Eksponentiel nøjagtig sekvens

En eksponentiel eksakt sekvens er en fundamental kort nøjagtig sekvens af skiver brugt i kompleks algebraisk geometri [1] .

Definition

Lad være en kompleks manifold , og være en bunke af holomorfe funktioner og dens underhylde bestående af ingensteds forsvindende funktioner. Den komplekse eksponent specificerer afbildningen $M$ ${\mathcal {O}}_{M}$ ${\mathcal {O}}_{M}^{*}$

\exp :{\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*},

som er en homomorfi af skiver af abelske grupper . Denne kortlægning er lokalt surjektiv og har en kerne , som giver en eksponentiel nøjagtig rækkefølge [1] $2\pi \mathbb {Z}$

0\to 2\pi i\,\mathbb {Z} \to {\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*}\to 0 .

Egenskaber

Denne nøjagtige sekvens er ikke surjektiv på globale sektioner , for eksempel i en punkteret disk , men den fortsætter til en lang nøjagtig sekvens af sheaf cohomology , der begynder som

0\to H^{0}(\mathbb {Z} )\to H^{0}({\mathcal {O}}_{M})\to H^{0}({\mathcal { O}}_{N}^{*})\til H^{1}(\mathbb {Z} )\til H^{1}({\mathcal {O}}_{M})\til H^ {1}({\mathcal {O}}_{M}^{*}){\xrightarrow[{}]{c_{1}}}H^{2}(\mathbb {Z} )\to \cdots

hvor er Picard-gruppen , det vil sige isomorfi-klassens gruppe af linjebundter , og er den første Chern-klasse [1] . $H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*})$ $c_{1}$

Noter

↑ 1 2 3 Griffiths F., Harris J. Principper for algebraisk geometri = Principper for algebraisk geometri. - M . : Mir, 1982. - Vol. 1. - ISBN 9780471050599 .