Epsilon netværk

Et ε -netværk ( epsilon -netværk , ε -tæt sæt) for en delmængde af et metrisk rum er et sætfra det samme rum,således at der for ethvert punkter et punkt,der højst er ε væk fra . $M$ $x$ $Z$ $x$ $x\i M$ $z\in Z$ $x$

Relaterede definitioner

Et metrisk rum, hvor et endeligt netværk eksisterer for hver, kaldes fuldstændigt afgrænset . $\varepsilon> 0$ $\varepsilon$

En metrisk på et sæt siges at være fuldstændigt afgrænset , hvis er et fuldstændigt afgrænset metrisk rum. $\rho$ $x$ $(X,\rho)$

En familie af metriske rum, sådan at der for enhver er et naturligt tal , således at hvert rum tillader et netværk på højst punkter, kaldes universelt fuldstændigt afgrænset . $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ $\varepsilon >0$ $N_\varepsilon$ $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ $\varepsilon> 0$ $N_\varepsilon$
- For sådanne familier gælder en analog af Gromovs kompakthedsteorem .

Et topologisk rum , der er homøomorft i forhold til et totalt afgrænset metrisk rum, kaldes en metriserbar, totalt afgrænset metrisk .

Eksempler

For standardmetrikken er mængden af rationelle tal et ε -netværk for mængden af reelle tal for enhver ε > 0 .
Heltalssættet er et ε -netværk for mængden af reelle tal for $\varepsilon\ge 0{,}5$

Egenskaber

Et metrisk rum har en ækvivalent totalt afgrænset metrisk, hvis og kun hvis den kan adskilles .
Et topologisk rum kan måles med en totalt afgrænset metrisk, hvis og kun hvis det er regulært og opfylder det andet tællelighedsaksiom .
Et metrisk rum er kompakt , hvis og kun hvis det er komplet og fuldstændigt afgrænset. I en lidt mere generel formulering siger Hausdorffs kompakthedsteorem , at for at en delmængde af et metrisk rum skal være relativt kompakt , er det nødvendigt, og hvis rummet er komplet , er det tilstrækkeligt, at der for enhver eksisterer et endeligt ε -net af elementer af sættet . $M$ $x$ $x$ $\varepsilon > 0$ $M$

Bevis

Brug for

Lad sættet være (relativt) kompakt. Vi reparerer og overvejer ethvert element . Hvis for nogen , så er et endeligt ε -netværk af et element allerede blevet konstrueret. Ellers er der et element sådan, at . Der er yderligere to muligheder. Enten for mindst et af tallene eller er mindre end , og så er det endelige ε -net af to elementer allerede blevet bygget, eller der er et element sådan, at , , og så videre. Lad os vise, at processen med at konstruere punkter vil afslutte efter et begrænset antal trin, hvilket betyder, at et endeligt ε -net vil blive konstrueret. Hvis dette ikke var tilfældet, så ville vi få en sekvens, for hvilken kl . Men så kan hverken sekvensen selv eller nogen af dens undersekvenser konvergere, hvilket modsiger sættets kompakthed . Så for et kompakt sæt har vi konstrueret et endeligt ε -net, hvis punkter tilhører selve sættet. $M$ $\varepsilon > 0$ $x_{1} \i M$ $\rho(x, x_{1}) < \varepsilon$ $x \i M$ $x_{2} \i M$ $\rho(x_{2}, x_{1}) \geqslant \varepsilon$ $x \i M$ $\rho(x, x_{1})$ $\rho(x, x_{2})$ $\varepsilon$ $x_{3} \i M$ $\rho(x_{3}, x_{1}) \geqslant \varepsilon$ $\rho(x_{3}, x_{2}) \geqslant \varepsilon$ $x_{1}, x_{2}, \ldots$ $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}, \ldots$ $\rho(x_{i}, x_{j}) \geqslant \varepsilon$ $i \neq j$ $\{ x_{n} \},$ $M$ $M$

Tilstrækkelighed

Antag, at der for nogen eksisterer et ε -net for sættet . Lad os tage en numerisk sekvens , hvor vi for og for hver konstruerer et -netværk . Overvej en vilkårlig rækkefølge . Da der er et -net for , så uanset elementet , vil vi have det for mindst ét element . Derfor falder ethvert element ind i mindst én bold , det vil sige hele sættet , og endnu mere hele sekvensen , vil være placeret i disse bolde. Da der er et begrænset antal kugler, og rækkefølgen er uendelig, er der mindst én kugle , der vil indeholde en uendelig undersekvens af vores rækkefølge. Denne begrundelse kan gentages for . Lad os lave en diagonal sekvens . Lad os vise, at denne sekvens konvergerer i sig selv. Da og for er inkluderet i -th undersekvens, og -th undersekvens er indeholdt i bolden , så for . Efter antagelse er pladsen fuld. Derfor følger sekvensens konvergens i sig selv dens konvergens til en vis grænse, og dette beviser muligheden for at vælge en konvergent undersekvens fra en hvilken som helst sekvens, det vil sige den (relative) kompakthed af mængden [1] $\varepsilon > 0$ $M$ $\mathcal{f} \varepsilon_{n} \mathcal{g}$ $\varepsilon_{n} \rightarrow 0$ $n \højrepil \infty$ $n$ $\varepsilon_{n}$ $N_{n} = \{ z_{1}^{(n)}, z_{2}^{(n)}, \ldots, z_{m_{n}}^{(n)} \}$ $\{ x_{n} \} \i M$ $N_{1}$ $\varepsilon_{1}$ $M$ $x \i M$ $\rho(x, z_{i}^{(1)}) < \varepsilon_{1}$ $z_{i}^{(1)} \i N_{1}$ $x \i M$ $S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1}), i=1, 2, \ldots, m_{1}$ $M$ $\{ x_{n} \}$ $\{ x_{n} \}$ $S(z_{i}^{(1)}, \varepsilon_{1})$ $\{ x_{n}^{(1)} \}$ $N_{m}, m = 2, 3, \ldots$ $x_{1}^{(1)}, x_{2}^{(2)}, \ldots, x_{k}^{(k)}, \ldots$ $x_{k}^{(k)}$ $x_{k+p}^{(k+p)}$ $p>0$ $k$ $k$ $S(z_{i}^{(k)}, \varepsilon_{k})$ $\rho(x_{k+p}^{(k+p)}, x_{k}^{(k)}) \leqslant \varepsilon_{k} \rightarrow 0$ $k \højrepil \infty$ $x$ $\{ x_{k}^{(k)} \}$ $\{ x_{n} \}$ $M.$

Et komplet metrisk rum er kompakt, hvis og kun hvis der for nogen i det findes et kompakt ε -net. $\varepsilon> 0$

Noter

↑ Sobolev V.I. Forelæsninger om yderligere kapitler i matematisk analyse. - M .: Nauka, 1968 - s. 59.

Litteratur

D. Yu. Burago, Yu. D. Burago, S. V. Ivanov. Metrisk geometri kursus. Moscow-Izhevsk: Institute for Computer Research, 2004, 512 s. ISBN 5-93972-300-4 .
Engelking, R. Generel topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 s.