Monomorfisme

En monomorfisme er en morfisme af kategorien sådan, at enhver lighed indebærer, at (med andre ord, på kan annulleres fra venstre). Ofte er en monomorfi fra til betegnet med . $m:A\til B$ ${\mathcal C}$ $m\circ f=m\circ h$ $f=h$ $m$ $x$ $Y$ $X\krog højrepil Y$

Dobbelt til begrebet monomorfisme er begrebet epimorfisme . (På samme tid, for at en morfisme skal være en isomorfisme , er det i det generelle tilfælde ikke nok at være bimorf - samtidig monomorf og epimorf.)

Monomorfismer er en kategorisk generalisering af begrebet en injektiv funktion . Nogle gange er disse definitioner sammenfaldende, men generelt svarer en monomorfi ikke til en injektiv funktion.

Forholdet til reversibilitet

Morfismer, der har en venstre invers, er altid monomorfier. Faktisk, hvis er venstre omvendt til (dvs. ), så: $l$ $f$ $l\circ f=\operatørnavn {id}_{{X}}$

{\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow lfg_{1}=lfg_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2))

Samtidig har ikke alle monomorfismer en venstre invers. For eksempel, i kategorien af grupper , hvis er en undergruppe af , så er indlejringen altid en monomorfi, men en venstre omvendt morfisme eksisterer kun, hvis y har en normal komplementær gruppe (da kernen i homomorfien er en normal undergruppe). En morfisme er en monomorfi, hvis og kun hvis den inducerede kortlægning defineret som for morfismer er injektiv for alle Z. ${\mathbf {Grp}}$ $H$ $G$ $f:H\to G$ $f:H\to G$ $H$ $f:X\til Y$ $f_{{*}}:{\mathrm {Hom}}(Z,X)\til {\mathrm {Hom}}(Z,Y)$ $f_{{*}}h=f\circ h$ $h:Z\til X$

Forbindelse med injektivitet

Ikke i alle kategorier kan man sige, at en eller anden funktion på sæt svarer til en morfisme, men det er sandt i specifikke kategorier . I enhver sådan kategori vil en "injektiv" morfisme være en monomorfi. I kategorien af sæt er den omvendte påstand også sand; monomorfismer der svarer nøjagtigt til injektionsfunktioner. Dette gælder i mange andre kategorier, der naturligt opstår i matematik på grund af eksistensen af et frit objekt genereret af et enkelt element. For eksempel er dette sandt i enhver Abelsk kategori .

Dette er dog ikke altid sandt. For eksempel, i kategorien af delbare (abelske) grupper med de sædvanlige gruppe homomorfismer, er der ikke-injektiv monomorfismer, såsom faktoriseringskortet . $\mathbf {Div}$ $q:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /Z$

Typer af monomorfismer

En monomorfi siges at være regulær , hvis den er en equalizer af et par parallelle morfismer.

En ekstrem monomorfi er en monomorfi, der ikke kan føres gennem en epimorfi på en ikke-triviel måde, med andre ord, hvis en ekstrem monomorfi er repræsenteret i formmed en epimorfi, så er det en isomorfi. $g\circ e$ $e$ $e$

Terminologi

Begrebsparret "monomorphism" og "epimorphism" blev først brugt af Bourbaki , og de brugte "monomorphism" som en stenografi for udtrykket "injektiv funktion". I dag er næsten alle matematikere involveret i kategoriteori sikre på, at reduktionsreglen ovenfor er en korrekt generalisering af begrebet en injektiv funktion. McLane forsøgte at skelne mellem monomorfismer - morfismer i en bestemt kategori, som svarer til en injektiv funktion, og engelsk. moniske kort er monomorfismer i kategorisk forstand, men dette er aldrig kommet i almindelig brug.

Litteratur

McLane S. Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

George Bergman (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions , Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1 .