Hjul (algebra)

Hjul (fra engelsk Wheel theory - "theory of wheels", nogle gange "rulle" [1] ) er en type algebra , hvor divisionsoperationen altid er defineret. Især division med nul giver mening i dem. De reelle tal kan udvides til et hjul, ligesom enhver kommutativ ring .

Riemann-kuglen kan også udvides til et hjul ved at tilføje elementet hvor . Riemann-sfæren er en forlængelse af det komplekse plan med elementet , hvor for ethvert kompleks . Den er dog ikke defineret i Riemann-sfæren, men er defineret i dens forlængelse til hjulet. $\bot$ $0/0=\bot$ $\infty$ $z/0=\infty$ $z\neq 0$ $0/0$

Udtrykket hjul er inspireret af et topologisk piktogram , der repræsenterer en projektiv linje sammen med en ekstra prik . [2] $\odot$ $\bot =0/0$

Definition

Et hjul er en algebraisk struktur (hvor operationen / er unær ), der opfylder: $(W,0,1,+,\cdot ,/)$

Addition og multiplikation er både kommutative og associative , og begge er deres neutrale elementer . $0$ $en$
$//x=x$
$/(xy)=/x/y$
$xz+yz=(x+y)z+0z$
$(x+yz)/y=x/y+z+0y$
$0\cdot 0=0$
$(x+0y)z=xz+0y$
$/(x+0y)=/x+0y$
$0/0+x=0/0$

Algebra af hjul

Hjul erstatter den traditionelle division ( en binær operator , invers til multiplikation) med en unær operator , anvendt på et enkelt argument: " ". Dette svarer til , men ikke identisk med, definitionen af det gensidige . I hjul bliver en stenografi for og ændrer algebrareglerne , så $/x$ $x^{{-1}}$ $a/b$ $a\cdot /b=/b\cdot a$

$0x\neq 0$ generelt
$xx\neq 0$ generelt
$x/x\neq 1$ i det generelle tilfælde, da det ikke falder sammen med den multiplikativt omvendte af . $/x$ $x$

Hvis der er et element sådan , bliver det muligt at definere negation ( modsat tal ) og subtraktion . $-en$ $1+a=0$ $-x=ax$ $xy=x+(-y)$

Nogle konsekvenser:

$0x+0y=0xy$
${\displaystyle xx=0x^{2))$
$x/x=1+0x/x$

Så for og vi får det sædvanlige $x$ $0x=0$ $0/x=0$

$xx=0$
$x/x=1$

Hvis negation er defineret som foreslået ovenfor, så er en delmængde af et hjul en kommutativ ring , og desuden er enhver kommutativ ring en sådan delmængde af et hjul. Hvis er et inverterbart element i en kommutativ ring, så . Således, hvis det giver mening (som en normal invers ) , er det lig med , men operationen er altid defineret, selv for . $\{x\mid 0x=0\}$ $x$ $x^{-1}=/x$ $x^{{-1}}$ $/x$ $/x$ $x=0$

Noter

↑ S. L. BLUMIN. UDVIKLING AF KONCEPTET OM "NUMMER". NOGLE MODERNE KONCEPTER Arkivkopi dateret 31. marts 2020 på Wayback Machine , Lipetsk: 2005 — s. 13-17 ""UDVIKLING AF ANTALBEGREPET" FØR NULOPDELING OG DISTRIBUTIONSPROBLEMER: International Electronic Technologies in Education Videnskabelig konf. Samling af videnskabelige værker - Voronezh: VSPU, 2001. - S.52-54.) (Russisk)
↑ Carlström, 2004 .

Hjul (algebra)

Definition

Algebra af hjul

Noter

Links