Tilknyttet familie
Den tilknyttede familie (eller Bonnet -familien ) af en minimal overflade er en én-parameter familie af minimale overflader , der deler de samme Weierstrass-data [1] . Altså hvis overfladen har en repræsentation
familien er beskrevet med formlen
![{\displaystyle x_{k}(\zeta ,\theta )=\Re \left\{e^{i\theta}\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\, dz\right\}+c_{k},\qquad \theta \in [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8412d52c5c7faf8f45b10c51e0b334f11ebf2ce1)
Når overfladen kaldes den konjugerede overflade [2] .
Transformationen kan opfattes som en lokal rotation af de vigtigste krumningsretninger . Overfladenormalerne af et fikspunkt forbliver uændrede, når . Selve punktet bevæger sig langs en ellipse .
Nogle eksempler på associerede overfladefamilier er familierne af catenoider og helicoider , Schwartz P , Schwartz D og gyroidefamilierne og familierne af den første og anden Scherk-overflade . Ennepers overflade er konjugeret med sig selv - den forbliver uændret, når .
Konjugerede overflader har følgende egenskab: enhver ret linje på overfladen reflekteres i en plan geodætisk linje på den konjugerede overflade og omvendt. Hvis et stykke af overfladen er afgrænset af en ret linje, så er det konjugerede stykke afgrænset af en flad symmetrilinje. Dette er nyttigt, når man konstruerer minimale overflader ved at passere til det dobbelte rum: begrænsning af planer svarer til begrænsning af polygon [3] .
Der er analoger til associerede familier af minimale overflader i rum af højere dimension og for manifolder [4] .
Noter
- ↑ Weierstrass data kan læses i bogen Karcher G., Simon L., Fujimoto H., Hildebrandt S., Hoffman D. Weierstrass data // Minimal Surfaces / Ed. Osserman R. - M. : FIZMATLIT, 2003. - S. 82-85. — ISBN 5-9221-0380-6 .
- ↑ Matthias Weber, Classical Minimal Surfaces in Euclidean Space by Examples, in Global Theory of Minimal Surfaces: Proceedings of the Clay Mathematics Institute 2001 Summer School, Mathematical Sciences Research Institute, Berkeley, Californien, 25. juni-27. juli 2001. American Mathematical Soc ., 2005 [1] Arkiveret 12. juli 2019 på Wayback Machine
- ↑ Hermann Karcher, Konrad Polthier, "Construction of Triply Periodic Minimal Surfaces", Phil. Trans. R. Soc. Lond. A 16. september 1996 vol. 354 nr. 1715 2077–2104 [2] Arkiveret 21. januar 2022 på Wayback Machine
- ↑ J.-H. Eschenburg, The Associated Family, Matematica Contemporanea, Vol 31, 1-12 2006 [3] Arkiveret 5. marts 2016 på Wayback Machine
Litteratur
| Minimum overflader | ||
|---|---|---|