Sandsynlighedsrum

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 8. juni 2019; checks kræver 10 redigeringer .

Probabilistisk rum er et koncept introduceret af A. N. Kolmogorov i 30'erne af det XX århundrede for at formalisere begrebet sandsynlighed , hvilket gav anledning til den hurtige udvikling af sandsynlighedsteori som en streng matematisk disciplin.

Historien om konceptet

I 1904 udgav Henri Lebesgue sit kursus [1] om integralregning . I den undersøgte den franske matematiker i detaljer begrebet integral , fremhævede dets udvikling fra det øjeblik, konceptet blev opfundet af Newton og Leibniz til begyndelsen af det 20. århundrede. I slutningen af dette kursus giver Lebesgue sin definition af integralet. Den konstruktion, han gav, ville senere blive kendt som Lebesgue-integralet .

Udtryk som sigma algebra , Borel-sæt dukkede allerede op i Lebesgues værker med henvisning til Borels værker , som tidligere havde studeret spørgsmål om linjens topologi og indså, at de mængder, han studerede, også var vigtige for aksiomatiseringen af sandsynlighedsteori. .

I 1933 introducerer Andrey Kolmogorov i sit arbejde "Basic Concepts of Probability Theory" et system af aksiomer, nu kendt som Kolmogorovs aksiomatik [2] [3] , som beskriver et skema, der giver dig mulighed for at arbejde med en bred klasse af tilfældige processer , der er ikke beskrevet af de overvejende diskrete ordninger, der eksisterede før.

Kolmogorov bemærker, at Lebesgue med sit arbejde viste alle en ny facet af begrebet et integral - med dets hjælp kan man bestemme den matematiske forventning til en tilfældig variabel i tilfælde af en kontinuerlig styrke af et sæt af elementære udfald, som såvel som i tilfælde af kontinuerlig kontinuerlig tid. Kolmogorovs aksiomer gør det muligt at adskille sæt, hvorpå moderne sandsynlighedsteoris apparat kan bruges. Sæt, for hvilke det ikke er kendt på forhånd, om nogle af aksiomerne holder på dem, behandles af matematisk statistik , som drager en konklusion om anvendeligheden af aksiomatikken baseret på den observerede stikprøve af mængdeelementer.

Definition

Sandsynlighedsrummet [4] er det tredobbelte $(\Omega ,{\mathfrak {A}),\mathbb {P} )$

$\Omega$ - et vilkårligt ikke-tomt sæt , hvis elementer kaldes elementære begivenheder , udfald eller point;
${\mathfrak {A}}$ er sigma-algebraen af delmængder , kaldet (tilfældige) hændelser ; $\Omega$
$\mathbb {P}$ er et sandsynlighedsmål eller sandsynlighed, det vil sige et sigma-additivt endeligt mål, således at . $\mathbb{P}(\Omega) = 1$

Noter

Elementære hændelser (elementer ) er per definition resultaterne af et tilfældigt eksperiment , hvoraf præcis én forekommer i eksperimentet. $\Omega$
Hver tilfældig hændelse (element ) er en delmængde af . Et eksperiment siges at have resulteret i en tilfældig hændelse, hvis det (elementære) resultat af eksperimentet er et element af . Kravet, der er en sigma-algebra af delmængder , tillader især at tale om sandsynligheden for en tilfældig begivenhed, der er foreningen af et tælleligt antal elementære begivenheder, såvel som sandsynligheden for at komplementere enhver begivenhed. ${\mathfrak {A}}$ $\Omega$ $A\subseteq\Omega$ $EN$
${\mathfrak {A}}$ $\Omega$

Særlige tilfælde af sandsynlighedsrum

Klassisk sandsynlighedsrum [5]

Lade være en endelig mængde indeholdende elementer. Som en sigma-algebra er det praktisk at tage familien af delmængder . Det er ofte symbolsk betegnet . Det er let at vise, at det samlede antal medlemmer af denne familie, det vil sige antallet af forskellige tilfældige begivenheder, er nøjagtigt lig med , hvilket forklarer betegnelsen. Sandsynligheden for en begivenhed er forholdet mellem antallet af elementære udfald for denne begivenhed og det samlede antal udfald: ${\displaystyle \Omega =\{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\))$ $\vert\Omega\vert = n$ $\Omega$ $2^{\Omega}$ $2^{\vert \Omega \vert}$

\mathbb{P}(A) = \frac{n_A}{n}

hvor , og er antallet af elementære udfald, der tilhører . Især sandsynligheden for en elementær begivenhed: $A\undersæt\Omega$ $\vert A \vert = n_A$ $EN$

\mathbb{P}(\{\omega\}) = \frac{1}{n},\; \forall \omega \i \Omega.

Eksempel

Overvej et eksperiment med et afbalanceret møntkast. Det ville være naturligt at tage to begivenheder: tabet af våbenskjoldet ( ) og tabet af haler ( ), dvs. så kan sandsynligheden beregnes som følger: $\Gamma$ $\mathrm{P}$ $\Omega=\{\Gamma,\mathrm{P}\}.$ $\mathfrak{A} = \{\{\Gamma\},\{\mathrm{P}\},\{\Gamma,\mathrm{P}\},\varnothing\},$

\mathbb{P}(\{\Gamma\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{\mathrm{P}\}) = \frac{1}{2},\; \mathbb{P}(\{\Gamma,\mathrm{P}\}) = 1,\; \mathbb{P}(\varnothing) = 0.

Således defineres et tredobbelt - et sandsynlighedsrum, inden for hvilket forskellige problemer kan overvejes. $(\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P})$

Diskrete sandsynlighedsrum [6]

Lad være et tælleligt sæt og være mængden af alle delmængder af . Lad , være ikke-negative tal sådan at . Så til enhver begivenhed, vi sætter ${\displaystyle \Omega =\{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n},\ldots \))$ ${\mathfrak {A}}$ $\Omega$ $p_{k}$ $k=1,2,\ldots ,$ $\sum _{k=1}^{\infty }p_{k}=1$ $A\in {\mathfrak {A}}$

P ( EN ) = ∑ k ∈ { jeg | ω jeg ∈ EN } s k {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)=\sum _{k\in \{i|\omega _{i}\in A\}}p_{k}}

\mathbb {P} \left(A\right)=\sum _{k\in \{i|\omega _{i}\in A\}}p_{k}

Hvis det er tilfældet , så har vi et begrænset rum af elementære resultater . I tilfældet får vi den klassiske definition af sandsynlighed. $p_{k}=0$ $k>n$ ${\displaystyle \Omega =\{\omega _{1},\ldots ,\omega _{n}\))$ $p_{1}=p_{2}=\cdots =p_{n}={\frac {1}{n))$

Geometriske sandsynligheder [7]

Lade være et afgrænset sæt af -dimensionelle euklidiske rum med volumen. Lade være et system af delmængder med volumen. Så til enhver begivenhed, vi sætter $\Omega$ $n$ ${\mathfrak {A}}$ $\Omega$ $A\in {\mathfrak {A}}$

P ( EN ) = μ ( EN ) μ ( Ω ) {\displaystyle \mathbb {P} \left(A\right)={\frac {\mu \left(A\right)}{\mu \left(\Omega \right)))} $\mathbb {P} \left(A\right)={\frac {\mu \left(A\right)}{\mu \left(\Omega \right)))$ hvor er lydstyrken af sættet . $\mu \left(C\right)$ $C$

Noter

↑ Lebesgue, 1904 .
↑ Kolmogorov, 1936 .
↑ Maystrov, 1967 , s. 312.
↑ Chistyakov, 1987 , s. 11-22.
↑ Chistyakov, 1987 , s. 24-29.
↑ Chistyakov, 1987 , s. 29.
↑ Chistyakov, 1987 , s. 29-31.

Litteratur

Henri Leon Lebesgue. Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives professées au Collège de France. — Paris: Gauthier-Villars, 1904.
Kolmogorov A. N. Grundbegreber for sandsynlighedsteori = Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. - M.-L.: ONTI, 1936. - 80 s.
Maystrov L. E. Sandsynlighedsteori. Historisk essay. - M .: Nauka, 1967. - 321 s.
Chistyakov V. P. Sandsynlighedsteori kursus. - 3. udg. - M . : Nauka, 1987. - 240 s.