Vedhæftningen

Indlejring (eller inklusion ) er en speciel form for kortlægning af en forekomst af en matematisk struktur til en anden forekomst af samme type. Indlejringen af et eller andet objekt i er nemlig givet ved en injektiv mapping, der bevarer en vis struktur. Hvad "bevarelse af struktur" betyder, afhænger af typen af matematisk struktur, hvis objekter er og . I kategoriteoretiske termer kaldes en "strukturbevarende" kortlægning en morfisme . $x$ $Y$ $x$ $Y$

Det faktum, at et display er indlejret, er ofte angivet med en "kroget pil" som denne: . $f:X\til Y$ $f:X\hookrightarrow Y$

Givet og , kan der være flere mulige rede. I mange tilfælde er der en standard (eller "kanonisk") indlejring - for eksempel indlejringer af naturlige tal i heltal, heltal i rationaler, rationaler i reelle og reelle i komplekse . I sådanne tilfælde definerer man normalt et domæne med et mønster sådan, at . $x$ $Y$ $x$ $f(X)\undersæt Y$ $X\subseteq Y$

Geometri og topologi

Generel topologi

En kortlægning af topologiske rum kaldes en indlejring i if er en homøomorfisme [1] (on betragtes som topologien induceret med ). Hver indlejring er kontinuerlig og injektiv . $f:X\til Y$ $x$ $Y$ $f:X\to f(X)\subset Y$ $f(X)$ $Y$

For et rum er eksistensen af en indlejring en topologisk invariant . Vi kan skelne mellem to rum, hvis det ene af dem kan indlejres i, og det andet ikke kan. $x$ $X\to Y$ $Y$

Differentiel topologi

Lad være glatte manifolds og være en glat kortlægning . Det kaldes en fordybelse , hvis differentialet af kortlægningen overalt er injektiv . En glat indlejring er en injektiv fordybelse, som også er en indlejring i ovenstående forstand (det vil sige en homeomorfisme på sit eget billede ). [2] $M, N$ $f:M\to N$ $df$ $f$

Med andre ord er det omvendte billede af en indlejring diffeomorf i forhold til dets billede, og især billedet af en indlejring skal være en undermanifold . Fordybelsen er til gengæld en lokal indlejring (det vil sige, for hvert punkt er der et kvarter , sådan som er en indlejring). $x\i M$ $U\subset M,x\in U$ $f:U\to N$

Et vigtigt specialtilfælde er, når N = R n . Det interessante spørgsmål her er, hvor lille n kan være . Whitneys indlejringssætning [3] siger, at n=2m er tilstrækkeligt , hvor m er dimensionen af manifolden.

Algebra

Ringteori

I ringteori er en indlejring en injektiv homomorfi af ringe . Da det er en underring af ringen , etablerer indlejringen en isomorfi mellem ringene og . $f\kolon A\til B$ $f(A)$ $B$ $f$ $EN$ $f(A)$

Kategori teori

I kategoriteori er der ingen tilfredsstillende definition af indlejring, der passer til alle kategorier. Typiske krav til at definere en indlejring i en vilkårlig kategori er som følger: alle isomorfier er indlejringer, sammensætningen af indlejringer er en indlejring, alle indlejringer er monomorfier , og enhver ekstrem monomorfi er en indlejring.

I en bestemt kategori er en indlejring en morfisme ƒ : A → B , der virker injektivt på bærermængderne og er også en initialmorfi i følgende betydning: hvis g er en funktion fra bærermængden af objekt C til bærermængden A , og dens sammensætning med ƒ er en morfisme ƒg : C → B , så er g også en morfisme.

Som sædvanligt i kategoriteori er der et dobbeltbegreb kendt som en faktor.

Se også

Fordybelse (topologi)

Noter

↑ Sharpe, RW (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program , Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9 , side 16.
↑ Warner, F.W. (1983), Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups , Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-90894-3 , side 22.
↑ Whitney H., Differentiable manifolds, Ann. af matematik. (2), 37 (1936), 645-680.