Krumning

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 16. juni 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Krumning er samlebetegnelsen for en række karakteristika ( skalar , vektor , tensor ), der beskriver afvigelsen af et eller andet geometrisk "objekt" ( kurve , overflade , riemannsk rum , etc.) fra de tilsvarende "flade" objekter ( ret linje). , fly , euklidisk rum osv. ) osv.).

Normalt er krumningen defineret for hvert punkt på "objektet" og udtrykt som værdien af et eller andet 2. ordens differentialudtryk . Nogle gange er krumning defineret i en integreret forstand, for eksempel som et mål , bruges sådanne definitioner til "objekter" med reduceret glathed. Som regel medfører den identiske forsvinden af krumning på alle punkter et lokalt sammenfald mellem det "objekt", der undersøges, med et "fladt" objekt.

Denne artikel giver kun nogle få enkle eksempler på definitioner af begrebet krumning.

Krumning af en kurve

Krumning af en kurve givet parametrisk

Lade være en regulær kurve i dimensionelle euklidiske rum parametriseret af dets længde . Derefter $\gamma (s)$ $d$ $s$

\kappa =|{\ddot {\gamma }}(s)|

kaldes kurvens krumning i punktet , betegner her den anden afledede mhp . Vektor $\gamma$ $p=\gamma (s)$ ${\ddot {\gamma }}(s)$ $s$

k={\ddot {\gamma }}(s)

kaldes krumningsvektoren i punktet . $\gamma$ $p=\gamma (s)$

Det er klart, at denne definition kan omskrives i form af tangentvektoren : $\tau (s)={\dot {\gamma }}(s)$

k={\dot {\tau }}(s),

hvor en prik over bogstavet betyder den første afledte med hensyn til s.

For en kurve givet parametrisk, i det generelle tilfælde, er krumningen udtrykt ved formlen

\kappa ={\frac {|\gamma '\times \gamma ''|}{|\gamma '|^{3}}}

hvor og henholdsvis betegner den første og anden afledede af radiusvektoren på det krævede punkt i forhold til parameteren (i dette tilfælde, for en kurve i tredimensionelt rum, kan man forstå vektorproduktet , for en kurve i to -dimensionelt rum, det pseudoskalære produkt , og for en kurve i et rum af vilkårlig dimension, det ydre produkt ). $\gamma '$ $\gamma ''$ $\gamma$ $\ gange$

Relaterede begreber

Den reciproke af krumningen af kurven ( ) kaldes krumningsradius ; det falder sammen med radius af den sammenhængende cirkel i et givet punkt på kurven. Centrum af denne cirkel kaldes krumningscentrum . Hvis kurvens krumning er nul, så degenererer den sammenhængende cirkel til en ret linje. $r=1/\kappa$

Kurver i planet

For kurver på et plan er der en yderligere formel, der bruges i tilfælde, hvor kurven ikke er angivet parametrisk, men som et locus af punkter, der opfylder én ligning.

Lade være en regulær kurve på det euklidiske plan med koordinater givet af en ligning med en to gange kontinuerligt differentierbar funktion . Derefter beregnes dens krumning i et punkt ved formlen [1] $\gamma$ $(x,y)$ $F(x,y)=0$ $F$ $(x,y)$

\kappa (x,y)={\frac {|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2} F_{yy}|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2))))

Især hvis kurven er givet af ligningen , beregnes dens krumning ved formlen $y = f(x)$

\kappa (x)={\frac {|f''|}{({\sqrt {1+f'^{2}}})^{3}}}.

[2]

For at en kurve kan falde sammen med et eller andet segment af en ret linje eller med hele den rette linje, er det nødvendigt og tilstrækkeligt, at dens krumning (eller krumningsvektor) i alle punkter er identisk lig med nul. $\gamma$

Orienteret krumning af en plan kurve

Hvis kurven ligger i samme plan, kan dens krumning tildeles et fortegn. En sådan krumning kaldes ofte orienteret . Dette kan gøres som følger: hvis når punktet bevæger sig i retning af stigende parameter, sker rotationen af tangentvektoren mod uret, så betragtes krumningen som positiv, hvis den er med uret, er den negativ. Orienteret krumning er udtrykt ved formlen

\kappa ={\frac {\gamma '\times \gamma ''}{|\gamma '|^{3))}={\frac {x'y''-x''y'}{ (x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}}.

Tegnet på krumningen afhænger af valget af parametrisering og har ingen geometrisk betydning. Den geometriske betydning er en ændring i krumningens tegn, når man passerer gennem et bestemt punkt (det såkaldte bøjningspunkt ) eller bevarelsen af tegnet i et bestemt område (karakteren af kurvens konveksitet).

Mekanisk fortolkning

Intuitivt kan krumning forstås med følgende mekaniske fortolkning

Antag , at et materialepunkt bevæger sig langs en flad kurve. Så er modulet for normalkomponenten af accelerationen $-en$

a=\kappa \cdot v^{2},

hvor er kurvens krumning, er punktets hastighed [3] . $\kappa$ $v$

Bemærk, at kurvens krumning bruges som en fysisk størrelse , har dimensionen omvendt til længdeenheden (i SI-systemet er den 1/m).

Overfladekrumning

Lad der være en regelmæssig overflade i det tredimensionelle euklidiske rum . $\Phi$

Lad være et punkt $s$ $\phi ,$

T_{p}

er tangentplanet til punktet

\Phi

p,

n

er enheden normal på et punkt

\Phi

p,

a er et plan, der passerer igennem og en enhedsvektor ind

\pi _{e}

n

e

T_p.

Kurven opnået som skæringspunktet mellem planet og overfladen kaldes det normale snit af overfladen i et punkt i retningen $\gamma_e,$ $\pi _{e}$ $\phi ,$ $\Phi$ $s$ $e.$

\kappa _{e}=k\cdot n

hvor betegner skalarproduktet og er krumningsvektoren i punktet , kaldes overfladens normale krumning i retningen . Op til et tegn er den normale krumning lig med krumningen af kurven . $\cdot$ $k$ $\gamma _{e}$ $s$ $\Phi$ $e$ $\gamma _{e}$

Der er to vinkelrette retninger i tangentplanet og sådan, at den normale krumning i en vilkårlig retning kan repræsenteres ved hjælp af den såkaldte Euler-formel : $T_{p}$ $e_{1}$ $e_{2}$

\kappa _{e}=\kappa _{1}\cos ^{2}\alpha +\kappa _{2}\sin ^{2}\alpha

hvor er vinklen mellem denne retning og , a er værdierne og normale krumninger i retningerne og , de kaldes hovedkrumningerne , og retningerne og er overfladens hovedretninger i punktet . De vigtigste krumninger er de ekstreme værdier af de normale krumninger. Strukturen af normale krumninger på et givet punkt på overfladen er bekvemt afbildet grafisk ved hjælp af Dupins indikator . $\alfa$ $e_{1}$ $\kappa_{1}$ $\kappa_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $e_{1}$ $e_{2}$ $s$

Værdi

H=\kappa_{1}+\kappa_{2}

kaldes overfladens gennemsnitlige krumning . [4] (Nogle gange bruges en anden definition: . [5] [6] ) $H={\tfrac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$

Værdi

K=\kappa_{1}\kappa_{2}

kaldet den Gaussiske krumning eller overfladens totale krumning .

Gaussisk krumning er et objekt for den indre geometri af overflader; især ændres den ikke under isometriske bøjninger.

Se også

Litteratur

Vilenkin, N. Om krumning , Kvant. - 1992. - Nr. 4 . - S. 2-9, 15 . (Russisk)
Gromov M. Tegn og geometrisk betydning af krumning. - Izhevsk: Forskningscenter "Regular and Chaotic Dynamics", 2000. - 128 s. — ISBN 5-93972-020-X .
Pogorelov A. V. Differentialgeometri (6. udgave). Moskva: Nauka, 1974.
Rashevsky P. K. Et kursus i differentialgeometri (3. udgave). M.-L.: GITTL, 1950.
Tabachnikov S. L. Om krumning // Kvant . - 1989. - Nr. 5 . - S. 15-21, 42 .

Noter

↑ Goldman, R. Krumningsformler for implicitte kurver og overflader // Computer Aided Geometric Design. - 2005. - T. 22 , nr. 7 . - S. 632-658 . - doi : 10.1016/j.cagd.2005.06.005 .
↑ Schneider V. E. et al. Et kort kursus i højere matematik. Proc. tilskud til universiteter. M., "Højere. skole" c. 368 . Hentet 26. maj 2020. Arkiveret fra originalen 15. januar 2022. (ubestemt)
↑ Matematik, dens indhold, metoder og betydning (i tre bind). - Videnskabsakademiet i USSR, 1956. - T. 2. - S. 111, 113. - 397 s.
↑ Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Et kort kursus i differentialgeometri og topologi. — M.: FIZMATLIT, 2004.
↑ Toponogov, V. A. Differentiel geometri af kurver og overflader . - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 978-5-89155-213-5 .
↑ Chernavsky A. V. Differentialgeometri, 2. år .

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)
I bibliografiske kataloger	GND : 4128765-4 J9U : 987007538479005171 LCCN : sh85034911 NDL : 00567236