Konveks funktion

En konveks funktion ( konveks opadgående funktion ) er en funktion, for hvilken segmentet mellem to vilkårlige punkter på dens graf i vektorrummet ikke ligger højere end den tilsvarende bue af grafen. Tilsvarende: konveks er en funktion, hvis undergraf er en konveks mængde .

En konkav funktion ( nedadkonveks funktion ) er en funktion, hvis korde mellem to punkter på grafen ikke ligger lavere end den dannede bue af grafen, eller tilsvarende, hvis epigraf er en konveks mængde.

Begreberne konvekse og konkave funktioner er dobbelte , desuden definerer nogle forfattere en konveks funktion som konkav, og omvendt [1] . Nogle gange, for at undgå misforståelser, bruges mere eksplicitte udtryk: nedad konveks funktion og opad konveks funktion.

Konceptet er vigtigt for klassisk matematisk analyse og funktionsanalyse , hvor konvekse funktionaler især studeres , samt for anvendelser som optimeringsteori , hvor en specialiseret underafsnit skelnes mellem konveks analyse .

Definitioner

En numerisk funktion defineret på et bestemt interval (generelt på en konveks delmængde af et vektorrum ) er konveks, hvis for to vilkårlige værdier af argumentet , og for et hvilket som helst tal , gælder Jensens ulighed : $x$ $y$ $t\in\left[0,1\right]$

f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y \ret)

Noter

Hvis denne ulighed er streng for alle og , så siges funktionen at være strengt konveks . $t\in\left(0,1\right)$ $x\ney$
Hvis den omvendte ulighed holder, siges funktionen at være konkav (henholdsvis strengt konkav i det strenge tilfælde).
Hvis for nogle den stærkere ulighed holder $\varepsilon >0$ $f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y \right)-\varepsilon t\left(1-t\right)\left|xy\right|^{2}$

så siges funktionen at være stærkt konveks .

Egenskaber

En funktion , der er konveks på et interval, er kontinuerlig på alt , differentierbar på alt undtagen højst et tælleligt sæt punkter og dobbelt differentierbar næsten overalt . $f$ ${\mathbb {I}}$ ${\mathbb {I}}$ ${\mathbb {I}}$
Enhver konveks funktion er subdifferentierbar (har en subdifferentiel ) over hele definitionsdomænet.
En konveks funktion har et støttehyperplan af sin epigraf , der passerer gennem ethvert punkt .
En kontinuerlig funktion er konveks på hvis og kun hvis uligheden $f$ ${\mathbb {I}}$ $x,y\in {\mathbb {I}}$ $f\left({\dfrac {x+y}{2}}\right)\leqslant {\frac {f\left(x\right)+f\left(y\right)}{2}}$
En kontinuerligt differentierbar funktion af en variabel er konveks på et interval, hvis og kun hvis dens graf ikke ligger under tangenten ( referencehyperplan ) tegnet til denne graf på et hvilket som helst punkt i konveksitetsintervallet.
En konveks funktion af en variabel i et interval har venstre og højre afledte; den venstre afledte i et punkt er mindre end eller lig med den højre afledede; den afledte af en konveks funktion er en ikke-aftagende funktion.
En to gange differentierbar funktion af en variabel er konveks på et interval, hvis og kun hvis dens anden afledede er ikke-negativ på dette interval. Hvis den anden afledede af en to gange differentierbar funktion er strengt taget positiv, så er en sådan funktion strengt konveks, men det modsatte er ikke sandt (f.eks. er funktionen strengt konveks på , men dens anden afledede i et punkt er lig med nul) . ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{4))$ $\left[-1,1\right]$ $x=0$
Hvis funktionerne er konvekse, er enhver af deres lineære kombinationer med positive koefficienter også konvekse. $f$ $g$ $af+bg$ $-en$ $b$
Det lokale minimum af en konveks funktion er også det globale minimum (henholdsvis for opadgående konvekse funktioner er det lokale maksimum det globale maksimum).
Ethvert stationært punkt i en konveks funktion vil være et globalt ekstremum.

Noter

↑ Klyushin V. L. Højere matematik for økonomer / red. I. V. Martynova. - Pædagogisk udgave. - M. : Infra-M, 2006. - S. 229. - 448 s. — ISBN 5-16-002752-1 .

Litteratur

Konveksitet og konkavitet / Telyakovsky S. A. // Great Russian Encyclopedia : [i 35 bind] / kap. udg. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
Konveksitet og konkavitet // Kasakhstan. National Encyclopedia . - Almaty: Kazakh encyclopedias , 2004. - T. I. - ISBN 9965-9389-9-7 . (Russisk) (CC BY SA 3.0)