Legendre polynomier

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 29. december 2021; verifikation kræver 1 redigering .

Legendre polynomier
generel information
Formel	$P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1 )^{n}$
Skalært produkt	${\displaystyle (f,\;g)=\int \limits _{-1}^{1}{f(x)g(x)\,dx))$
Domæne	$[-1,\;1]$
yderligere egenskaber
Differentialligning	$(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2))}-2z{\frac {{\mathrm d}u} {{\mathrm d}z}}+n(n+1)u=0$
Norm	${\displaystyle \\|P_{n}(x)\\|={\sqrt {\frac {2}{2n+1))))$
Opkaldt efter	Legendre, Adrien Marie

Legendre -polynomiet er det polynomium , der afviger mindst fra nul i betydningen middelkvadrat . Danner et ortogonalt system af polynomier på et segment i rummet . Legendre polynomier kan opnås fra polynomier ved Gram-Schmidt-ortogonalisering . $[-1,\;1]$ $L^{2}$ $\{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;\ldots \}$

Opkaldt efter den franske matematiker Adrien Marie Legendre .

Definition

Legendre-polynomier og tilhørende Legendre-funktioner af den første og anden slags

Overvej en differentialligning af formen

(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2))}-2z{\frac {{\mathrm d}u} {{\mathrm d}z}}+n(n+1)u=0,

(en)

hvor er en kompleks variabel . Løsningerne af denne ligning for heltal har form af polynomier , kaldet Legendre polynomier . Legendre-gradspolynomiet kan repræsenteres gennem Rodrigues-formlen i formen [1] $z$ $n$ $n$

P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2 }-1)^{n}.

Skriv ofte i stedet cosinus polar vinkel : $z$

P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d(\cos \theta )^{ n}}}(\cos ^{2}\theta -1)^{n}.

Ligning ( 1 ) kan fås fra et særligt tilfælde af den hypergeometriske ligning , kaldet Legendre-ligningen

(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2))}-2z{\frac {{\mathrm d}u} {{\mathrm d}z}}+\venstre[\nu (\nu +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right]u=0,

(2)

hvor , er vilkårlige komplekse konstanter. Af interesse er dets løsninger, som er enkelt værdifulde og regelmæssige for (især for real ), eller når den reelle del af tallet er større end én. Hans løsninger kaldes associerede Legendre-funktioner eller sfæriske funktioner (harmoniske) . Substitutionen af formen i ( 2 ) giver Gauss-ligningen , hvis løsning i regionen har formen $\mu$ $\nu$ $|z|<1$ $z$ $z$ $w=(z^{2}-1)^{{\mu /2}}$ $|1-z|<2$

w=P_{\nu }^{\mu}(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )))\left({\frac {z+1}{z- 1}}\right)^{\mu /2}F\left(-\nu ,\;\nu +1;\;1-\mu ;\;{\frac {1}{2}}-{\ frac {z}{2}}\right),

hvor er den hypergeometriske funktion . Substitution i ( 2 ) fører til en opløsning af formen $F$ $w=z^{2}$

w=Q_{\nu }^{\mu}(z)=e^{\mu i\pi}2^{-\nu -1}{\sqrt {\pi }}{\frac {\ Gamma (\nu +\mu +1)}{\Gamma (\nu +3/2)))z^{-\nu -\mu -1}(z^{2}-1)^{\mu / 2}F\venstre({\frac {\nu }{2))+{\frac {\mu }{2))+1,\;{\frac {\nu}{2))+{\frac { \mu }{2))+{\frac {1}{2));\;\nu +{\frac {3}{2));\;z^{-2}\right),

defineret på . Funktionerne og kaldes Legendre-funktioner af første og anden slags . [2] $|z|>1$ $P_{\nu }^{\mu}(z)$ $Q_{\nu }^{\mu }(z)$

Følgende relationer er gyldige [3]

P_{\nu }^{\mu}(z)=P_{{-\nu -1}}^{\mu}(z)

Q_{\nu }^{\mu }(z)\sin \pi (\nu +\mu)-Q_{{-\nu -1}}^{\mu}(z)\sin \pi (\nu -\mu )=\pi e^{{i\mu \pi }}\cos(\nu \pi )P_{\nu}^{\mu}(z).

Udtryk i form af summer

Legendre polynomier er også defineret af følgende formel:

P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n))}\sum _{k=0}^{E(n/2)}(-1)^{k} {\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}.

Tilbagevendende formel

De kan også beregnes ved den rekursive formel (for ) [4] : $n\geqslant 1$

P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n -1}(x),

(3)

og de to første funktioner har formen

P_{0}(x)=1,

P_{1}(x)=x.

Den afledte af Legendre-polynomiet

Beregnet ved formlen [5]

P'_{n}(x)={\frac {n}{1-x^{2}}}[P_{n-1}(x)-xP_{n}(x)].

(fire)

Rødder af Legendre-polynomiet

Beregnet iterativt ved Newtons metode [5] :

x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}-{\frac {P_{n}(x_{i}^{(k)})}{P '_{n}(x_{i}^{(k)})}},

og den indledende tilnærmelse for den -th rod ( ) tages i henhold til formlen [5] $jeg$ $i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$

x_{i}^{(0)}=\cos {\frac {\pi (4i-1)}{4n+2)).

Værdien af et polynomium kan beregnes ved hjælp af en rekursiv formel for en specifik x -værdi . Den afledte kan også beregnes for en bestemt værdi af x ved hjælp af den afledede formlen .

Formler med udvidelser

Legendre polynomier er også defineret af følgende udvidelser:

(1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2))}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x)t ^{n}

til

|t|<\min \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|,

(1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2))}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x){ \frac {1}{t^{n+1}}}

til

|t|>\max \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|.

Følgelig,

P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\venstre[x^{n}-{\frac {n (n-1)}{2(2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4( 2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}-\ldots\right].

Tilknyttede Legendre polynomier

De tilknyttede Legendre-polynomier er defineret af formlen

P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{ n}(x),

som også kan repræsenteres som

P_{n}^{m}(\cos \theta )=\sin ^{m}\theta {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}} P_{n}(\cos \theta ).

Funktionen er nemlig den samme som . $m=0$ $P_{n}^{m}$ $P_{n}$

Normalisering efter Schmidts regel

Legendre polynomier normaliseret i henhold til Schmidt-reglen ser således ud [6] :

SP_{n}^{0}(x)=P_{n}^{0}(x),

SP_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}\left({\frac {2(nm)!}{(n+m)!}}\right)^{ 1/2}P_{n}^{m}(x).

Skiftede Legendre polynomier

De forskudte Legendre-polynomier er defineret som , hvor forskydningsfunktionen (dette er en affin transformation ) er valgt til entydigt at kortlægge ortogonalitetsintervallet for polynomierne på det interval , hvori de forskudte polynomier allerede er ortogonale : ${\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)$ $x\mapsto 2x-1$ $[-1,\;1]$ $[0,\;1]$ ${\tilde {P_{n))}(x)$

\int \nolimits _{0}^{1}{\tilde {P_{m))}(x){\tilde {P_{n))}(x)\,dx={\frac {1 }{2n+1}}\delta _{mn}.

Det eksplicitte udtryk for de forskudte Legendre-polynomier er givet som

{\tilde {P_{n))}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k)){\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}.

En analog til Rodrigues-formlen for de forskudte Legendre-polynomier er

{\tilde {P_{n))}(x)={\frac {1}{n!)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\venstre[ ( x^{2}-x)^{n}\højre].

Udtryk for nogle første skiftede Legendre polynomier:

n	${\tilde {P_{n))}(x)$
0	$en$
en	$2x-1$
2	$6x^{2}-6x+1$
3	$20x^{3}-30x^{2}+12x-1$
fire	$70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1$

Legendre polynomiefunktionsmatrix

{\begin{pmatrix}0&0&-2&0&0&\vdots &0&\vdots &0\\0&2&0&-6&0&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&6&0&-12&\vdots &&0dots &&0dots &&0 \vdots &\vdots \\0&0&0&0&20&\vdots &0&\vdots &\vdots \\\prikker &\prikker &\prikker &\prikker &\prikker &\ddots &\vprikker &\prikker &\vdots \&\0&0&0 (k+1)&\prikker &\vprikker \\\prikker &\prikker &\prikker &\prikker &\prikker &\prikker &\prikker &\ddots &\vprikker \\0&0&0&0&0&\prikker &0&\prikker &n(n +1)\\\end{pmatrix}}

Denne matrix er øvre trekantet . Dens determinant er lig nul, og egenværdierne er , hvor . $k(k+1)$ ${\displaystyle k\in \{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots ,\;n\))$

Eksempler

De første Legendre polynomier i eksplicit form:

P_{0}(x)=1,

P_{1}(x)=x,

P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1),

P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x),

P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3),

P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x),

P_{6}(x)={\frac {1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5),

P_{7}(x)={\frac {1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x),

P_{8}(x)={\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12\,012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35 ),

P_{9}(x)={\frac {1}{128}}(12\,155x^{9}-25\,740x^{7}+18\,018x^{5}-4620x ^{3}+315x),

P_{10}(x)={\frac {1}{256}}(46\,189x^{10}-109\,395x^{8}+90\,090x^{6}-30 \,030x^{4}+3465x^{2}-63),

P_{11}(x)={\frac {1}{256}}(88\,179x^{11}-230\,945x^{9}+218\,790x^{7}-90 \,090x^{5}+15\,015x^{3}-693x),

P_{12}(x)={\frac {1}{1024}}(676\,039x^{12}-1\,939\,938x^{10}+2\,078\,505x ^{8}-1\,021\,020x^{6}+225\,225x^{4}-18\,018x^{2}+231),

P_{13}(x)={\frac {1}{1024}}(1\,300\,075x^{13}-4\,056\,234x^{11}+4\,849 \,845x^{9}-2\,771\,340x^{7}+765\,765x^{5}-90\,090x^{3}+3003x),

P_{14}(x)={\frac {1}{2048}}(5\,014\,575x^{14}-16\,900\,975x^{12}+22\,309 \,287x^{10}-14\,549\,535x^{8}+4\,849\,845x^{6}-765\,765x^{4}+45\,045x^{2}- 429),

P_{15}(x)={\frac {1}{2048}}(9\,694\,845x^{15}-35\,102\,025x^{13}+50\,702 \,925x^{11}-37\,182\,145x^{9}+14\,549\,535x^{7}-2\,909\,907x^{5}+255\,255x^{ 3}-6435x),

P_{16}(x)={\frac {1}{32768}}(300540195x^{16}-1163381400x^{14}+1825305300x^{12}-1487285800x^0927^861{10}+ }-162954792x^{6}+19399380x^{4}-875160x^{2}+6435),

P_{17}(x)={\frac {1}{32768}}(583\,401\,555x^{17}-2\,404\,321\,560x^{15}+4 \,071\,834\,900x^{13}-3\,650\,610\,600x^{11}+1\,859\,107\,250x^{9}-535\,422\, 888x^{7}+81\,477\,396x^{5}-5\,542\,680x^{3}+109\,395x).

Siden da $P_{n}(1)=1$

P_{n}(x)={\frac {\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}x^{2}+\ldots +\lambda _{n} x^{n)){\lambda _{0}+\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n))}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{n }\lambda _{i}x^{i}}{\sum \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}}}.

Egenskaber

Hvis , så $n \neq 0$ $\forall x\in (-1,\;1)\quad |P_{n}(x)|<1.$
For graden er . $n \neq 0$ $P_{n}$ $n$
Summen af koefficienterne for Legendre-polynomiet er 1. $P_n(x)$
Ligningen har nøjagtigt forskellige rødder på segmentet $P_{n}(x)=0$ $n$ $[-1,\;1].$
Lad . Derefter ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad U_{n}(x)=(x^{2}-1)^{n))$ $U'_{n+1}(x)-2(n+1)xU_{n}(x)=0,$ $(x^{2}-1)U'_{n}(x)-2nxU_{n}(x)=0.$
De tilknyttede Legendre polynomier er løsninger af differentialligningen ${\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\right]-{\frac { m^{2}}{(1-x^{2})}}P_{n}(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.$

Ved antager ligningen formen

m=0

P'_{n+1}(x)=xP'_{n}(x)+(n+1)P_{n}(x).

Genereringsfunktionen for Legendre polynomier er $\sum _{n=0}^{\infty}P_{n}(z)x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-2xz+x^{2))} }.$
Ortogonalitetsbetingelsen for disse polynomier på segmentet : $[-1,\;1]$ $\int \limits _{-1}^{1}P_{k}(x)P_{l}(x)\,dx={\frac {2}{2k+1}}\delta _{ kl},$

hvor er Kronecker-symbolet .

\delta _{{kl}}

For normen er $n\in \mathbb {N}$ $P_{n}$ $\|P_{n}\|={\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}P_{n}^{2}(x)\,dx))={\sqrt { \frac {2}{2n+1}}}.$
Den normaliserede Legendre polynomiefunktion er relateret til normen ved følgende forhold: $P_{n}$ ${\tilde {P}}_{n}(x)={\frac {P_{n}(x)}{\|P_{n}\|}}={\sqrt {\frac {2n +1}{2}}}P_{n}(x).$
For hver er systemet med tilknyttede Legendre-funktioner komplet i . $m>0$ $P_{n}^{m}(x),\ n=m,\;m+1,\;\ldots$ $L_{2}(-1,\;1)$
Afhængigt af og kan de tilknyttede Legendre-polynomier være enten lige eller ulige funktioner: $m$ $n$ $P_{n}^{m}(-x)=(-1)^{{m+n}}P_{n}^{m}(x).$ ${\displaystyle P_{2n))$ er en jævn funktion, $P_{2n+1}$ er en mærkelig funktion.
$P_{n}(1)=1.$
$P_{n}(-1)=(-1)^{n}.$
$P_{2n}(0)={\frac {1}{2^{2n))}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {2n }{k}}{\binom {4n-2k}{2n}}0^{2n-2k}={\frac {1}{2^{2n}}}(-1)^{n}{\binom {2n}{n}}$ , siden , og . $\forall k\neq n\quad 0^{2n-2k}=0$ $0^{2n-2n}=1$
For udføres . $n \neq 0$ ${\displaystyle P_{2n}(0)\leqslant {\frac {1}{\sqrt {\pi n))))$
$\forall x\in [-1,\;1],\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad |P_{n}(x)|\leqslant {\sqrt { \frac {2}{\pi n(1-x^{2})}}}.$

Serie af legendre polynomier

Udvidelse af en Lipschitz-funktion til en række Legendre-polynomier

Lipschitz-funktionen er en funktion med ejendommen $f$

|f(x)-f(y)|\leqslant L|xy|

, hvor .

L>0

Denne funktion udvides til en serie af Legendre polynomier.

Lad være rummet af kontinuerlige afbildninger på segmentet , , og . $\varepsilon (I)$ $I=[-1,\;1]$ $f\in \varepsilon (I)$ $n\in \mathbb {N}$

Lade

c_{n}(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x){\tilde {P}}_{n}(x)\,dx,

opfylder derefter følgende betingelse: $c_{n}(f)$

\lim _{n\to \infty }c_{n}(f)=0.

Lad og opfyld følgende betingelser: $S_{n}f=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(f){\tilde {P}}_{k}$ $S_{n}f$

$\forall x\in I\quad S_{n}f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y)f(y)\, D y$ , hvor $K_{n}(x,\;y)={\frac {n+1}{2}}{\frac {P_{n+1}(x)P_{n}(y)-P_{ n+1}(y)P_{n}(x)}{xy}};$
$S_{n}f(x)-f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y){\big (}f(y) -f(x){\big )}\,dy;$
$\forall x\in [-1,1]\quad \lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=f(x).$

Lipschitz-funktionen kan skrives som følger: $f$

f=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(f){\tilde {P}}_{n}.

Dekomponering af en holomorf funktion

Enhver funktion holomorf inde i en ellipse med foci −1 og +1 kan repræsenteres som en serie: $f$

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n}P_{n}(x).

Additionssætning

For mængder, der opfylder betingelserne , , , er et reelt tal , kan vi skrive additionssætningen for Legendre polynomier af den første slags: [7] $0\leqslant \psi _{1}<\pi$ $0\leqslant \psi _{2}<\pi$ $\psi _{1}+\psi _{2}<\pi$ $\varphi$

P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k }(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m} P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi ,

eller alternativt via gamma-funktionen :

P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k }(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (k -m+1)}{\Gamma (k+m+1)}}P_{k}^{m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _ {2})\cos m\varphi .

For Legendre polynomier af den anden slags ser additionssætningen ud som [8]

Q_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k }(\cos \psi _{1})Q_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m} P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})Q_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi

under forhold , , . $0\leqslant \psi _{1}<\pi /2$ $0\leqslant \psi _{2}<\pi$ $\psi _{1}+\psi _{2}<\pi$ $\varphi$

Legendre funktioner

Legendre polynomier (sammen med tilhørende Legendre funktioner ) opstår naturligt i potentialteori . $P_{{n,\;m}}(x)$

Sfæriske funktioner er funktioner (i sfæriske koordinater ) af formen (op til en konstant) $r,\;\theta ,\;\varphi$

r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\cos m\varphi

r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\sin m\varphi ,

hvor er de tilhørende Legendre polynomier. De kan også repræsenteres som , hvor er sfæriske funktioner . $P_{n}^{m}$ ${\displaystyle r^{n}Y_{nm))$ ${\displaystyle Y_{nm))$

De sfæriske funktioner opfylder Laplace-ligningen overalt i . $\mathbb {R} ^{3}$

Noter

↑ Gradstein, Ryzhik, 1963 , s. 1039.
↑ Bateman, Erdeyi, bind 1, 1973 , s. 126-127.
↑ Bateman, Erdeyi, bind 1, 1973 , s. 140.
↑ Zimring, 1988 , s. 196.
↑ 1 2 3 Zimring, 1988 , s. 197.
↑ John W. Eaton, David Bateman, Søren Hauberg, Rik Wehbring. GNU Octave . - Udgave 4 til Octave version 4.4.1. - 2018. - S. 530-531.
↑ Gradstein, Ryzhik, 1963 , s. 1027.
↑ Gradstein, Ryzhik, 1963 , s. 1028.

Litteratur

Bateman G., Erdeyi A. Højere transcendentale funktioner = højere transcendentale funktioner / Pr. N. Ya. Vilenkina. - Ed. 2.,. - M. : Nauka, 1973. - T. 1. - 296 s. - 14.000 eksemplarer.
Vladimirov V. S., Zharinov V. V. Matematisk fysiks ligninger. - M. : Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-5 .
Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tabeller over integraler, summer, serier og produkter. - Ed. 4., revideret. - M . : Statens forlag for fysisk og matematisk litteratur, 1963. - 19.000 eksemplarer.
Campe de Ferrier J., Campbell R., Petio G., Vogel T. Funktioner af matematisk fysik. — M .: Fizmatlit, 1963.
Nikolsky S. M. Kvadraturformler. — M .: Nauka, 1988.
Zimring Sh. E. Specialfunktioner og bestemte integraler. Algoritmer. Programmer til regnemaskiner: en håndbog. - M . : Radio og kommunikation, 1988.

Links

Legendre Polynomials - University of Rochester, 2010.

Ortogonale polynomier
Bessel polynomier Gegenbauer polynomier Kravchuk polynomier Laguerre polynomier Legendre polynomier Polachek polynomier Rogers polynomier Zernike polynomier Chebyshev polynomier Charlier polynomier Hermite polynomier Jacobi polynomier