødder af en ligning i tre variable og , og en niveauhyperflade er et sæt af alle reelle rødder af en ligning i n ( n > 3) variable. $n=3$ $x_{1},x_{2}$ $x_{3}$

Niveausættet er et specialtilfælde af laget .

Alternative titler

Flere niveauer vises i mange applikationer, ofte under forskellige navne.

For eksempel er en implicit kurve et niveausæt, der betragtes separat fra nabokurver, hvilket understreger, at en sådan kurve er defineret af en implicit funktion . Ligeledes kaldes en plan overflade undertiden en implicit overflade eller en isosurface .

Navnet isokontur [1] bruges også nogle gange , som betegner en kontur af samme højde. I forskellige områder modtager isokonturer specifikke navne, der ofte afspejler arten af værdierne for den pågældende funktion, såsom isobar , isoterm , isogon , isochron , isoquant , og indifferenskurve .

Eksempler

Overvej den todimensionelle euklidiske afstand

d(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Niveausættet for denne funktion består af punkter placeret i en afstand fra origo, et sæt kendt som en cirkel . For eksempel fordi geometrisk betyder dette, at punktet ligger på en cirkel med radius 5 centreret ved origo. Et mere generelt eksempel, en kugle i et metrisk rum med radius og centrum ved kan defineres som et niveausæt . $L_{r}(d)$ $r$ $(3,4)\in L_{5}(d)$ $d(3,4)=5.$ $(3.4)$ $(M,m)$ $r$ $x \i M$ $L_{r}(y\mapsto m(x,y))$

Det andet eksempel er Himmelblau-funktionsgrafen vist i figuren til højre. Hver viste kurve er en niveaukurve for funktionen, og de er logaritmisk adskilt fra hinanden - hvis kurven repræsenterer niveauet , så repræsenterer den nærmeste "inde"-kurve niveauet , og den nærmeste "udvendige"-kurve repræsenterer niveauet . ${\displaystyle L_{x))$ $L_{x/10}$ ${\displaystyle L_{10x))$

Niveausæt og gradienter

Sætning : Hvis en funktion f er differentierbar , er gradienten af f i et punkt enten nul eller vinkelret på niveausættet af f i punktet.

For at forstå, hvad det betyder, lad os forestille os, at to fodgængere er på samme sted på en bjergside. En af dem er selvsikker og beslutter sig for at gå i retning af den stejleste stigning, den anden er mere forsigtig, han har ikke tænkt sig at klatre op eller ned, men vælger en sti med samme højde over havets overflade. I vores analogi siger ovenstående sætning, at begge fodgængere vil køre i retninger vinkelret på hinanden.

En konsekvens af denne sætning (og dens bevis) er, at hvis f er differentierbar, er niveaumængden en hyperflade og en manifold uden for de kritiske punkter i f . På et kritisk punkt kan niveausættet reduceres til et punkt (for eksempel ved det lokale ekstremum af funktionen f ), eller det kritiske punkt kan vise sig at være en singularitet , såsom et selvskæringspunkt eller spids .

Underniveau- og superniveausæt

Masser af slags

L_{c}^{-}(f)=\venstre\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\,\midt \,f(x_{1},\cdots ,x_ {n})\leqslant c\right\}

kaldes subniveaumængden af funktionen f . Det strenge underniveausæt af funktionen f er defineret som

{\displaystyle \left\{(x_{1},\cdots,x_{n})\,\midt \,f(x_{1},\cdots,x_{n})<c\right\))

Tilsvarende

L_{c}^{+}(f)=\venstre\{(x_{1},\cdots ,x_{n})\,\mid \,f(x_{1},\cdots ,x_ {n})\geqslant c\right\}

kaldes superniveausættet af funktionen f [3] [4] . Sættet af funktionens strenge superniveau er defineret på samme måde

{\displaystyle \left\{(x_{1},\cdots,x_{n})\,\midt \,f(x_{1},\cdots,x_{n})>c\right\))

Underniveausæt er vigtige i minimeringsteori . Afgrænsethed af et eller andet ikke-tomt subniveausæt og lavere semi-kontinuitet medfører, at funktionen når sit minimum ved Weierstrass-sætningen . Konveksiteten af alle sæt underniveauer karakteriserer kvasi-konvekse funktioner [5] .

Se også

Epiplot
Niveau Funktion Metode
Niveausæt (datastrukturer)

Noter

↑ Se for eksempel Metoder til visuel repræsentation af geofelter Arkiveret 16. juni 2017 på Wayback Machine
↑ Simionescu, 2011 .
↑ Voitsekhovskii, 2001 .
↑ Weisstein, Eric W. Level Set på Wolfram MathWorld -webstedet .
↑ Kiwiel, 2001 , s. 1-25.

Litteratur

Simionescu PA Nogle fremskridt til visualisering af begrænsede funktioner og uligheder i to variable // Journal of Computing and Information Science in Engineering. - 2011. - T. 11 , no. 1 . - doi : 10.1115/1.3570770 .
Voitsekhovskii MI Niveausæt // Encyclopedia of Mathematics. — EMS Press, 2001.
Krzysztof C. Kiwiel. Konvergens og effektivitet af subgradientmetoder til kvasikonveks minimering // Mathematical Programming, Series A. - Berlin, Heidelberg: Springer, 2001. - Vol. 90 , nr. 1 . — ISSN 0025-5610 . - doi : 10.1007/PL00011414 .