G2-manifold

$G_{2}$ -manifold er en syvdimensionel Riemannmanifold med en holonomigruppe eller dens undergruppe. De er vigtige i strengteori , især i M-teori . $G_{2}$

$G_{2}$ -manifolder har nul Ricci-krumning , er orienterbare og har en spinorstruktur.

Geometri

Geometrien af -manifolder er tæt beslægtet med det syvdimensionelle vektorprodukt : disse er nemlig syvdimensionale Riemannmanifolder, på hvert tangentrum, hvortil der er et vektorprodukt, og som et tensorfelt er det bevaret af Levi- Civita-forbindelse (derved er det syvdimensionelle euklidiske rum med et vektorprodukt det enkleste eksempel -varianter). Denne betingelse betyder, at holonomi af en sådan metrik ligger i gruppen : parallelle oversættelser bevarer vektorproduktet, og automorfigruppen af et sådant produkt er nøjagtigt . På den anden side, hvis der er en metrik med en sådan holonomi, hjælper grupperepræsentationsteorien med at se, at der er en fornemt parallel endimensionel underbundt i rummet af skæv-symmetriske type tensorer. Dens sektion med konstant længde er feltet af syvdimensionelle vektorprodukter. $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $(2.1)$

Ved at udelade indekser med hensyn til metrikken fra vektorproduktet kan man opnå en 3-form, sædvanligvis betegnet eller . Da den er parallel under en vridningsfri forbindelse (nemlig Levi-Civita forbindelsen), er den lukket. Dens Hodge dual 4-form er også parallel og lukket, så den er også harmonisk. En generel 3-form på et syv-dimensionelt rum har en stabilisator , så -manifolds kan defineres i form af en intetsteds degenereret lukket 3-form. Dette bringer dem tættere på symplektiske manifolder (manifolder med en intetsteds degenereret lukket 2-form), men det er vigtigt at forstå, at en 3-form i et syvdimensionelt rum definerer en metrik, og en 2-form definerer aldrig en metrik. $\phi$ $\rho$ $G_{2}$ $G_{2}$

En vigtig forestilling om symplektisk geometri - begrebet en lagrangisk undermanifold , det vil sige en undermanifold af halv dimension, således at 2-formen er begrænset til den af det identiske nul - er dog delvist overført til -manifolden. En tredimensionel undermanifold kaldes nemlig associativ, hvis 4-formen forsvinder, når tre tangentfelter til denne undermanifold erstattes i den (eller, hvad der er det samme, 3-formen er begrænset til den som en form af en tre -dimensionelt Riemannsk volumen). En firedimensionel undermanifold kaldes koassociativ, hvis 3-formen er begrænset til den af det identiske nul (tilsvarende er 4-formen begrænset til den som en form af et firedimensionalt Riemannsk volumen). Disse navne forklares med deres alternative definitioner gennem vektorproduktet: et associativt underrum i er et tredimensionelt underrum lukket under vektorproduktet (eller, hvis vi tager i betragtning, at det syvdimensionelle vektorprodukt er opnået ved multiplikation af imaginære oktaver , som imaginære kvaternioner i imaginære oktaver for nogle indlejringer af algebraer ). Koassociative underrum er præcis de ortogonale komplementer af associative, eller underrum, hvor vektorproduktet af to vektorer er vinkelret på dette underrum. $G_{2}$ $\star \rho$ $\rho$ $\rho$ $\rho$ $\mathbb{R} ^{7}$ $\mathbb {H} \hookrightarrow \mathbb {O}$

En anden analogi, mere almindelig blandt fysikere, sammenligner associative manifolds med komplekse kurver i Calabi-Yau 3-manifolds og co-associative manifolds med specielle Lagrangian submanifolds. Faktisk er det kartesiske produkt af en Calabi-Yau 3-manifold med en Ricci-flad metrisk på en cirkel en syvdimensionel manifold med holonomi . Desuden er produkterne af komplekse kurver, der ligger i denne manifold og cirklen, associative, og produkterne af specielle lagrangiske submanifolds er koassociative. ${\displaystyle \mathrm {SU} (3)\delsæt G_{2))$

En bemærkelsesværdig egenskab ved det syvdimensionelle vektorprodukt, som bringer det tættere på det tredimensionelle, er, at hvis er en enhedsvektor, så har vi for enhver vinkelret vektor . Med andre ord er vektormultiplikation med normalenheden en hyperplan-endomorfisme i kvadrat som multiplikation med , det vil sige blot en kompleks struktur. I en -manifold har enhver orienterbar hyperflade en naturlig næsten kompleks struktur , som er analog med strukturen af en Riemann-overflade på en orienterbar flade i . Dette fænomen, som anvendt på det syvdimensionelle euklidiske rum, blev opdaget af Calabi (selv før introduktionen af generelle -manifolder). På samme tid, i modsætning til det tredimensionelle tilfælde, er en sådan struktur yderst sjældent integrerbar (det vil sige at tillade et analytisk atlas fra domæner af komplekst rum ): for eksempel, i tilfældet med det euklidiske rum , siger Calabi-kriteriet at denne næsten komplekse struktur er integrerbar, hvis og kun hvis operatoren Weingarten -hyperfladen har egenværdier . Især skal denne hyperflade være minimal . For eksempel opnås den næsten komplekse standardstruktur på kuglen som den næsten komplekse Calabi-struktur for enhedssfæren . Tilstedeværelsen af en integrerbar næsten kompleks struktur på en seksdimensionel sfære er et ekstremt vanskeligt problem (kendt som Chern-formodningen ), om hvis status udtalelserne fra de mest fremtrædende geometre er langt fra enstemmige. Samtidig er så næsten komplekse manifolder som enhedssfæren også af interesse for differentialgeometri: de udgør klassen af såkaldte. "ca. Kähler-manifolds" ( eng. næsten Kähler-manifold - den nøjagtige oversættelse til russisk er endnu ikke afgjort), det vil sige næsten hermitiske manifolds, den kovariante afledte af standard 2-formen med hensyn til Levi-Civita-forbindelsen, hvorpå er fuldstændig skævsymmetrisk. En metrisk kegle over en reel seksdimensional omtrentlig Kähler-manifold er en -manifold, og omvendt er kvotienten af en konisk symmetrisk -manifold (det vil sige en, der indrømmer handlingen af en multiplikativ gruppe ved homoteter) naturligt omtrent Kählerian. $u$ $x$ $(x\ gange u)\ gange u=-x$ $-en$ $G_{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $G_{2}$ $\mathbb {C} ^{3}$ $\lambda ,\mu ,\nu ,-\lambda ,-\mu ,-\nu$ ${\displaystyle S^{6}\subset \mathbb {R} ^{7))$ $G_{2}$ $G_{2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geqslant 0))$

Historie

Berger-Simons-sætningen, bevist i 1955, siger, at holonomigruppen i en kompakt Riemann-manifold, der ikke er lokalt symmetrisk , virker transitivt på enhedstangensvektorer. Listen over sådanne grupper givet af Berger inkluderede både de grupper, der på det tidspunkt var kendt som holonomigrupperne af klassiske geometrier (for eksempel holonomigruppen i en generel Riemannmanifold eller holonomigruppen af Kählerianmanifolder ), og dem, der , som det viste sig senere, kan kun være holonomigrupper på lokalt symmetriske manifolder (såsom spinorgruppen , som blev udelukket fra listen af Berger Alekseevsky ). Man troede i lang tid, at gruppen, der virkede på det syvdimensionale rum af imaginære oktaver, ikke også kan være holonomigruppen af en ikke-lokalt symmetrisk manifold, og geometres indsats i 1960'erne og 1980'erne var rettet mod at bevise dette. ${\mathrm {SO}}(n)$ $\mathrm {U} (n)$ $\mathrm {Spin} (16)$ $G_{2}$

Bonan beviste i 1966, at en -manifold tillader en parallel 3-form og en 4-form dual til hinanden ved hjælp af Hodge-stjernen . I hans tid er der dog ingen eksempler på mangfoldigheder, hvis holonomigruppe er lig med . Det første eksempel på en sådan metrik på domænet i blev konstrueret af Bryant i 1987. I 1989 konstruerede Bryant og Salamon -metrikker på komplette, men ikke-kompakte manifolder: et spinorbundt over en tredimensionel manifold med konstant tværsnitskrumning og på et bundt anti-selv-duale former over en firedimensionel Einstein manifold med en selv-dual Weyl-tensor (f.eks. en firedimensionel kugle med en rund metrik eller et komplekst projektivt plan med Fubini-Study metrisk). De er til dels analoge med den symplektiske struktur på det samlede rum af cotangensbundtet (mere præcist, den kanoniske hyperkähler-metric af det holomorfe tangentbundt til Kähler-manifolden, som endnu ikke var kendt på det tidspunkt og vil blive opdaget i 1990'erne af Faix og Kaledin ). Disse delvise resultater blev taget som bevis på, at sådanne metrikker er umulige på en kompakt manifold. $G_{2}$ $G_{2}$ $\mathbb{R} ^{7}$ $G_{2}$

I 1994 blev denne opfattelse imidlertid tilbagevist: Joyce konstruerede flere eksempler på kompakte manifolder med en holonomigruppe , idet han fandt en måde at analytisk løse singulariteterne af en faktor af en syvdimensionel torus over en endelig gruppe. I 1998 undersøgte MacLean deformationer af koassociative og associative undermanifolder i lukkede manifolder, og fandt især ud af, at deformationer af koassociative varianter er beskrevet i form af deres iboende geometri, mens associative varianter har en teori om deformationer beskrevet af en Dirac-operatør afhængigt af indlejring i omsluttende rum, og er normalt stive. I 2000'erne blev den snoede forbundne Kovalev sum-konstruktion opfundet , som gør det muligt at konstruere -manifolds fra et par Fano 3 -folds med nogle kompatibilitetsbetingelser. Bundter på -manifolder, hvis fibre er koassociative (især har, som forudsagt af MacLean, en hel del deformationer), blev først konstrueret ved hjælp af denne konstruktion og kaldes nogle gange "Kovalev-Lefschetz-skiver" (for eksempel af Donaldson ) i analogi med bundter til elliptiske kurver på K3-overflader, historisk kaldet "Lefschetz-skiver". En generalisering af Kovalevs konstruktion gjorde det muligt at opnå -strukturer på titusindvis af parvise ikke-diffeomorfe kompakte manifolder. Derudover blev der opnået sorter med associative undervarieteter i disse generaliseringer. $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$ $G_{2}$

En interessant ny forbindelse mellem geometrien af -manifold og kompleks geometri blev etableret i 2011 af Verbitsky : rummet af knuder i en -manifold er en (uendelig-dimensionel) formelt Kähler-manifold (med andre ord, selvom den ikke tillader lokale kort med værdier i det komplekse Fréchet-rum med komplekse analytiske reguleringsfunktioner, men den lineær-algebraiske forhindring for tilstedeværelsen af sådanne kort, Nijenhuis-tensoren, forsvinder på dem; i det finit-dimensionelle tilfælde, bemærker vi, er dette tilstrækkeligt for tilstedeværelsen af et komplekst analytisk atlas). $G_{2}$ $G_{2}$

Se også

Calabi-Yau Space