Tre gange periodisk minimal overflade

En triply periodic minimal surface (TPMS, eng.  triply periodic minimal surface , TPMS) er en minimal overflade i , som er en translationsinvariant i et gitter af rang 3.

Disse overflader har krystallografiske gruppesymmetrier . Der kendes adskillige eksempler med kubiske, tetragonale , sekskantede og rombiske symmetrier. Monokliniske og trikliniske eksempler findes bestemt, men de har vist sig at være svære at parameterisere [1] .

TPMP er efterspurgt i naturvidenskaberne. TSMT'er er blevet opdaget som biologiske membraner [2] , som blokcopolymerer [3] , ækvipotentiale overflader i krystaller [4] osv. De er også af interesse inden for arkitektur, dekoration og kunst.

Egenskaber

Næsten alle de undersøgte TSMT'er havde ikke selvskæringspunkter (det vil sige, de var indlejret i ) - fra et matematisk synspunkt er de de mest interessante (da selvskærende overflader åbenbart er rigelige) [5] .

Alle forbundne TSMT'er har slægt [6] og i ethvert gitter er der orienterede indlejrede TSMT'er af enhver art [7] .

Indlejrede TSMP'er er orienterbare og opdeler rummet i to ikke-skærende undervolumener (labyrinter). Hvis disse to labyrinter er kongruente, siges overfladen at være en afbalanceret overflade [8] .

Historie

De første eksempler på STMT var overfladerne beskrevet af Schwartz i 1865, efterfulgt af overfladen beskrevet af hans elev E. R. Neovius i 1883 [9] [10] .

I 1970 kom Alan Schön med 12 nye SST'er baseret på skeletgitre [11] [12] [13] . Selvom Schön overflader vandt popularitet i naturvidenskaberne, modtog konstruktionerne ikke et matematisk bevis på eksistensen og forblev for det meste ukendte for matematikere, indtil G. Karcher beviste deres eksistens i 1989 [14] .

Ved hjælp af konjugerede overflader er der fundet mange andre overflader. Selvom Weierstrass-repræsentationerne er kendt for simple eksempler, er de ikke kendt for de fleste overflader. I stedet bruges der ofte metoder til diskret differentialgeometri [5] .

Familier

Klassificeringen af ​​TSMT er et åbent problem.

TSMT danner ofte familier, og de kan løbende deformeres fra den ene til den anden. Meeks fandt en 5-parameter familie for slægt 3 SST, der indeholder alle kendte eksempler på slægt 3 overflader undtagen gyroidea [6] . Medlemmer af denne familie kan kontinuerligt deformeres ind i hinanden, hvor overfladen forbliver indlejret under deformationsprocessen (selvom gitteret kan ændre sig). Gyroidea og lidinoid er i en separat 1-parameter familie [15] .

En anden tilgang til klassificering af STMT'er er at overveje deres rumgrupper. For overflader, der indeholder linjer, kan man omnummerere de mulige grænsepolygoner og dermed give en klassifikation [8] [16] .

Generaliseringer

Periodiske minimale overflader kan konstrueres i S 3 [17] og H 3 [18] .

Man kan generalisere opdelingen af ​​rummet i labyrinter for at finde tre gange periodiske (muligvis forgrenede) minimale overflader, der opdeler rummet i mere end to dele [19] .

Kvasi-periodiske minimale overflader blev konstrueret i [20] . Det er blevet foreslået, aldrig bevist, at minimale overflader med en kvasi -krystallinsk orden eksisterer i [21] .

Galleri med eksterne billeder

Noter

  1. ↑ Matematik i EPINET-projektet . Hentet 4. august 2020. Arkiveret fra originalen 7. marts 2020.
  2. ↑ Deng, Mieczkowski, 1998 , s. 16-25.
  3. ↑ Jiang, Göpfert, Abetz, 2003 , s. 6171-6177.
  4. ↑ Mackay, 1985 , s. 300-305.
  5. ↑ 1 2 Karcher og Polthier 1996 , s. 2077-2104.
  6. ↑ 12 Meeks , 1975 .
  7. ↑ Traizet, 2008 , s. 243-275.
  8. ↑ 1 2 uden selvkryds
  9. ↑ Schwarz, 1933 .
  10. ↑ Neovius, 1883 .
  11. ↑ Alan H. Schoen, Infinite periodic minimal surfaces without self-intersections, NASA Technical Note TN D-5541 (1970)
  12. ↑ [1 .pdf Uendelige periodiske minimale overflader uden selvskæringer af Alan H. Schoen] . Hentet 12. april 2019. [ 1.pdf Arkiveret] 13. april 2018.
  13. ↑ Tredobbelt periodiske minimale overflader af Alan H. Schoen . Hentet 12. april 2019. Arkiveret fra originalen 22. oktober 2018.
  14. ↑ Karcher, 1989 , s. 291-357.
  15. ↑ Weyhaupt, 2006 .
  16. ↑ Fischer og Koch 1996 , s. 2105-2142.
  17. ↑ Karcher, Pinkall, Sterling, 1988 , s. 169-185.
  18. ↑ Polthier, 1991 , s. 201-210.
  19. ↑ Góźdź, Holyst, 1996 , s. 5012-5027.
  20. ↑ Mazet, Traizet, 2006 , s. 573-601.
  21. ↑ Sheng, Elser, 1994 , s. 9977-9980.

Litteratur