Erdős-Borwein konstant

Erdős-Borwein-konstanten er en matematisk konstant lig med summen af de reciproke værdier af Mersenne-tallene . Det er opkaldt efter Pal Erdős og Peter Borwein , som etablerede dets nøgleejendomme .

Per definition er konstanten:

E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1))

hvilket er ca. 1.606 695 152 415 291 763 783 301 523 190 924 580 480 579 671 505 756 435 778 079 553 691 068 1 079 553 691 0 6 4 6 4 5 6 4 6 4 6 4 6 7

Tilsvarende former

Det kan vises, at følgende summer giver samme konstant:

E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n^{2)))){\frac {2^{n}+1}{2 ^{n}-1}}

{\displaystyle E=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{mn))))

E=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}(2^{n}-1)))

{\displaystyle E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{0}(n)}{2^{n))))

hvor er den multiplikative funktion af divisorer lig med antallet af positive divisorer af tallet . For at bevise ækvivalensen af disse formler bruges det faktum, at de alle repræsenterer Lambert-serien [2] . $\sigma _{0}(n)=d(n)$ $n$

Irrationalitet

Erdős i 1948 viste, at konstanten er et irrationelt tal [3] . Borwein fremlagde senere et alternativt bevis [4] .

Selvom den er irrationel, beregnes den binære repræsentation af en konstant effektivt: Knuth bemærkede i 1998- udgaven af The Art of Programming , at beregningen kan udføres ved hjælp af Clausen-serien, som konvergerer meget hurtigt [5] .

Ansøgninger

Erdős-Borwein konstanten opstår, når man analyserer adfærden af heapsort- algoritmen [6]

Litteratur

Weisstein, Eric W. Erdos-Borwein Constant (engelsk) på Wolfram MathWorld -webstedet .

Irrationelle tal
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaum konstanter Sofomorisk drøm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritme af to (ln 2) 12. rod af 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroden af 2 ( √ 2 ) Kvadratroden af 3 ( √ 3 ) Kvadratroden af 5 ( √5 ) Gyldne forhold (φ) Super gyldne snit (ψ) Sølvsektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci konstant (ψ)
transcendental Trigonometrisk

Erdős-Borwein konstant

Tilsvarende former

Irrationalitet

Ansøgninger

Links

Litteratur