Metode til ubestemte koefficienter

Metoden med ubestemte koefficienter er en metode, der bruges i matematik til at finde den ønskede funktion som en nøjagtig eller omtrentlig lineær kombination af et endeligt eller uendeligt sæt af basisfunktioner. Den angivne lineære kombination tages med ukendte koefficienter, som på den ene eller anden måde bestemmes ud fra betingelserne for det pågældende problem. Normalt opnås et system af algebraiske ligninger for dem .

Ansøgninger

Nedenfor er de problemer, der løses ved metoden med ubestemte koefficienter. Ligningssystemet i dem opnås ved at sidestille koefficienterne ved de samme potenser i lige polynomier.

Dekomponering af en brøk til den simpleste

Et klassisk eksempel på anvendelsen af metoden med ubestemte koefficienter er nedbrydningen af en egentlig rationel fraktion i en kompleks eller reel region til simple fraktioner .

Lad og være polynomier med komplekse koefficienter, og graden af polynomiet er mindre end graden af polynomiet . Vi vil antage, at graden af polynomiet er , koefficienten af det førende led af polynomiet er 1, og , er forskellige rødder af polynomiet med multipliciteter , hhv. Derfor har vi $P$ $Q$ $P$ $Q$ $Q$ $n$ $Q$ $z_{k}$ $k\leq n$ $Q$ $\alpha _{k}\geq 1$

Q(z)=(z-z_{1})^{\alpha _{1}}(z-z_{2})^{\alpha _{2}}..(z-z_{k })^{\alpha _{k)),

\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{k}=n,

Funktionen er repræsentabel, og desuden på en unik måde, som en sum af simple brøker $P/Q$

{\frac {P(z)}{Q(z)}}=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{\alpha _{i}}{ \frac {A_{i,j}}{(z-z_{i})^{j}}},

hvor er stadig ukendte komplekse tal (deres antal er lig med ). For at finde dem reduceres begge dele af ligheden til en fællesnævner. Efter dets afvisning og reduktion på højre side af lignende udtryk opnås en lighed, som reduceres til et system af lineære ligninger med hensyn til . $A_{{i,j}}$ $n$ $A_{{i,j}}$

Bemærk . At finde koefficienterne er forenklet, hvis den kun har ikke-multiple rødder , , dvs. alt og $Q$ $z_{k}$ $k=1,...,n$ $\alpha _{k}=1$

{\frac {P(z)}{Q(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{z-z_{i}}} .

Efter at have ganget med den sidste lighed og substitueret, får vi direkte værdien af den tilsvarende koefficient ${\displaystyle z-z_{k))$ ${\displaystyle z=z_{k))$

A_{k}={\frac {P(z_{k})}{\prod \limits _{i\neq k}(z_{k}-z_{i))))),\quad k = 1,...,n.

Integration

Når man beregner det ubestemte integral af en rationel funktion, bruges metoden med ubestemte koefficienter, når man dekomponerer en brøk til en sum af de simpleste, som beskrevet ovenfor, såvel som i Ostrogradsky-metoden , der bruges hvis rødderne til nævneren af en brøk. har en stor mangfoldighed. Det bruges også ved integration af irrationaliteter i formen

${P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))},$

hvor er et polynomium af grad n. Derefter $P_{{n}}(x)$

$\int {P_{n}(x) \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))}dx=P_{n-1}(x){\sqrt {ax^{2 }+bx+c))+\lambda \int {dx \over {\sqrt {ax^{2}+bx+c))}.$

Efter at have differentieret denne lighed, løst ligningssystemet, bestemme de ubestemte koefficienter for polynomiet af grad n-1, samt [1] . $P_{n-1}(x)$ $\lambda$

Serieinversion

Hvis en funktion , der ikke er lig med nul ved , udvides i en Maclaurin-serie : $f(x)$ $x=0$

f(x)=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots ,

så er der en Maclaurin-serie med den modsatte funktion:

1/f(x)=b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots ,

Koefficienterne for denne serie kan findes ved at gange disse to ligheder og anvende metoden med ubestemte koefficienter. Et uendeligt trekantet system af lineære ligninger vil blive opnået, hvorfra de nødvendige koefficienter successivt vil blive fundet.

På en lignende, men mere besværlig måde, kan du finde koefficienterne for den omvendte funktionsrække :

g(x)=c_{1}x+c_{2}x^{2}+\ldots ,

I dette tilfælde bruges forholdet , det vil sige, at hele serien for erstattes med serien for . $g(f(x))=x$ $f(x)$ $x$ $g(x)$

Summen af potenser

Som et særligt eksempel kan vi nævne problemet med at finde en formel for k-te grader: . Vi vil lede efter svaret i form af et polynomium af th grad af . Koefficienterne for dette polynomium kan findes ved hjælp af metoden med ubestemte koefficienter. ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{k))$ $k+1$ $n$

Eksempel . Søger i formularen . $\sum _{i=0}^{n}i^{3}$ $p(n)=an^{4}+bn^{3}+cn^{2}+dn+e$

Per definition såvel som . Ved at erstatte polynomiet i den reducerede form og sidestille koefficienterne ved de samme potenser får vi et system til at bestemme dem: ${\displaystyle p(n)-p(n-1)=n^{3))$ $p(1)=1$

{\begin{cases}4a-1=0\\-6a+3b=0\\4a-3b+2c=0\\-a+b-c+d=0\\a+b+c +d+e=1\end{cases}},

hvor vi får svaret: $\sum _{i=0}^{n}i^{3}={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{ 3}+{\frac {1}{4}}n^{2}={\frac {n^{2}(n+1)^{2}}{4}}$

At finde en bestemt løsning til en inhomogen differentialligning

På en måde er denne applikation en generalisering af den foregående - i så fald søgte man løsningen af differensligningen , men her søges løsningen af ligningen . ${\displaystyle \Delta p(n)=n^{3))$ $a_{n}f^{(n)}(x)+\ldots +a_{2}f''(x)+a_{1}f'(x)+a_{0}f(x) =g(x)$

Normalt bruges metoden med ubestemte koefficienter i tilfælde, hvor højre side er et algebraisk eller trigonometrisk polynomium.

Noter

↑ Kudryavtsev L. D. Matematisk analyse. - M . : Højere Skole , 1970. - T. 1. - S. 369-370. — 50.000 eksemplarer.