Gruppe isomorfisme

Gruppeisomorfi er en en-til-en-korrespondance mellem elementer i to grupper , der bevarer gruppeoperationer. Hvis der er en isomorfi mellem to grupper, siges grupperne at være isomorfe . Fra gruppeteoriens synspunkt har isomorfe grupper de samme egenskaber, og de kan ikke skelnes.

Definition

Hvis to grupper ( G , ∗ ) og ( H , ) er givet. En isomorfi af grupper fra ( G , ∗ ) til ( H , ) er en bijektiv homomorfi af grupper fra G til H . $\cirk$ $\cirk$

Med andre ord er en gruppeisomorfi en bijektion sådan, at for enhver u og v fra G , $f:G\højrepil H$

f(u*v)=f(u)\circ f(v)

Noter

To grupper ( G , ∗ ) og ( H , ) er isomorfe , hvis der er en isomorfi fra den ene til den anden. Dette er skrevet som følger: $\cirk$ $(G,*)\cong (H,\circ )$

En kortere og enklere notation bruges ofte. Hvis gruppeoperationer ikke fører til uklarhed, udelades de:

G\cong H

(Nogle gange skriver de endda bare G = H. Hvorvidt en sådan notation fører til forvirring og tvetydighed afhænger af konteksten. For eksempel er det ikke særlig passende at bruge lighedstegnet, når to grupper er undergrupper af samme gruppe.)

Hvis H = G og = ∗, er bijektionen en automorfi . $\cirk$

En gruppe isomorfisme kan defineres som en tosidet inverterbar morfisme i kategorien grupper .

Eksempler

Gruppen af alle reelle tal ved addition, , er isomorf til gruppen af alle positive reelle tal ved multiplikation : $(\mathbb {R} ,+)$ $(\mathbb {R} ^{+},\cdot )$

(\mathbb {R} ,+)\cong (\mathbb {R} ^{+},\cdot )

gennem isomorfi

f(x)=e^{x}

(se udstiller ).

Heltalsgruppen (ved addition) er en undergruppe , og faktorgruppen er isomorf til gruppen af komplekse tal med absolut værdi 1 (ved multiplikation): $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ ${\mathbb {R}}/{\mathbb {Z}}$ $S^{1}$

(\mathbb {R} /\mathbb {Z} ,+)\cong (S^{1},\cdot )

Isomorfien er givet ved udtrykket

f(x+{\mathbb {Z}})=e^{{2\pi xi}}

for enhver x fra .

\mathbb {R}

Klein-firegruppegruppen er isomorf til det direkte produkt af to kopier (se modulo-sammenligning ), og kan derfor skrives som . Den anden notation er Dih 2 , fordi det er en dihedral gruppe . ${\mathbb {Z}}_{2}={\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$ ${\mathbb {Z}}_{2}\ gange {\mathbb {Z}}_{2}$

Ved at generalisere, for alle ulige n , er gruppen Dih2n isomorf til det direkte produkt af Dih n og Z2 .

For nogle grupper er det muligt at bevise en isomorfi ud fra valgaksiomet , men et sådant bevis viser ikke, hvordan man konstruerer en bestemt isomorfi. Eksempler:

Gruppen ( , +) er isomorf til gruppen ( , +) af alle komplekse tal ved addition. [en] $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
Gruppen af ikke-nul komplekse tal er ved multiplikation isomorf til gruppen S 1 nævnt ovenfor. $(\mathbb {C} ^{*},\cdot )$

Cykliske grupper

Hvis ( G , ∗ ) er en uendelig cyklisk gruppe , så er ( G , ∗ ) isomorf til hele tal (ved addition). Fra et algebraisk synspunkt betyder det, at mængden af alle heltal (ved addition) er den eneste uendelige cykliske gruppe.

Alle endelige cykliske grupper af en given orden er isomorfe . $(\mathbb {Z} _{n},+)$

Lad G være en cyklisk gruppe og n være rækkefølgen af gruppen G . G er gruppen genereret af elementet . Det vil vi vise $\langle x\rangle =\{e,x,...,x^{n-1}\}$

G\cong (\mathbb {Z} _{n},+)

Lad os definere

\varphi :G\rightarrow {\mathbb {Z}}_{n}=\{0,1,...,n-1\}

, så . Det er tydeligt, at det er bijektivt.

\varphi (x^{a})=a

\varphi

På denne måde

\varphi (x^{a}\cdot x^{b})=\varphi (x^{a+b})=a+b=\varphi (x^{a})+\varphi (x ^{b})

, hvilket beviser det .

G\cong (\mathbb {Z} _{n},+)

Egenskaber

Kernen i en isomorfi fra ( G , ∗ ) til ( H , ) er altid {e G }, hvor e G er et neutralt element i gruppen ( G , ∗) $\cirk$

Hvis ( G , ∗ ) er isomorf til ( H , ) og hvis G er Abelsk , så er H også Abelsk. $\cirk$

Hvis f er en isomorfi mellem ( G , *) og ( H , ), så hvis a hører til G og har orden n , så har f(a) samme orden . $\cirk$

Hvis ( G , ∗ ) er en lokalt endelig gruppe isomorf til ( H , ), så er ( H , ) også lokalt endelig. $\cirk$ $\cirk$

Konsekvenser

Det følger af definitionen, at enhver isomorfi kortlægger et neutralt grundstof G til et neutralt grundstof H , $f:G\højrepil H$

f(e_{G})=e_{H}

hvoraf det følger, at invers er afbildet til inverse,

f(u^{{-1}})=\venstre[f(u)\højre]^{{-1}}

og n'te potens til n'te potens,

f(u^{n})=\venstre[f(u)\højre]^{n}

for alle u fra G , og også at det omvendte kort også er en isomorfi. $f^{{-1}}:H\højrepil G$

Relationen "isomorf" opfylder alle ækvivalensrelationens aksiomer . Hvis f er en isomorfi af to grupper G og H , så kan alle udsagn, der er sande for G og relateret til gruppens struktur, overføres af f til de samme udsagn i H og omvendt.

Automorfismer

En isomorfi fra en gruppe ( G , ∗ ) ind i sig selv kaldes en automorfi af denne gruppe. Da isomofisme er bijektiv, $f:G\højrepil G$

f(u)*f(v)=f(u*v)

En automorfi kortlægger altid et neutralt element til sig selv. Billedet af en konjugationsklasse er altid en konjugationsklasse (samme eller forskellig). Billedet af et element har samme rækkefølge som selve elementet.

Sammensætningen af to automorfismer er igen en automorfi, og denne operation med mængden af alle automorfier af G , betegnet med Aut( G ), danner en gruppe, automorfigruppen af G .

For alle abelske grupper er der i det mindste en automorfi, der tager gruppens elementer til deres invers. Men i grupper, hvor alle elementer er lig med deres inverse, er denne automorfi triviel, for eksempel i Klein-firegruppegruppen (for denne gruppe er alle permutationer af de tre ikke-neutrale elementer i gruppen automorfier, så isomorfigruppen er isomorf for S 3 og Dih 3 ) .

I Z p for et primtal p kan et ikke-neutralt element erstattes af et andet, med tilsvarende ændringer i andre elementer. Automorfigruppen er isomorf til Z p − 1 . For eksempel, for n = 7, er multiplikation af alle elementer i Z 7 med 3 (mod 7) en automorfi af orden 6 i automorfigruppen, fordi 3 6 ≡ 1 (mod 7) og mindre potenser af 1 ikke gør det. Denne automorfi genererer således Z6 . Der er endnu en automorfi med denne egenskab - multiplikation af alle elementer i Z 7 med 5 (modulo 7). Disse to automorfier svarer således til elementerne 1 og 5 i Z6 , i den rækkefølge eller omvendt.

Automorfigruppen Z6 er isomorf i forhold til Z2 , da kun disse to elementer 1 og 5 genererer Z6 .

Automorfigruppen Z 2 × Z 2 × Z 2 = Dih 2 × Z 2 har orden 168, som kan vises som følger. Alle 7 ikke-neutrale elementer spiller den samme rolle, så vi kan vælge, hvem der spiller rollen (1,0,0). Enhver af de resterende seks kan vælges til rollen (0,1,0). Disse to definerer, hvad der svarer til (1,1,0). (0,0,1) kan vi vælge mellem fire, og dette valg bestemmer de resterende elementer. Således får vi 7 × 6 × 4 = 168 automorfier. De svarer til automorfismer af Fano-planet , hvis 7 punkter svarer til 7 ikke-neutrale elementer. Linjerne, der forbinder de tre punkter, svarer til gruppeoperationen: a , b , og c på linjen betyder a + b = c , a + c = b , og b + c = a . Se også Komplet lineær gruppe over et begrænset felt .

For abelske grupper kaldes alle automorfier undtagen den trivielle ydre automorfier .

Ikke-abelske grupper har ikke-trivielle indre automorfier og muligvis ydre automorfier.

Noter

↑ Ask. A Consequence of the Axiom of Choice // Journal of the Australian Mathematical Society. - 1973. - T. 19 . - S. 306-308 .

Links

Herstein, IN Emner i algebra. - 2 oplag. - Wiley, 1975. - ISBN 0-471-01090-1 ..