Et meget begrænset sæt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 20. december 2020; verifikation kræver 1 redigering .

Et sæt siges at være fuldstændigt afgrænset , hvis der for enhver positiv ε eksisterer et endeligt ε-netværk for det sæt.

Noter

Begreberne fuldstændig afgrænsethed og afgrænsethed falder sammen i tilfælde af endelig-dimensionelle euklidiske rum . Det er faktisk tilstrækkeligt at tage en minimal terning, der indeholder et givet afgrænset sæt med side . Bræk den derefter i tern med sider . Terningernes hjørner giver et endeligt ε-net, det ønskede ε opnås ved at øge . $\mathbb {R^{n}}$ $-en$ $k^{n}$ $a/k$ $k$
Hvis nye metrikker introduceres på et finitdimensionelt rum, kan afgrænsede mængder ophøre med at være fuldstændigt afgrænsede. Et sådant resultat er for eksempel givet af en metrisk eller en diskret metrik . $\mathbb {R^{n}}$ $d(x,y)=\min(1,\mid xy\mid )$
I et uendeligt dimensionelt rum er begrænsethed heller ikke helt identisk med begrænsethed. I enhedskuglen kræves der et uendeligt antal kugler med radius ε<1 for at dække punkter på formen . $l^2$ $e_{i}=(0\dots 0,1,0\dots 0)$ $i\in \mathbb {N}$
I et komplet metrisk rum medfører fuldstændig afgrænsethed prækompakthed . Denne egenskab er påkrævet i beviset for Arzela-Ascoli-sætningen .
Nogle gange forveksles udtrykket "fuldstændig begrænset" ( eng. totally bounded ) med udtrykket "fuldstændig begrænset" ( eng. fuldstændigt afgrænset ). Sidstnævnte er relateret til lineære operatorer fra kvantefunktionel analyse.

Litteratur

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementer i teorien om funktioner og funktionel analyse. - udg. fjerde, revideret. — M .: Nauka , 1976 . — 106 s.