Lebrun, Claude

Claude Lebrun
engelsk Claude R. LeBrun Jr.
i Oberwolfach i 2012
Fødselsdato	26. november 1956( 1956-11-26 ) (65 år)
Fødselssted	Dallas , Texas
Land	USA
Videnskabelig sfære	differentialgeometri
Arbejdsplads	State University of New York ved Stony Brook
Alma Mater	Oxford Universitet
videnskabelig rådgiver	Roger Penrose
Studerende	Massimiliano Pontecorvo , Michael Albanese
Priser og præmier	Fellow fra American Mathematical Society
Mediefiler på Wikimedia Commons

Claude LeBrun ( engelsk Claude LeBrun , f. 26. november 1956 i Dallas , Texas ) er en nordamerikansk geometer, specialist i kompleks og differentiel geometri , primært firedimensionelle manifolder, samt relativitetsteorien . SUNY Distinguished Professor ved State University of New York ved Stony Brook .

Biografi

Han blev uddannet i 1977 fra Rice University 's Hansen College [1] , han gjorde sine postgraduate studier i Oxford under Penrose , og i 1980 afsluttede han sit speciale Spaces of Complex Geodesics and Related Structures [2] , hvorefter han fik en stilling ved Stony Brook [3] .

I 1994 var han en inviteret taler ved den internationale matematiske kongres i Zürich , emnet for rapporten var Anti-selv-dual metrics og Kähler geometri . I 2012 blev han valgt til Fellow i American Mathematical Society . I 2016 blev Lebruns 60 års fødselsdag fejret med en konference i Montreal. [4] I 2018 modtog Lebrune Simons Foundation Award , [5] og i 2020 blev han udnævnt til SUNY Distinguished Professor ved Stony Brook University .

Afhandling

Lebruns afhandling uddyber hans store lærers arbejde inden for twistorteori . Han betragter nemlig dimensionelle komplekse manifolder udstyret med en holomorf projektiv forbindelse ; lokal geodætik med hensyn til en sådan forbindelse kan parametriseres af en -dimensionel kompleks manifold. Hvert punkt i den oprindelige manifold definerer en submanifold i geodetikrummet, da hver kompleks tangentretning i et punkt tillader en unik geodæt, som den tangerer. En holomorf projektiv forbindelse på den oprindelige manifold kan genvindes fra dette gitter af submanifolds i rummet af geodetik, og små deformationer af den komplekse struktur på den svarer til små variationer af den projektive forbindelse. For det trivielle tilfælde af et projektivt plan er geodetikerne projektive linjer, og deres dobbelte projektive plan parametriserer dem; Lebruns afhandling kan således opfattes som en vidtrækkende generalisering af projektiv dualitet . $n$ $(2n-2)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n-1))$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{2}$

Et lignende resultat blev opnået af Lebrun for en kompleks manifold med en konform forbindelse, det vil sige en holomorf konform struktur (eller et felt af kvadratiske kegler) sammen med en torsionstensor, og rummet af lokale isotrope geodetik på den (det vil sige, geodetik, der tangerer dette felt af kegler - ellers kaldes de lys-lignende eller nul-geodesics). I tilfælde af forsvinden af torsionstensoren, som det blev bevist af Lebrun, tillader rummet af isotrope geodætikere en holomorf kontaktstruktur , og omvendt tvinger tilstedeværelsen af en holomorf kontaktstruktur på rummet af isotrope geodætikere torsion af den konforme struktur. på den oprindelige plads til at forsvinde. Dette resultat gælder kun, når dimensionen af den komplekse manifold er 4 eller højere; for tredimensionelle manifolds konstruerede Lebrun en kanonisk indlejring i en firedimensionel manifold med en konform forbindelse, hvis krumning er selvdual, hvorunder torsionen af den oprindelige struktur udtrykkes i form af den ydre krumning af denne indlejring.

RC-twistorer af 3-manifolds

I 1984 i Trans. Er. Matematik. soc. Lebruns artikel Twistor CR Manifolds and Three-Dimensional Conformal Geometry blev publiceret , hvori han udvidede twistor-teorien til også at omfatte reelle tredimensionelle manifolder med en konform struktur - altså dem, hvorpå man kan tale om vektorers indbyrdes vinkelrethed, men ikke deres absolutte længde (hvis du forestiller dig, at der ikke er nogen tid, sådan i det væsentlige er vores tredimensionelle rum: længdeenheden er valgt af os helt vilkårligt, og til en vis grad, det faktum, at en længdeenhed på Jorden og en længdeenhed på Pluto kan meningsfuldt sammenlignes er en troshandling). Den er forbundet med en rigtig femdimensionel manifold med en RC-struktur , dvs. en firedimensionel kontaktfordeling udstyret med et felt af 90° rotationsoperatorer, hvilket gør det til en todimensionel kompleks fordeling og opfylder desuden integrerbarhedstilstand og en familie af holomorfe rationelle kurver , der tangerer denne komplekse fordeling. Integrerbarhedsbetingelsen reduceres til det faktum, at på niveau med Taylor-serien kan den femdimensionelle manifold ved hvert punkt realiseres som Taylor-serien af en rigtig hyperflade, således at kontaktunderrummet nøjagtigt er et komplekst todimensionalt plan, der ligger. i det reelle femdimensionale tangentrum til hyperoverfladen, og rotationsoperatoren med 90° vil være nøjagtig vektormultiplikationsoperatoren i med . Omvendt, givet en femdimensionel RC-manifold med en familie af rationelle kurver, er den originale tredimensionelle manifold med en konform struktur unikt restaureret. $\mathbb {C} ^{3}$ $\mathbb {C} ^{3}$ ${\sqrt {-1}}$

Bemærk, at eksistensen af ægte lokale kort med værdier på Lebrun twistors automatisk ville indebære analyticiteten af reguleringsfunktionerne (på grund af analyticiteten af komplekst differentierbare kortlægninger) og dermed tilstedeværelsen af en analytisk struktur på den oprindelige 3-manifold . $\mathbb {C} ^{3}$

Lebrun opnåede denne struktur ved en genial geometrisk konstruktion, hvorfra integrerbarheden af denne RC-struktur var indlysende (nemlig ved at overveje vektorer i kompleksificeringen af cotangensbundtet, som er isotrope med hensyn til den konforme struktur). Misha Verbitsky gav en meget enklere beskrivelse af Lebruns KR-twistors. Nemlig, hvis vi fikserer en Riemann-metrik , der definerer en konform struktur på en tredimensionel manifold , så kan Lebruns RC-twistorer identificeres med det samlede rum ved et bundt af tangentvektorer af enhedslængde. Tangentbundtet til nedbrydes af Levi-Civita-forbindelsen til en ortogonal direkte sum , hvor er tangentrummet til enhedssfæren i , og er isomorft projiceret på . Kontaktplanet i et punkt (hvor er enhedsvektoren) er defineret som det lineære spænd og det vinkelrette underrum , og 90° rotationsoperatoren er defineret som den komplekse standardstruktur på Riemann-sfæren vertikalt og som vektormultiplikation med horisontalt (det er inden for ; husk på, at i dimension tre er specificering af en euklidisk struktur det samme som at specificere et krydsprodukt). [6] $x$ $UTX$ $UTX$ $T(UTX)=Ver\oplus Hor$ $Ver_{v,x}=T_{v}(UT_{x})$ $T_{x}X$ $Hor_{v,x}$ $T_{x}X$ $(v,x)$ $v\in T_{x}$ $Ver_{v,x}$ $v^{\perp}\subset T_{x}\cong Hor_{v,x}$ $v$ $v^{\perp }$

Heraf kan man f.eks. udlede en eksplicit beskrivelse af Lebrun-vridningerne for en rund kugle . Vi indser det nemlig som en ækvatorial sfære i . Enheden tangerer vektoren til i punktet kan opfattes som et par vinkelrette enhedsvektorer , hvor er enheden normal til ved punktet . De definerer en ortogonal kompleks struktur på rummet , defineret af betingelsen . Omvendt definerer enhver ortogonal kompleks struktur på enhedstangensvektoren k som billedet af enhedens normal under en 90° rotation. Bundtet over , hængende over hvert punkt af den runde kugle et sæt ortogonale komplekse strukturer på tangentrummet til det, disse er klassiske twistorer , twistorrummet i dette tilfælde er biholomorft , og projektionen på er quaternion Hopf bundtet . Følgelig er Lebrun-vridningerne af den cirkulære sfære det omvendte billede af den ækvatoriale under Hopf-fibreringen, og dermed den virkelige hyperoverflade i , grænsen for et rørformet kvarter af det normale bundt til den projektive linje . $S^{3}$ ${\displaystyle S^{4))$ $e\in T_{x}S^{3}$ $S^{3}$ $x\in S^{3}$ ${\displaystyle \{e,n\}\in T_{x}S^{4))$ ${\displaystyle n_{x))$ $S^{3}\subset S^{4}$ $x$ ${\displaystyle T_{x}S^{4))$ $I(n)=e$ ${\displaystyle T_{x}S^{4))$ $S^{3}$ ${\displaystyle S^{4))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{3))$ ${\displaystyle S^{4))$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{3}=\mathbf {P} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{4})\cong \mathbf {P} _ {\mathbb {C} }(\mathbb {H} ^{2})\mapsto \mathbf {P} _{\mathbb {H} }(\mathbb {H} ^{2})=\mathbb {H} \mathbf {P} ^{1}\cong S^{4}$ $S^{3}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{3))$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathbf {P} ^{1}\subset \mathbb {C} \mathbf {P} ^{3))$

Verbitskys definition er god, idet den overføres til et andet vigtigt tilfælde, når der er et felt af vektorprodukter på en Riemannmanifold - nemlig en -manifold ; derudover giver det mulighed for at definere en Gaussisk kortlægning i den abstrakte situation af en overflade, der ligger i en tredimensionel manifold (associerer et punkt på overfladen med en normalenhed i den). Imidlertid er hverken integrerbarheden af denne twistorstruktur eller endog dens konforme invarians indlysende ud fra denne definition. Det sidste kan dog bevises ved en elegant beregning; det indebærer især, at et gaussisk kort af en overflade i Lebrun-snoninger er holomorfisk, hvis og kun hvis denne overflade er fuldstændig navleformet . Især følger det af den konforme invarians af RC-strukturen på Lebrun twistorer, at konforme transformationer transformerer fuldstændigt navleoverflader til fuldstændigt navleoverflader. Da kun sfærer og planer er sådanne, indebærer dette den klassiske Liouville-sætning om konforme kortlægninger . Betingelsen for, at det Gaussiske kort er holomorf for navleoverflader kan tages som definitionen af RC-strukturen på Lebrun-snoninger. Til sammenligning, hvis vi krævede, at det gaussiske kort skulle være holomorft for minimale overflader , ville vi ende med Eales-Salamon- snoninger, som adskiller sig fra Lebrun-snoninger ved, at de tager 90°-drejningen i vandret retning med det modsatte fortegn. Da selv lokale navlestrengsoverflader er sjældne i en generel Riemannmanifold, mens minimale overflader er rigelige, er der mange holomorfe kurver på Eales-Salamon twistorerne; samtidig er den næsten KP-struktur på dem aldrig integrerbar, hvilket betyder, at der ikke er nogen ens lokale holomorfe funktioner, som tværtimod er rigelige på Lebrun twistors på grund af deres lokale KP-holomorfe indlejring i . [7] ${\displaystyle \mathrm {G} _{2))$ $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {C} ^{3}$

Lemperts twistors blev brugt af Lempert til at bevise den formelle integrerbarhed af en kompleks struktur på knuderummet i en 3-manifold med en konform struktur. [otte]

Ortogonale komplekse strukturer på $S^{6}$

Dimensioner to og seks er de eneste, hvor eksistensen af en næsten kompleks struktur på sfæren ikke er forbudt af topologiske overvejelser. I dimension to er dette blot en kompleks struktur på en rationel kurve; i dimension seks er der en næsten kompleks struktur opnået fra vektormultiplikation med enheden normal til en cirkulær kugle (den komplekse struktur på er dog beskrevet på samme måde ). Spørgsmålet om eksistensen af en integrerbar kompleks struktur - altså lokalt biholomorf til bolden i - er dog meget vagt. I artiklen Orthogonal Complex Structures fra 1987 viste Lebrun, at en sådan struktur ikke kan være ortogonal i standard runde metriske på . Han betragtede en kortlægning, der forbinder en kompleks struktur på ethvert punkt med sit eget underrum med en egenværdi , betragtet som et tredimensionelt underrum i kompleksificeringen af det omgivende rum . Hvis en næsten kompleks struktur var integrerbar, ville dette kort være en holomorf indlejring i Grassmannian . Dette ville give en Kählerian form på grund af det faktum, at Grassmannian kan realiseres i et projektivt rum; men , hvilket fører til en modsigelse. ${\displaystyle S^{6}\subset \mathbb {R} ^{7))$ ${\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3))$ $\mathbb {C} ^{3}$ $S^{6}$ $S^{6}$ $-{\sqrt {-1))$ $\mathbb {C} ^{7}$ $\mathbb{R} ^{7}$ $S^{6}$ $\mathrm {gr} (3,7)$ $S^{6}$ $H^{2}(S^{6})=0$