Gruppeopgave

At specificere en gruppe i gruppeteori er en af metoderne til at definere en gruppe ved at specificere et generatorsæt og et sæt af relationer mellem generatorer . I dette tilfælde siges gruppen at have en opgave . $S$ $R$ $G$ $\langle S\midt R\rangle$

Uformelt har den en sådan opgave, hvis den er "den mest frie " af alle grupper genereret og underlagt relationer mellem elementer fra . Mere formelt er gruppen isomorf i forhold til faktorgruppen i den frie gruppe, der genereres af den normale lukning af sættet af relationer . $G$ $S$ $S$ $R$ $G$ $S$ $R$

Hver gruppe har en opgave og desuden mange forskellige opgaver; opgave er ofte den mest kompakte måde at definere en gruppe på.

Gruppeopgaver studeres af en særlig gren af gruppeteori - kombinatorisk gruppeteori .

Det enkleste eksempel på at angive en gruppe er at angive en cyklisk rækkefølgegruppe : $n$

\langle a\mid a^{n}\rangle .

Det betyder, at ethvert element i gruppen kan skrives som en grad og er et neutralt element i gruppen. $-en$ ${\displaystyle a^{n))$

Relaterede definitioner

En endeligt givet gruppe (eller en endeligt defineret gruppe ) er en gruppe, der har et endeligt antal generatorer og er defineret i disse generatorer af et endeligt antal relationer .
En endeligt genereret gruppe er en gruppe, der har et begrænset antal generatorer . Hver endeligt givet gruppe er endeligt genereret.
Minimumskardinaliteten af sættet af generatorer kaldes gruppens rang . $S$
- $s$ En gruppes -rang er den største rang i dens undergruppe, som er en
-primær abelsk gruppe . $s$

Terminologi

Udtrykket " opgave " er ikke helt almindeligt. Nogle bøger bruger [1] [2] udtrykket " gruppe (genetisk) kode ". Du kan også møde begrebet " grupperepræsentation " i den forstand diskuteret her [3] [4] [5] , det kan betragtes som en oversættelse af engelsk. gruppepræsentation er dog tvetydig, da begrebet grupperepræsentation er meget brugt om de såkaldte lineære repræsentationer af grupper - sidstnævnte har intet med opgaven at gøre og er desuden i en vis forstand det modsatte af den.

Med det sidste in mente, omtales opgaven også nogle gange som en " præsentation ". Mere præcist kan den ovennævnte isomorfi af kvotientgruppen af en fri gruppe ind i den gruppe, der overvejes, kaldes en præsentation . Præfikset "ko-" angiver dualiteten af denne isomorfi med hensyn til repræsentationen af gruppen, "når homomorfien tværtimod er konstrueret ikke "til" G, men "fra" G til nogle [velundersøgte] gruppe af lineære operatorer, permutationer osv. » [6] . $G$

Egenskaber

Der er en sætning om, at en vilkårlig gruppe er en faktorgruppe af en passende fri gruppe i forhold til en normal undergruppe , således at enhver gruppe har en opgave. Opgaven behøver ikke at være den eneste. Det er svært at bevise eller modbevise, at to opgaver definerer samme gruppe (det gamle problemnavn er et af Dans problemer). Generelt er dette problem algoritmisk uafgørligt . Der er flere klasser af grupper, for hvilke der er konstrueret en algoritme til at løse dette problem. Tietze-transformationer af fire typer giver dig mulighed for at gå fra en opgave i gruppen til en anden: den første Tietze-transformation er tilføjelsen af en ny relation afledt af de gamle til sættet af relationer; den anden Tietze-transformation er indførelsen af en ny variabel udtrykt i form af de gamle; den tredje og fjerde Tietze-transformation er omvendt til henholdsvis den første og anden. I lyset af problemets algoritmiske uløselighed er det en slags kunst at finde en kæde af Tietze-transformationer fra en repræsentation til en anden.

Givet en gruppe er det også vanskeligt at bestemme andre egenskaber for gruppen, såsom dens rækkefølge eller torsionsundergruppe .

Eksempler

Følgende tabel viser måder at angive nogle almindeligt forekommende grupper på. I hvert tilfælde er der andre mulige opgaver.

Gruppe	Dyrke motion	Forklaringer
Gratis gruppe på S	$\langle S\mid \varnothing \rangle$	En fri gruppe er "fri" i den forstand, at den ikke er begrænset af nogen relation.
Z n er en cyklisk gruppe af orden n	$\langle a\mid a^{n}\rangle$
D n er den dihedriske gruppe af orden 2 n	$\langle r,s\midt r^{n}=1,s^{2}=1,s^{-1}rs=r^{-1}\rangle$ eller $\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle$	r står for rotation, s for symmetri
D ∞ er en uendelig dihedral gruppe	$\langle r,s\mid s^{2},(rs)^{2}\rangle$
Kvaternion gruppe Q 8	$\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1 \rangle$ eller $\langle x,y\midt x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle$
Generaliseret quaternion gruppe Q 4 n	$\langle x,y\midt x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1} \rangle .$
gratis abelian gruppe på S	$\langle S\mid R\rangle$	R er mængden af alle kommutatorer af elementerne S
Symmetrisk gruppe S n	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\ sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ \|ij\|>1\rangle$ eller $\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\ sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if))\ \|ij\| >1\range$	σ i er en transposition, der ombytter det i -te element med i + 1.
Flettegruppe B n	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i }=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i} \ {\text{if}}\ \|ij\|>1\rangle$	Den eneste forskel fra den symmetriske gruppe er forsvinden af relationerne . $\sigma _{i}^{2}=1$
Skiftende gruppe A n	$\langle s_{3},...,s_{n}\|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1(3 \leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle$	$s_{i}\to (12i)$
Rotationsgruppen af tetraederet , T ≅ A 4	$\langle s,t\midt s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$
Oktaederrotationsgruppe , O ≅ S 4 _	$\langle s,t\midt s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$
Icosahedron rotationsgruppe , I ≅ A 5	$\langle s,t\midt s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$
Coxeter gruppe	$\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle$	r n er refleksioner i polyederens flader, og ved , — hvis fladerne ikke danner en dihedral vinkel i polyederet $m_{ii}=1$ $m_{ij}\geqslant 2$ $i\neq j$ $m_{ij}=\infty$
Trekantgruppe Δ( l , m , n )	$\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^ {m}=1\område$	a , b , c - refleksioner
Z × Z	$\langle x,y\midt xy=yx\rangle$
Z / m Z × Z / n Z	$\langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle$
SL(2, Z )	$\langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle$
GL(2, Z )	$\langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle$
Modulær gruppe PSL(2, Z )	$\langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle$	PSL(2, Z ) er det frie produkt af Z /2 Z og Z /3 Z
Bryster Gruppe F 4 (2)	$\langle a,b\mid a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}= (ababababab^{-1})^{6}=1\rangle$	[ a , b ] - kommutator

Se også