Bøjning (mekanik)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. februar 2019; checks kræver 7 redigeringer .

Bøjning - i materialers modstand , en form for deformation , hvor der er en krumning af akserne på lige stænger eller en ændring i krumningen af akserne af buede stænger, en ændring i krumningen / krumningen af den midterste overflade af tallerkenen eller skallen. Bøjning er forbundet med forekomsten af bøjningsmomenter i tværsnittene af bjælken eller skallen. Direkte bjælkebøjning opstår, når bøjningsmomentet i et givet tværsnit af bjælken virker i et plan, der går gennem en af hovedinertiakserne i denne sektion. I det tilfælde, hvor bøjningsmomentets virkningsplan i et givet tværsnit af bjælken ikke passerer gennem nogen af hovedinertiakserne i denne sektion, kaldes bøjningen skrå .

Hvis der ved en lige eller skrå bøjning kun virker et bøjningsmoment i bjælkens tværsnit, så er der henholdsvis en ren lige eller ren skrå bøjning . Hvis der også virker en tværkraft i tværsnittet, så er der en tværgående lige eller tværgående skrå bøjning .

Ofte bruges udtrykket "lige" ikke i navnet på en direkte ren og direkte tværbøjning og de kaldes henholdsvis en ren bøjning og en tværgående bøjning.

Den klassiske teori om bjælkebøjning ( Euler - Bernoulli teori )

Denne teori er grundlaget for analytiske beregninger af bjælker og rammer.

Hovedhypoteser

Plansektionshypotese (Bernoullis hypotese): Bjælkesektioner, der er plane og vinkelrette på aksen før deformation, forbliver plane og vinkelrette på bjælkens bøjede akse efter deformation. Der tages således ikke højde for lagenes forskydningsdeformation i forhold til hinanden. Den eneste spænding, der tages i betragtning i denne teori, er den aksiale spænding ; $\sigma _{z}$

Forskydninger og deformationer antages at være små. Bjælken antages at være uudvidelig;

Dimensionerne af bjælkeafsnittet antages at være små sammenlignet med bjælkeaksens krumningsradius;

Materialet anses for at være lineært elastisk ifølge Hookes lov .

Udledning af ligninger, der relaterer kraftfaktorer til spændinger og tøjninger

Geometriske forhold

Det følger af hovedhypoteserne, at deformationen er fordelt langs sektionens højde efter en lineær lov. Ifølge Hookes lov , $\varepsilon_{z}$

\sigma _{z}=E\varepsilon _{z}

det vil sige, at spændingerne også er fordelt lineært.

I sektionen af bjælken (i det plane tilfælde) opstår et bøjningsmoment , en tværgående kraft og en langsgående kraft . En ekstern fordelt belastning virker på sektionen . $M_{x}$ $Q_{y}$ $N$ $q$

Overvej to tilstødende sektioner placeret i en afstand fra hinanden. I den deformerede tilstand drejes de i en vinkel i forhold til hinanden. Da de øverste lag strækkes og de nederste er komprimeret, er det tydeligt, at der er et neutralt lag , der forbliver ustrakt. Det er fremhævet med rødt i figuren. Ændringen i krumningsradius for det neutrale lag er skrevet som følger: $dz$ $d\theta$

{\frac {1}{\rho }}={\frac {d\theta }{dz}}

Tilvæksten i længden af segmentet AB, placeret i en afstand fra den neutrale akse, udtrykkes som følger: $y$

\Delta l=(y+\rho )d\theta -\rho d\theta =yd\theta

Således deformationen:

\varepsilon _{z}={\frac {\Delta l}{l))={\frac {yd\theta }{\rho d\theta }}={\frac {y}{\rho }}

Effektforhold

Spænding (ifølge Hookes lov ):

\sigma _{z}=E\varepsilon _{z}=E{\frac {y}{\rho }}

Lad os relatere spændingen til de kraftfaktorer, der opstår i afsnittet. Aksialkraft udtrykkes som følger:

N=\int \limits _{A}^{{\color {Hvid}.}}{\sigma _{z}}\,dA=\int \limits _{A}^{{\color {Hvid}. }}{E{\frac {y}{\rho }}}\,dA={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^({\color {Hvid}}.} } y\,dA

Integralet i det sidste udtryk er det statiske moment i afsnittet om aksen . Det er sædvanligt at tage sektionens midterakse som akse, således at $x$ $x$

S_{x}=\int \limits _{A}^{{\color {Hvid}.}}y\,dA=0

Således ,. Bøjningsmomentet udtrykkes som følger: $N=0$

M_{x}=\int \limits _{A}^({\color {Hvid}.}}{\sigma _{z}y}\,dA={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^{{\color {Hvid}.}}{y^{2}}\,dA={\frac {E}{\rho }}J_{x}

hvor er inertimomentet for afsnittet om aksen . $J_{x}=\int \limits _{A}^{{\color {Hvid}.}}{y^{2}}\,dA$ $x$

Spændingerne i sektionen kan også reduceres til øjeblikket . For at forhindre dette i at ske, skal følgende betingelse være opfyldt: $Min}$

M_{y}={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^({\color {Hvid}}.}}{yx}\,dA={\frac {E}{ \rho }}J_{{xy}}=0

det vil sige, at centrifugalinertimomentet skal være nul, og aksen skal være en af sektionens hovedakser. $y$

Således er krumningen af bjælkens bøjede akse relateret til bøjningsmomentet ved udtrykket:

{\frac {1}{\rho }}={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}

Fordelingen af spændinger langs sektionens højde er udtrykt ved formlen:

\sigma ={\frac {M_{x}}{J_{x}}}y

Den maksimale spænding i afsnittet er udtrykt ved formlen:

\sigma _{{max}}={\frac {M_{x}}{J_{x}}}{\frac {h}{2}}={\frac {M_{x}}{W_{x} }}

hvor er sektionens modstandsmoment mod bøjning, er højden af bjælkeafsnittet. $W_{x}={\frac {J_{x}}{{\frac {h}{2}}}}$ $h$

Værdierne og for simple sektioner (runde, rektangulære) beregnes analytisk. For et cirkulært snit med en diameter på : $J_{x}$ $W_{x}$ $d$

$J_{x}={\frac {\pi d^{4}}{64}}$

$W_{x}={\frac {\pi d^{3}}{32}}$

Til en rektangulær sektion højde og bredde $h$ $b$

$J_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}$

$W_{x}={\frac {bh^{2}}{6}}$

For mere komplekse sektioner (for eksempel kanal , I-bjælke ), med standardiserede dimensioner, er disse værdier angivet i referencelitteraturen.

Bøjningsmomentet i et snit kan opnås ved snitmetoden (hvis bjælken er statisk bestemt) eller ved kraft/forskydningsmetoder.

Differentialligevægtsligninger. Definition af forskydninger

De vigtigste forskydninger, der opstår under bøjning, er afbøjninger i aksens retning . Det er nødvendigt at forbinde dem med bøjningsmomentet i sektionen. Lad os nedskrive det nøjagtige forhold, der forbinder afbøjningerne og krumningen af den buede akse: $v$ $y$

{\frac {1}{\rho }}={\frac {v''}{(1+v'^{2})^{{{\frac {3}{2}}}}}}

Da udbøjninger og rotationsvinkler antages at være små, vil værdien

v'^{2}=\venstre({\mathrm {tg}}\,(\theta )\right)^{2}\ca. \theta ^{2}

Er lille. Følgelig,

{\frac {1}{\rho }}\approx v''

Midler,

v''={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}

Lad os skrive ligevægtsligningen for sektionen i aksens retning : $y$

Q_{y}+qdz-Q_{y}-dQ_{y}=0\Rrightarrow {\frac {dQ}{dz}}=q

Vi skriver ligningen for ligevægten af momenter om aksen : $x$

M_{x}+Q\,dz+q\,dz{\frac {\,dz}{2}}-M_{x}-\,dM_{x}=0

Mængden har 2. størrelsesorden og kan kasseres. Følgelig, $q\,dz{\frac {\,dz}{2))$

{\frac {\,dM_{x}}{\,dz}}=Q_{y}

Der er således 3 differentialligninger. Til dem tilføjes ligningen for forskydninger:

{\frac {\,dv}{\,dz))={\mathrm {tg))\,\theta \ca. \theta

I vektor-matrix form er systemet skrevet som følger:

{\frac {\,d\overrightarrow {Z}}{\,dz}}+A\overrightarrow {Z}=\overrightarrow {b}

hvor

A={\begin{Bmatrix}0&0&0&0\\-1&0&0&0\\0&-\displaystyle {\frac {1}{EJ_{x}(z)))&0&0\\0&0&-1&0\end{Bmatrix))

Systemtilstandsvektor:

\overrightarrow {Z}=(Q,M,\theta ,v)^{T}

Ekstern belastningsvektor:

\overrightarrow {b}=(q,0,0,0)^{T}

Denne differentialligning kan bruges til at beregne multi-støttebjælker med et sektionsinertimoment variabel langs længden og belastninger fordelt på en kompleks måde. Forenklede metoder bruges til at beregne simple bjælker. I materialers modstand ved beregning af statisk bestemte bjælker findes bøjningsmomentet ved snitmetoden. Ligningen

v''={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}

integreret to gange:

v'=\theta (z)=\int {\frac {M_{x}(z)}{EJ_{x}}}\,dz+C_{1}

v(z)=\int \left(\int {\frac {M_{x}(z)}{EJ_{x}}}\,dz\right)\,dz+C_{1}z+C_{2 }

Konstanterne findes ud fra de randbetingelser, der pålægges strålen. Så for cantilever-bjælken vist i figuren: $C_{1}$ $C_{2}$

M_{x}(z)=-P(Lz)

\theta (z)=-PL{\frac {z}{EJ_{x}}}+P{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+C_{1}

v(z)=-PL{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+P{\frac {z^{3}}{6EJ_{x}}}+C_{1}z+ C_ {2}

Grænseforhold:

\theta (0)=0\Rrightarrow C_{1}=0

v(0)=0\Rrightarrow C_{2}=0

På denne måde

\theta (z)=-PL{\frac {z}{EJ_{x}}}+P{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}

v(z)=-PL{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+P{\frac {z^{3}}{6EJ_{x}}}

Timoshenkos teori om bjælkebøjning

Denne teori er baseret på de samme hypoteser som den klassiske, men Bernoulli-hypotesen er modificeret: det antages, at de sektioner, der var flade og vinkelrette på bjælkeaksen før deformation, forbliver flade, men ophører med at være vinkelrette på den buede akse. Denne teori tager således højde for forskydningsspændinger og forskydningsspændinger. Regnskab for forskydningsspændinger er meget vigtigt for beregningen af kompositter og trædele, da deres ødelæggelse kan ske på grund af ødelæggelsen af bindemidlet under forskydning.

Vigtigste afhængigheder:

M=EJ{\frac {\,d\theta }{\,dz))

Q={\frac {GF}{\alpha }}\left(\theta -{\frac {\,dv}{\,dz}}\right)

hvor er bjælkematerialets forskydningsmodul , er tværsnitsarealet, er en koefficient, der tager højde for den ujævne fordeling af forskydningsspændinger over sektionen og afhænger af dens form. Værdi $G$ $F$ $\alfa$

\gamma =\theta -{\frac {\,dv}{\,dz))

er forskydningsvinklen.

Bøjning af bjælker på et elastisk fundament

Dette designskema simulerer jernbaneskinner såvel som skibe (i den første tilnærmelse).

Den elastiske base betragtes som et sæt fjedre, der ikke er forbundet med hinanden.

Den enkleste beregningsmetode er baseret på Winkler- hypotesen : reaktionen af et elastisk fundament er proportional med afbøjningen i et punkt og er rettet mod det:

$p=-k\cdot v$

hvor er afbøjningen; $v$

$s$ - reaktion (pr. længdeenhed af strålen);

$k$ - proportionalitetskoefficient (kaldet sengekoefficient ).

I dette tilfælde betragtes basen som tosidet, det vil sige, at reaktionen sker både, når strålen presses ind i basen, og når den er adskilt fra basen. Bernoullis formodning holder.

Differentialligningen for bøjning af en bjælke på et elastisk fundament har formen:

${\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\left(EJ_{x}(z){\frac {d^{2}v}{dz^{2}}} \right)+k(z)\cdot v=q(z)$

hvor er afbøjningen; $v(z)$

$EJ_{x}(z)$ - bøjningsstivhed ( som kan varieres i længden);

$k(z)$ - sengekoefficient variabel langs længden;

$q(z)$ - fordelt belastning på bjælken.

Med konstant stivhed og strøelseskoefficient kan ligningen skrives som:

$EJ_{x}{\frac {d^{4}v}{dz^{4}}}+k\cdot v=q(z)$

eller

${\frac {d^{4}v}{dz^{4}}}+4m^{4}\cdot v=q(z)$

hvor det er angivet

${\displaystyle 4m^{4}={\frac {k}{EJ_{x))))$

Bøjning af en stråle med stor krumning

For bjælker, hvis krumningsradius for aksen svarer til højden af sektionen , dvs. $\rho _{0}$ $h$

${\frac {h}{\rho _{0}}}>0.2$

fordelingen af spændinger langs højden afviger fra lineær, og den neutrale linje falder ikke sammen med sektionens akse (som går gennem sektionens tyngdepunkt ). Et sådant regneskema bruges for eksempel til at beregne kædeled og krankroge .

Formlen for stressfordeling er:

$\sigma ={\frac {M}{F\cdot e}}\cdot {\frac {y}{R+y}}$

hvor er bøjningsmomentet i sektionen; $M$

$R$ er radius af den neutrale snitlinje;

$F$ - Tværsnitsareal;

$e=R_{0}-R$ - excentricitet ;

$y$ - koordinere langs sektionens højde , regnet fra neutrallinjen.

Radius af den neutrale linje bestemmes af formlen:

$R=\int {\frac {\,dF}{u}}=\int \limits _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {b(u)\,du} {u}}$

Integralet tages over tværsnitsarealet, koordinaten måles fra krumningscentrum. Tilnærmede formler er også gyldige: $u$

$e={\frac {J_{x}}{R_{0}\cdot F}}$

$r_{0}=R_{0}-{\frac {J_{x}}{R_{0}\cdot F}}$

Analytiske formler er tilgængelige for almindeligt anvendte tværsnit. For en rektangulær sektion med en højde : $h$

$R={\frac {h}{\ln \displaystyle {\frac {R_{0}+{\frac {h}{2))}{R_{0}-{\frac {h}{2 )))))))={\frac {h}{\ln \displaystyle {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}}$

hvor er krumningsradierne af henholdsvis bjælkens indre og ydre overflader. $R_{1},R_{2}$

For rund sektion:

$R={\frac {R_{0}+{\sqrt {R_{0}^{2}-r^{2)))){2))$

hvor er sektionsradius. $r$

Kontrol af styrken af en stråle

I de fleste tilfælde bestemmes bjælkens styrke af de maksimalt tilladte spændinger:

{\displaystyle \sigma _{max}<{\frac {\sigma _{T}}{n_{T))))

hvor er bjælkematerialets flydespænding , er flydesikkerhedsfaktoren. Til sprøde materialer: $\sigma _{T}$ $n_{T}$

{\displaystyle \sigma _{max}<{\frac {\sigma _{b}}{n_{b))))

hvor er trækstyrken af bjælkematerialet, er sikkerhedsfaktoren . $\sigma _{b}$ $n_{b}$

I tilfælde af plastmaterialer kan disse formler betydeligt undervurdere værdien af den belastning, ved hvilken bjælken mister sin bæreevne. Faktisk går bæreevnen kun tabt, hvis hele materialet i nogen sektion går over i en plastisk tilstand. Så kan der forekomme uacceptable forskydninger i sektionen (det såkaldte plasthængsel dannes ). Hvis vi tager Prandtl -diagrammet som et spændings-kompressionsdiagram , så udtrykkes det begrænsende bøjningsmoment for en rektangulær stang med bredde og højde med formlen: $M_{{pr}}$ $b$ $h$

M_{{pr}}={\frac {1}{4}}bh^{2}\sigma _{T}

Dynamisk belastning af bjælker

Naturlige svingninger

Overvej en bjælke med materialetæthed , tværsnitsareal og bøjningsstivhed . Ligningen for naturlige svingninger har formen: $\rho$ $EN$ $EJ$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left(EJ{\frac {\partial ^{2}x}{\partial z^{2}}} \right)+m_{0}{\frac {\partial ^{2}x}{\partial t^{2))}=0$

hvor er den tværgående forskydning, er massen pr. længdeenhed af stangen. Løsningen søges i form: $x(z,t)$ $m_{0}=\rho A$

$x(z,t)=u(z)\cos(pt+\phi )$

Ved at substituere får vi den almindelige differentialligning :

${\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\left(EJ{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right)-m_{ 0}p^{2}u=0$

For en stråle med konstant snit konverteres den til formen:

${\frac {d^{4}u}{dz^{4}}}-\alpha ^{4}u=0$

hvor

$\alpha ^{4}={\frac {p^{2}m_{0}}{EJ}}$

Det er praktisk at præsentere løsningen ved hjælp af Krylov- funktionerne :

$u=\sum _{i=1}^{4}C_{i}K_{i}(\alpha z)$

hvor er Krylov-funktionerne:

$K_{1}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operatørnavn {ch} \alpha z+\cos \alpha z)$

$K_{2}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operatørnavn {sh} \alpha z+\sin \alpha z)$

$K_{3}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operatørnavn {ch} \alpha z-\cos \alpha z)$

$K_{4}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operatørnavn {sh} \alpha z-\sin \alpha z)$

a er permanente. $C_{i}$

Krylovs funktioner er forbundet med afhængigheder:

${\frac {d}{dz}}K_{1}(\alpha z)=\alpha K_{4}(\alpha z)$

${\frac {d}{dz}}K_{2}(\alpha z)=\alpha K_{1}(\alpha z)$

${\frac {d}{dz}}K_{3}(\alpha z)=\alpha K_{2}(\alpha z)$

${\frac {d}{dz}}K_{4}(\alpha z)=\alpha K_{3}(\alpha z)$

Disse afhængigheder forenkler i høj grad skrivningen af grænsebetingelserne for bjælker:

$C_{1}=u_{z=0};C_{2}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {du}{dz}}\right)_{z =0};C_{3}={\frac {1}{EJ\alpha ^{2}}}M_{z=0};C_{4}={\frac {1}{EJ\alpha ^{3 }}}Q_{z=0}$

To randbetingelser er specificeret i hver ende af bjælken.

Ligningen for naturlige vibrationer har uendeligt mange løsninger. Samtidig er det som regel kun de første par af dem, svarende til de laveste egenfrekvenser, der er af praktisk interesse.

Den generelle formel for naturlig frekvens er:

$p_{k}=\lambda _{k}^{2}{\sqrt {\frac {EJ}{m_{0}l^{4))))$

For bjælker med enkelt spændvidde:

Forankring		$\lambda_k$
Venstre ende	Højre ende	$\lambda_k$
afslutning	afslutning	$\lambda _{1}=4,73;$ $\lambda _{2}=7.853;$
Ledig	Ledig	$\lambda _{1}=0;$ $\lambda _{2}=0;$ for k>2 $\lambda _{k}={\frac {2k+1}{2}}\pi ;$
afslutning	Artikuleret	$\lambda _{1}=3.927;$ $\lambda _{2}=7.069;$ for k>2 $\lambda _{k}={\frac {4k+1}{4}}\pi ;$
Artikuleret	Artikuleret	$\lambda _{k}=k\pi$
afslutning	Ledig	$\lambda _{1}=1.875;$ $\lambda _{2}=4.694;$ for k>2 $\lambda _{k}={\frac {2k-1}{2}}\pi ;$

Tvungen vibrationer

Bøjning af skaller

Se også

Bøjningsforlængelse

Litteratur

Biderman VL Theory of Mechanical Oscillations: Lærebog for gymnasier. - M .: Højere. Skole, 1980. - 408 s.
Feodosiev V.I. Materialers modstand. - M .: forlag af MSTU im. N. E. Bauman, 1999