Von Neumann univers

von Neumann-universet ( hierarki af mængder ifølge von Neumann ) er en klasse dannet af arvelige velfunderede mængder ; en sådan samling, formaliseret af Zermelo-Fraenkel-sætteorien (ZFC), bruges ofte som en fortolkning eller begrundelse af ZFC-aksiomer. Standardnotationen er . $V$

Rangen af et velfunderet sæt er induktivt defineret som det mindste ordenstal, der er større end rangen af ethvert element i dette sæt [1] . Især er rangen af det tomme sæt lig med nul, og rangeringen af ethvert ordenstal er lig med sig selv. De mængder, der indgår i klassen , danner på grund af opdelingen i rækker et transfinit hierarki, som også kaldes det kumulative mængdehierarki . $V$

Historie

I 1982 udtalte Gregory Moore, at det kumulative typehierarki, også kendt som von Neumann-universet, fejlagtigt blev tilskrevet von Neumann [2] , fordi det første gang blev nævnt i en publikation fra 1930 af Ernst Zermelo [3] .

Eksistensen og unikheden af en transfinitely rekursiv definition af mængder blev bevist af von Neumann i 1928 for tilfældet med Zermelo-Fraenkel mængdeteori [4] , såvel som hans egen mængdeteori (som senere blev grundlaget for NBG teori). [5] Men i ingen af disse artikler brugte han sin transfinite rekursive metode til at konstruere en universel samling af alle sæt. Beskrivelserne af von Neumann-universet af Bernays [6] og Mendelssohn [7] tilskriver von Neumann en konstruktionsmetode baseret på transfinit induktion , men ikke dens anvendelse på problemet med at konstruere et univers af almindelige mængder.

Symbolet er ikke en henvisning til von Neumanns navn, så tidligt som i 1889 brugte Peano det til at henvise til sæternes univers, hvilket betyder ordet "Verum", som han ikke kun brugte som et logisk symbol, men også til at betegne klassen af alle elementer. [8] I 1910 adopterede Whitehead og Russell Peano-notation for at angive klassen af alle sæt. [9] Von Neumanns artikler om ordenstal og transfinit induktion (1920'erne) bruger ikke notationen V (i betydningen klassen af alle mængder). Paul Cohen [10] tilskriver eksplicit sin brug af symbolet V (klassen af alle sæt) til en artikel skrevet af Gödel i 1940 [11] , selvom Gödel højst sandsynligt har lånt denne notation fra tidligere publikationer som Whitehead og Russell. [9] $V$

En formel ses ofte som en teorem snarere end en definition. [6] [7] Ifølge Roitman [12] (uden at citere nogen kilder) blev ækvivalensen af aksiomet om regelmæssighed og lighed mellem det kumulative hierarki og universet af ZF-sæt først demonstreret af von Neumann. $\bigcup _{{\alpha }}V_{\alpha }$

Definition

Et kumulativt hierarki er en familie af sæt, hvor indekset løber gennem klassen af alle ordenstal . Mere specifikt består sættet af alle sæt, der har rang under . Hvert ordenstal svarer således til et enkelt sæt . Formelt kan et sæt defineres ved hjælp af transfinit rekursion : $V_{\alpha }$ $\alfa$ $V_{\alpha }$ $\alfa$ $\alfa$ $V_{\alpha }$ $V_{\alpha }$

Lad os vælge det tomme sæt som: $V_{0}$ $V_{0}:=\{\}.$
Lad være et vilkårligt ordenstal, så er det defineret som den boolske værdi af mængden : $\beta$ $V_{{\beta +1}}$ $V_{\beta }$ $V_{{\beta +1}}:={\mathcal {P}}(V_{\beta }).$
Lad være grænseordinaltallet , så er det defineret som foreningen af alle -sæt konstrueret i de foregående trin: $\lambda$ $V_{\lambda }$ $V$ $V_{\lambda }:=\bigcup _{{\beta <\lambda }}V_{\beta }.$

Nøgletræk ved denne definition er, at på ZFC-teoriens sprog udtrykkes udsagnet om, at "et sæt hører til" ved en enkelt formel i formen . $x$ $V_{\alpha }$ $\varphi (\alpha ,x)$

En klasse er foreningen af alle sæt af formen : $V$ $V_{\alpha }$

V:=\bigcup _{{\alpha }}V_{\alpha }

En tilsvarende definition bruger notation af formen

V_{\alpha }:=\bigcup _{{\beta <\alpha }}{\mathcal {P}}(V_{\beta })

hvor er et vilkårligt ordenstal, og den booleske værdi af sættet . $\alfa$ ${\mathcal {P}}(X)$ $x$

Rangen af et sæt er den mindste , for hvilken $S$ $\alfa$ $S\subseteq V_{\alpha }\,.$

Den følgende figur viser en skematisk fremstilling af de første fem niveauer i von Neumann-hierarkiet (fra til ). (En tom boks svarer til et tomt sæt. En boks, der kun indeholder en tom blok, svarer til et sæt, hvis eneste element er det tomme sæt, og så videre.) $V_{0}$ $V_{4}$

Sættet består af 65536 elementer. Størrelsen af sættet er lig med og væsentligt overstiger antallet af atomer i det observerbare univers . De endelige niveauer af det kumulative hierarki med et indeks højere end 5 kan således ikke udskrives eksplicit. Sættet har samme kardinalitet som . Potensen falder sammen med styrken af mængden af reelle tal . $V_{5}$ $V_{6}$ $2^{{65536}}$ $V_{\omega }$ $\omega$ $V_{{\omega +1}}$

Forholdet til mængdeteori

Hvis er mængden af naturlige tal , så består mængden af arvelig endelige mængder og er en model for mængdelære uden uendelighedsaksiomet . der er universet af "almindelig matematik" og Zermelos model for mængdeteori . Hvis er et uopnåeligt kardinaltal , så er en model af ZFC-teorien selv , mens det er en model af Morse-Kelly-mængdeteori . $\omega$ $V_{\omega }$ $V_{{\omega +\omega }}$ $\kappa$ $V_{\kappa }$ $V_{{\kappa +1}}$

$V$ er ikke " sættet af alle sæt " af to grunde. For det første er V ikke et sæt; på trods af, at hver af samlingerne er et sæt, er deres fagforening en klasse for sig . For det andet kommer kun velfunderede sæt ind i klassen som elementer. I overensstemmelse med aksiomet om grundlag (eller regelmæssighed) er hvert sæt velbegrundet og hører derfor til klassen . I ZFC-teorien er hvert sæt således et element i klassen . Men i andre aksiomatiske systemer kan grundaksiomet erstattes af dets stærke negation (for eksempel Axels antifundamentaksiom ), eller simpelthen fraværende. Sådanne teorier om ubegrundede mængder anvendes normalt ikke i praksis, men de kan meget vel være genstand for undersøgelse. $V_{\alpha }$ $V$ $V$ $V$ $V$

Den tredje indvending mod fortolkningen som "sættet af alle sæt" er, at ikke hvert sæt er "rent", det vil sige, det kan udtrykkes i termer af det tomme sæt, boolean og union. I 1908 foreslog Zermelo at tilføje urelementer til mængdeteori og byggede i 1930 et transfinit rekursivt hierarki på deres grundlag. [3] Lignende urelementer er meget brugt i modelteori , især Frenkel-Mostowski-modeller [13] . $V$

Filosofisk perspektiv

Der er to hovedtilgange (uden at tage højde for forskellige muligheder og mellemliggende gradueringer) til at forstå forholdet mellem von Neumann-universet og ZFC-teorien . Generelt: formalister har en tendens til at opfatte som en slags konsekvens af ZFC-aksiomer (for eksempel er det i teorien om ZFC muligt at bevise, at hvert sæt er et element af ), mens realister oftest ser i von Neumann-universet et objekt, der er direkte tilgængeligt for intuition, og i aksiomerne ZFC - udsagn, hvis sandhed i sammenhængen kan bekræftes ved hjælp af direkte argumenter udtrykt i naturligt sprog. Et af de mulige mellemliggende synspunkter er, at det mentale billede af von Neumann-hierarkiet tjener som en begrundelse for ZFC-aksiomerne (og dermed giver dem objektivitet), selvom det ikke nødvendigvis svarer til nogen virkelige objekter. $V$ $V$ $V$ $V$

Se også

Noter

↑ Mirimanoff 1917; Moore 1982, s. 261-262; Rubin 1967, s. 214
↑ Gregory H. Moore, "Zermelo's axiom of choice: Its origins, development & influence", 1982, 2013, Dover Publications, ISBN 978-0-486-48841-7 . (På side 279 hævder forfatteren, at henvisningen til von Neumanns navn er fejlagtig. Zermelos bidrag er nævnt på side 280 og 281.)
↑ 1 2 Ernst Zermelo , Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, Fundamenta Mathematicae , 16 (1930) 29-47 (Note s. 36-40.)
↑ von Neumann, John (1928), Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre, Mathematische Annalen T. 99: 373–391
↑ von Neumann, John (1928), Die Axiomatisierung der Mengenlehre , Mathematische Zeitschrift Vol. 27: 669–752 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN =PPN266833020_0027&DMDID=DMDLOG_0042 > (Se side 745-752.)
↑ 1 2 Bernays, Paul. Aksiomatisk mængdelære (neopr.) . - Dover Publications , 1991. - ISBN 0-486-66637-9 . (Se s. 203-209.)
↑ 12 Mendelson , Elliott. Introduktion til matematisk logik (ubestemt) . — Van Nostrand Reinhold , 1964. (Se s. 202.)
↑ Peano, Giuseppe. Arithmetices principia, nova methodo exposita (port.) . — 1889. (Se side VIII og XI.)
↑ 12 Alfred North Whitehead ; Bertrand Russell . Principia Mathematica (neopr.) . - Merchant Books, 2009. - T. bind 1. — ISBN 978-1-60386-182-3 . (Se side 229.)
↑ Cohen, Paul Joseph. Mængdelære og kontinuumshypotesen (neopr.) . — Addison–Wesley , 1966. — ISBN 0-8053-2327-9 . (Se side 88)
↑ Godel, Kurt. Konsistensen af valgaksiomet og den generaliserede kontinuumshypotese med mængdelærens aksiomer (engelsk) . - Princeton, NJ: Princeton University Press , 1940. - Vol. 3. - (Annals of Mathematics Studies).
↑ Roitman, Judith. Introduktion til moderne mængdelære (neopr.) . - Virginia Commonwealth University , 2011. - ISBN 978-0-9824062-4-3 . (Se side 79.)
↑ Howard, Paul; Rubin, Jean. Konsekvenser af valgaksiomet (neopr.) . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1998. s . 175-221 . — ISBN 9780821809778 .

Litteratur

Jech, Thomas. Set Theory: The Third Millennium Edition, revideret og udvidet. - Springer, 2003. - ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, Kenneth. Sætteori: En introduktion til uafhængighedsbeviser. - Elsevier, 1980. - ISBN 0-444-86839-9 .

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)