Median (statistik)

Median (fra latin  mediāna  "midt") eller den midterste værdi af et sæt tal - det tal, der er i midten af ​​dette sæt, hvis sorteret i stigende rækkefølge, det vil sige et sådant tal, at halvdelen af ​​elementerne i mængden er ikke mindre end det, og den anden halvdel er ikke mere . En anden ækvivalent definition [1] : medianen af ​​et sæt tal er et tal, summen af ​​afstande (eller mere strengt moduler ) hvorfra alle tal fra mængden er minimal. Denne definition generaliserer naturligvis til multivariate datasæt og kaldes 1-medianen .

For eksempel er medianen af ​​sættet {11, 9, 3, 5, 5} tallet 5, da det er i midten af ​​dette sæt efter dets rækkefølge: {3, 5, 5, 9, 11}. Hvis prøven har et lige antal elementer, er medianen muligvis ikke entydigt bestemt: for numeriske data bruges halvsummen af ​​to tilstødende værdier oftest (det vil sige medianen af ​​sættet {1, 3) , 5, 7} er lig med 4), se nedenfor for detaljer . I matematisk statistik kan medianen bruges som en af ​​kendetegnene for en prøve eller et sæt tal.

Medianen af ​​den stokastiske variabel er også defineret : i dette tilfælde er den defineret som det tal, der halverer fordelingen. Groft sagt er medianen af ​​en stokastisk variabel et tal, således at sandsynligheden for at få værdien af ​​den stokastiske variabel til højre for den er lig med sandsynligheden for at få værdien af ​​den stokastiske variabel til venstre for den (og de er begge lig med 1/2), er en mere præcis definition givet nedenfor .

Medianen kan også siges at være den 50. percentil , 0,5 kvantil eller anden kvartil af en prøve eller fordeling.

Medianegenskaber for tilfældige variabler

Hvis fordelingen er kontinuert, så er medianen en af ​​løsningerne til ligningen

hvor  er fordelingsfunktionen af ​​den stokastiske variabel forbundet med fordelingstætheden som

Hvis fordelingen er en kontinuerlig , strengt stigende funktion, så er løsningen af ​​ligningen unik. Hvis fordelingen har diskontinuiteter, så kan medianen falde sammen med den minimale eller maksimale (ekstrem) mulige værdi af den stokastiske variabel, hvilket modsiger den "geometriske" forståelse af dette udtryk.

Medianen er et vigtigt kendetegn ved fordelingen af ​​en stokastisk variabel og kan ligesom den matematiske forventning bruges til at centrere fordelingen. Da estimater af medianen er mere robuste , kan dens estimering være mere at foretrække for distributioner med såkaldte. tunge haler . Fordelene ved at estimere medianen i forhold til den matematiske forventning kan dog kun diskuteres, hvis disse fordelingsegenskaber er sammenfaldende, især for symmetriske sandsynlighedstæthedsfunktioner.

Medianen bestemmes for alle fordelinger, og i tilfælde af tvetydighed forlænges den naturligvis, mens den matematiske forventning måske ikke er defineret (f.eks. for Cauchy-fordelingen ).

Eksempel på brug

Overvej den økonomiske situation for 19 fattige mennesker, som hver kun har 5 ₽ , og en millionær, som bogstaveligt talt har 1 million ₽. Så får de i alt 1.000.095 ₽ . Hvis pengene deles i lige store dele af 20 personer, får du 50.004,75 ₽ . Dette vil være det aritmetiske gennemsnit af det beløb, som alle 20 personer i rummet havde.

Medianen vil være lig med 5 ₽ (summen af ​​"afstanden" fra denne værdi til tilstanden for hver af de personer, der overvejes, er minimal). Dette kan fortolkes på følgende måde: Ved at "dele" alle de personer, der overvejes i to lige store grupper på 10 personer, får vi, at i den første gruppe har alle ikke mere end 5 ₽, mens i den anden - ikke mindre end 5 ₽.

Ud fra dette eksempel viser det sig, at det groft sagt er mest korrekt at bruge medianen som "midterste" tilstand, men det aritmetiske gennemsnit overstiger tværtimod betydeligt mængden af ​​kontanter, der er til rådighed for en tilfældig person fra stikprøven .

Ændringer i dynamikken er også forskellige for det aritmetiske gennemsnit med en median, for eksempel i ovenstående eksempel, hvis en millionær vil have 1,5 millioner rubler (+50%), og resten vil have 6 rubler (+20%), så det aritmetiske gennemsnit af stikprøven vil være lig med 75.005,70 ₽ , det vil sige, det ser ud til, at alle ville være steget jævnt med 50 %, mens medianen bliver lig med 6 ₽ (+20 %).

Ikke-unik værdi

Hvis der er et lige antal tilfælde, og to midler er forskellige, kan et hvilket som helst tal mellem dem pr. definition tjene som medianen (for eksempel i prøven {1, 3, 5, 7}, et hvilket som helst tal fra intervallet (3.5) kan tjene som medianen). I praksis, i dette tilfælde, bruges det aritmetiske middelværdi af to gennemsnitsværdier oftest (i eksemplet ovenfor er dette tal (3+5)/2=4). For prøver med et lige antal elementer kan du også introducere begrebet "nedre median" (element med nummer n/2 i en ordnet række af elementer; i eksemplet ovenfor er dette tal 3) og "øvre median" (element med tal (n + 2) / 2 ; i eksemplet ovenfor er det tallet 5) [2] . Disse begreber defineres ikke kun for numeriske data, men også for enhver ordinær skala .

Se også

• Det aritmetiske middelværdi af et sæt tal er et tal, summen af ​​de kvadrerede afstande, hvorfra til alle tal fra mængden er minimal [3] .

Noter

1. ↑ Essensen af ​​medianen . Hentet 9. maj 2021. Arkiveret fra originalen 9. maj 2021. (ubestemt)
2. ↑ Cormen, Thomas H., Leiserson, Charles I., Rivest Ronal L., Stein, Clifford. Algoritmer. Konstruktion og analyse. — 2. udgave. - M . : Williams Publishing House, 2005. - S. 240. - 1296 s.
3. ↑ Hvorfor er disse ækvivalente definitioner af det aritmetiske middelværdi ? (ubestemt)

Litteratur

• Median // Manikovsky - Meotida. - M .  : Great Russian Encyclopedia, 2012. - S. 479-480. - ( Great Russian Encyclopedia  : [i 35 bind]  / chefredaktør Yu. S. Osipov  ; 2004-2017, v. 19). — ISBN 978-5-85270-353-8 .
• Median  // Great Russian Encyclopedia [Elektronisk ressource]. – 2017.

Ordbøger og encyklopædier	Flot dansk Fantastisk norsk Universalis