Bølgetal

bølgetal
$\k$
Dimension	L −1
Enheder
SI	m −1
GHS	cm -1
Noter
skalar

Bølgetal er forholdet mellem 2 π radianer og bølgelængden:

k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda )),

- rumlig analog af vinkelfrekvensen [1] .

Bølgetallet er forbundet med en anden størrelse kaldet den rumlige frekvens - antallet af perioder med oscillationer i rummet pr. længdeenhed [2] [3] . I spektroskopi er det den rumlige frekvens, der kaldes bølgetallet og som normalt måles i reciproke centimeter (cm −1 ).

Sædvanlig notation [4] : . $k$

Definition : bølgetallet k er væksthastigheden af bølgens fase φ langs den rumlige koordinat [5] :

k\equiv {\frac {d\varphi }{dx)).

I det endimensionelle tilfælde tildeles bølgenummeret normalt et minustegn , hvis bølgen forplanter sig i negativ retning (mod aksen). I multidimensional er dette normalt et synonym for den absolutte værdi af bølgevektoren eller dens komponenter (flere bølgenumre i henhold til antallet af koordinatakser), det kan også være en projektion af bølgevektoren på en bestemt valgt retning.

Da bølgenummeret i de fleste tilfælde kun giver mening, når det anvendes på en monokromatisk bølge (strengt monokromatisk eller i det mindste næsten monokromatisk), kan den afledede i definitionen (for disse mest almindelige tilfælde) erstattes af et endeligt differensudtryk:

k\equiv {\frac {\Delta \varphi }{\Delta x)).

Baseret på dette kan du få forskellige mere eller mindre bekvemme formuleringer [6] :

Bølgetallet er forskellen i bølgens fase (i radianer) på samme tidspunkt i rumlige punkter i en afstand af en enhedslængde (en meter).
Bølgetallet er antallet af rumlige perioder (pukler) af bølgen pr. 2 π meter.
Bølgetallet er lig med antallet af radianer af en bølge over et 1 meter langt segment.

I spektroskopi omtales bølgetallet ofte blot som det reciproke af bølgelængden (1/λ), normalt målt i reciproke centimeter (cm −1 ). Denne definition adskiller sig fra den sædvanlige ved fraværet af faktoren 2 π .

Måleenheden er rad · m −1 , den fysiske dimension er m −1 (i CGS -systemet : cm −1 ).

Anvendes i fysik , matematik [7] ( Fourier transform ) og applikationer såsom billedbehandling .

Grundlæggende forhold

k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_({\varphi }}}}={\frac {\omega }{v_{{\ varphi }}}},

hvor:

λ er bølgelængden ,

\nu

(græsk bogstav "nu") - frekvens ,

v

φ erbølgens fasehastighed , ω er vinkelfrekvensen .

For en monokromatisk rejsebølge kan man skrive:

\varphi =kx-\omega t

- for fasen;

u(x,t)=const\cdot {\mathrm {cos}}(kx-\omega t+\varphi _{0})

- for selve bølgen;

eller

u(x,t)=const\cdot e^{{i(kx-\omega t)}}

— for en kompleks bølge; her kan være gemt i ,

\varphi_{0}

konst

for en monokromatisk stående bølge:

u(x,t)=const\cdot \mathrm {cos} (k\cdot (x-x_{0}))\mathrm {cos} (\omega \cdot (t-t_{0})) .

Noter

Bølgetallet er nøjagtigt defineret for en monokromatisk bølge. Bølgetallet refererer til bølger af en anden type gennem begrebet spektrum (det vil sige gennem Fourier-transformationer), det vil sige, at en ikke-monokromatisk bølge generelt indeholder monokromatiske komponenter med forskellige bølgetal i forskellige proportioner; næsten monokromatiske bølger kan dog tilnærmelsesvis beskrives som bølger med et bestemt bølgetal (deres spektrum er hovedsageligt koncentreret nær én værdi af bølgetallet).

Nogle gange, for eksempel i den kvasi-geometriske (kvasi-klassiske) tilnærmelse , kan man betragte bølgetallet (bølgevektor) som langsomt skiftende i rummet, det vil sige, at bølgen ikke er så monokromatisk, men som kvasi-monokromatisk. I dette tilfælde er det selvfølgelig bedre at bruge definitionen af bølgetallet (bølgevektoren) med en afledt, snarere end med endelige forskelle.

Faktisk er det eneste fysisk meningsfulde tilfælde, hvor bølgenummeret (bølgevektoren) kan ændre sig med x , selv relativt hurtigt, tilfældet med stiintegralformalismen . I dette tilfælde, i teorien til at beskrive bølgen, er der bølger af en meget speciel form:

u(x,t)=e^{i\int (kdx-\omega dt)},

for hvilket det nævnte er ganske rigtigt og meningsfuldt.

Bølgetal i kvantefysik

I kvantefysik er det forbundet med momentumkomponenten i en given retning:

p_{x}=\hbar k_{x},

hvor

p x er momentumkomponenten i x -retningen (for et endimensionelt system, det samlede momentum), k x er bølgetallet (en komponent af bølgevektoren ) i x -retningen (for et endimensionelt system er det simpelthen et bølgetal), ħ er den reducerede Planck-konstant ( Dirac-konstant ).

Da Planck-konstanten er en universel konstant, kan vi ganske enkelt lave ħ = 1 ved at vælge et system af enheder.

p_{x}=k_{x},

det vil sige i kvantefysikken er begreberne momentumkomponent og bølgetal i det væsentlige de samme . Dette kan betragtes som et af de grundlæggende principper i kvantemekanikken.

Det samme kan siges om det samlede momentum og bølgetal uden at angive retningen af den absolutte værdi af bølgevektoren ):

p = \hbar k,

og i enheder ħ = 1:

p=k

I et bestemt tilfælde, for lys i et vakuum (og i princippet alle andre masseløse felter, ca. for ultrarelativistiske partikler), kan man også skrive:

k={\frac {E}{\hbar c)),

hvor

E - energi , ħ er den reducerede Planck konstant ( Dirac konstant ), c er lysets hastighed i vakuum.

Bølgetal i elektrodynamik

Lad os skrive ligningen for en plan elektromagnetisk bølge:

$\Delta \mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}$

$\Delta \mathbf {H} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2}}$

I koordinatform:

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} E_{y} \over \partial t^{2}}$ (en)

${\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} H_{z} \over \partial t^{2}}$

Løsningen på disse ligninger vil være:

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$ (2)

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$

$\omega$ - bølgefrekvens

$k$ - bølgetal

$c$ er lysets hastighed i et vakuum

Erstat ligning (2) til (1) :

$E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{c^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\ omega t-kx)$

$k={\frac {\omega }{c))$ [otte]

Bølgetallet er således antallet af vibrationer pr. meter.

Se også

bølge vektor

Noter

↑ Cirkulær frekvens måles i radianer pr. sekund, bølgetal måles i radianer pr. meter
↑ Disse er næsten komplette synonymer, der kun adskiller sig noget i traditionelle brugspræferencer på forskellige områder, så udtrykket bølgetal bruges hovedsageligt i fysik (dog sammen med udtrykket rumlig frekvens ), i matematik og forskellige applikationer (såsom billedbehandling) normalt udtrykket rumlig frekvens og endda bare frekvens bruges til et lignende koncept . Derudover bemærker vi, at for begrebet rumlig frekvens ( frekvens ) er en flerdimensionel forståelse ofte tilladt , det vil sige, at den også bruges som et praktisk synonym for begrebet bølgevektor , mens en sådan brug for begrebet bølgenummer praktisk talt er udelukket for indlysende grunde. Bølgevektorens komponenter kan dog kaldes bølgetal langs koordinatakserne.
↑ Fysisk encyklopædi. I 5 bind / Kap. udg. A. M. Prokhorov. Ed. tælle D. M. Alekseev, A. M. Baldin. - M .: Soviet Encyclopedia + Great Russian Encyclopedia. - 1998.
↑ Andre bruges ofte, som regel udtrykkeligt angivet.
↑ I det endimensionelle tilfælde er valget af den rumlige koordinat utvetydigt (op til spejlrefleksion), i det flerdimensionale tilfælde er x -koordinaten som standard valgt således, at den falder sammen med retningen af den maksimale fasevæksthastighed , det vil sige vinkelret på fasefronten; i dette tilfælde er bølgetallet den absolutte værdi af bølgevektoren . Endelig, nogle gange er retningen x givet eksplicit og falder måske ikke sammen med den netop nævnte; så taler man normalt om bølgetallet i x-retningen og angiver dette eksplicit i notationen: . $k_{x}$
↑ Herunder ordlyden i begyndelsen af artiklen
↑ I matematik (og mange applikationer) - hovedsageligt i terminologisk form, rumlig frekvens eller endda bare frekvens .
↑ I.V. Savelyev "Course of General Physics" Bind II afsnit "Plane Electromagnetic Wave"