Radon mål

Radonmålet er et mål på sigma-algebraen af Borel-sæt på et Hausdorff topologisk rum X , der er lokalt endeligt og internt regelmæssigt.

Definition

Lad μ være et mål på sigma-algebraen af Borel-sæt i et Hausdorff-topologisk rum X .

Et mål μ siges at være iboende regelmæssigt , hvis μ ( B ) for et hvilket som helst Borel-sæt B er det samme som det højeste μ ( K ) for kompakte delmængder K af B.

Et mål μ siges at være ydre regulært , hvis μ ( B ) for et hvilket som helst Borel-sæt B er infimum af μ ( U ) over alle åbne sæt U , der indeholder B.

Et mål μ siges at være lokalt endeligt , hvis hvert punkt i X har et kvarter U , for hvilket værdien μ ( U ) er endelig. (Hvis μ er lokalt endeligt, så er μ endeligt på kompakte sæt.)

Et mål μ kaldes et Radonmål, hvis det er internt regulært og lokalt endeligt.

Bemærk

Definitionen kan generaliseres til ikke-Hausdorff-rum ved at erstatte ordene "kompakt" med "lukket og kompakt" overalt, men denne generalisering har endnu ingen anvendelse.

Eksempler

Eksempler på radonforanstaltninger:

Lebesgue-mål på det euklidiske rum (begrænset til Borel-undergrupper);
Haar mål på enhver lokalt kompakt topologisk gruppe;
Dirac-mål på ethvert topologisk rum;
Gaussisk måler på et euklidisk rum med dets Borel sigma-algebra; $\mathbb {R} ^{n}$
Sandsynlighedsmål på σ-algebraen af Borel-sæt af ethvert polsk rum. Dette eksempel generaliserer ikke kun det foregående eksempel, men inkluderer mange mål på lokalt kompakte rum, såsom Wiener-målet på rummet af reelle kontinuerte funktioner i intervallet [0,1].

Følgende tiltag er ikke radonforanstaltninger:

Et tællemål på et euklidisk rum er ikke et radonmål, da det ikke er lokalt endeligt.
Ordinalrummet op til den første utallige ordinal med ordenstopologi er et kompakt topologisk rum. Et mål, der er 1 på ethvert sæt, der indeholder et utalligt lukket sæt, og 0 ellers, er et Borel-mål, men ikke et Radon-mål.
Lad X være mængden [0,1) udstyret med piltopologien . Lebesgue-målet på dette topologiske rum er ikke et radonmål, da det ikke er internt regelmæssigt. Sidstnævnte følger af, at kompakte mængder i denne topologi højst kan tælles.
Standardmålet for et produkt på med en utælelig er ikke et radonmål, da ethvert kompakt sæt er indeholdt i produktet af et utalligt antal lukkede intervaller, som hver mål er mindre end 1. ${\displaystyle (0,1)^{\kappa ))$ $\kappa$

Egenskaber

I det følgende betegner X et lokalt kompakt topologisk rum , μ Radonmålet på . $x$

Målingen μ definerer en lineær funktionel på rummet af alle finite funktioner på X , det vil sige kontinuerlige funktioner med kompakt understøttelse: $I\colon f\mapsto \int \limits _{X}f\,d\mu$

Desuden:

Denne funktion definerer selve målingen fuldstændigt.
Denne funktion er kontinuerlig og positiv. Positiv betyder, at hvis . $I(f)\geqslant 0$ $f\geqslant 0$

Radon metrisk

Keglen af alle Radon-mål på kan få strukturen som et komplet metrisk rum . Afstanden mellem to radonmål er defineret som følger: $x$ ${\displaystyle \mu _{1},\mu _{2))$

\rho (\mu _{1},\mu _{2})=\sup \left\{\int \limits _{X}f(x)\,d(\mu _{1}- \mu _{2})(x)\right\},

hvor det øverste overtages alle løbende funktioner $f\colon X\to [-1,1]$

Denne metrik kaldes Radon-metrikken . Konvergensen af foranstaltninger i Radon-metrikken kaldes undertiden stærk konvergens .

Rummet af Radon sandsynlighed måler på , $x$

{\mathcal {P}}(X):=\{\mu \mid \mu (X)=1\},

er ikke sekventielt kompakt med hensyn til denne metrik, det vil sige, at det ikke er garanteret, at nogen sekvens af sandsynlighedsmålinger vil have en følgefølge, der konvergerer.

Konvergens i Radon-metrikken indebærer svag konvergens af foranstaltninger:

\rho (\mu _{n},\mu )\to 0\Rightarrow \mu _{n}\rightharpoonup \mu

Det modsatte er ikke sandt generelt.

Integration

Definitionen af integralet for en bredere klasse af funktioner (med ikke nødvendigvis kompakt understøttelse) udføres i flere trin:

Det øverste integral μ*(g) af nedre halvkontinuerlige positive (reelle) funktioner g er defineret som supremum (muligvis uendeligt) af positive tal μ ( h ) for endelige kontinuerte funktioner h ≤ g .
Det øvre integral μ*( f ) for en vilkårlig positiv funktion f med reel værdi er defineret som infimum af de øvre integraler μ*(g) for nedre semi-kontinuerlige funktioner g ≥ f .
Vektorrummet F = F ( Х ; μ ) er defineret som rummet for alle funktioner f på X, for hvilke det øvre integral μ*(|f|) er endeligt; Den absolutte værdi øvre integral definerer en seminorm på F , og F er et komplet rum med hensyn til topologien defineret af denne seminorm.
Rummet L 1 ( X , μ ) af integrerbare funktioner er defineret som lukningen i F af rummet af kontinuerte finite funktioner.
Integralet for funktioner fra L 1 ( X , μ ) bestemmes ved forlængelse af kontinuitet (efter at have kontrolleret, at μ er kontinuert med hensyn til topologien af L 1 ( X , μ )).
Sættets mål er defineret som integralet (når det eksisterer) af funktionen af indikatoren for sættet.

Det kan ses, at disse operationer giver en teori, der er identisk med den, der starter med Radon-målet, defineret som en funktion, der tildeler et tal til hvert Borel-sæt i X .

Litteratur

Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1 .
Dieudonné, Jean (1970), Treatise on analysis , vol. 2 Akademisk Presse
Hewitt, Edwin & Stromberg, Karl (1965), Virkelig og abstrakt analyse , Springer-Verlag .
König, Heinz (1997), Mål og integration: et avanceret kursus i grundlæggende procedurer og applikationer , New York: Springer, ISBN 3-540-61858-9
Schwartz, Laurent (1974), Radonmålinger på vilkårlige topologiske rum og cylindriske mål , Oxford University Press, ISBN 0-19-560516-0