Minimum Schwartz overflade

Schwartz minimale overflader  er periodiske minimale overflader , oprindeligt beskrevet af Karl Schwartz .

I 1880'erne beskrev Schwartz og hans elev E. R. Neovius periodiske minimale overflader [1] [2] . De blev senere navngivet af Alan Schoen i hans grundlæggende rapport, hvor han beskrev gyroidea og andre tre gange periodiske minimale overflader [3] .

Overfladerne blev genereret ved hjælp af symmetrier: givet en løsning på Plateau-problemet for en polygon, giver refleksioner af overfladen omkring grænselinjerne også regelmæssige minimale overflader, der kan forbindes på en kontinuerlig måde med den oprindelige løsning. Hvis den minimale overflade møder planet i rette vinkler, så kan en spejlreflektion om planet også fastgøres til overfladen. Derfor, givet en passende indledende polygon indskrevet i en enhedscelle, kan en periodisk overflade konstrueres [4] .

Schwarz overflader har topologisk slægt 3, den minimale slægt af tre gange periodiske minimale overflader [5] .

De blev betragtet som modeller for periodiske nanostrukturer i blokcopolymerer , elektrostatiske ækvipotentiale overflader i krystaller [6] og hypotetiske negativt buede grafitfaser [7] .

Schwarz overflade P ("Primitiv" = "Primitiv")

Schön kaldte disse overflader "primitive", fordi de har to sammenflettede kongruente labyrinter, hver formet som en oppustet rørformet version af et simpelt kubisk gitter. Mens standardoverfladen P har kubisk symmetri, kan cellerne være et hvilket som helst rektangel, hvilket giver en familie af minimale overflader med samme topologi [8] .

En overflade kan tilnærmes ved en eksplicit overflade

P-overfladen er blevet overvejet til udvikling af prototypestofstilladser med et højt overflade-til-volumenforhold og høj porøsitet [10] .

Schwarz overflade D ("Diamond" = "Diamond")

Schön kaldte denne overflade "diamant", fordi den har to sammenflettede kongruente labyrinter, hver formet som en oppustet hul version af diamantbindingsstrukturen . I litteraturen omtales denne overflade undertiden som F-overfladen.

En overflade kan tilnærmes ved en eksplicit overflade

Det nøjagtige udtryk eksisterer i form af elliptiske integraler baseret på Weierstrass-Enneper-parametriseringen [11] .

Schwarz overflade H ("Hexagonal" = "Hexagonal")

Schwartz-overfladen H ligner en katenoid med en trekantet grænse, som gør det muligt at fylde hele rummet.

Schwarz overflade CLP ("Krydsede lag af paralleller")

Illustrationer

• http://www.susqu.edu/brakke/evolver/examples/periodic/periodic.html
• Tre gange periodiske overflader af slægt 3
• Bikontinuerlige kubiske faser baseret på tredobbelt periodiske minimale overflader
• Schwartz's overflade
• http://virtualmathmuseum.org/Surface/gallery_m.html

Noter

1. ↑ Schwarz, 1933 .
2. ↑ Neovius, 1883 .
3. ↑ Schoen, 1970 .
4. ↑ Karcher og Polthier 1996 , s. 2077-2104.
5. ↑ Alan Schoen geometri . Hentet 30. juli 2020. Arkiveret fra originalen 26. maj 2020. (ubestemt)
6. ↑ Mackay, 1985 , s. 604-606.
7. ↑ Terrones, Mackay, 1994 , s. 183-195.
8. ↑ Meeks, 1990 , s. 77-936.
9. ↑ Overflader i tre gange periodiske niveauer . Hentet 10. februar 2019. Arkiveret fra originalen 12. februar 2019. (ubestemt)
10. ↑ Shin, Kim, Jeong et al., 2012 .
11. ↑ Gandy, Cvijović, Mackay, Klinowski, 1999 , s. 543-551.

Litteratur

• H.A. Schwarz. Gesammelte Mathematische Abhandlungen. — Berlin: Springer, 1933.
• ER Neovius. Akad. Abhandlungen. — Helsingfors, 1883.
• Alan H. Schoen. Uendelige periodiske minimale overflader uden selvskæringer // NASA teknisk note TN D-5541 . - 1970.
• Hermann Karcher, Konrad Polthier. Konstruktion af tredobbelt periodiske minimale overflader // Fil. Trans. R. Soc. Lond. A. - 1996. - September ( vol. 354 , nr. 1715 ).
• Alan L. Mackay. Periodiske minimale overflader // Natur. - 1985. - April ( bd. 314 , nr. 6012 ). - doi : 10.1038/314604a0 .
• Terrones H., Mackay AL Negativt buet grafit og tre gange periodiske minimale overflader. - 1994. - December ( udgave 15 , nr. 1 ). - doi : 10.1007/BF01277558 .
• W. H. Meeks. Teorien om tredobbelt periodiske minimale overflader // Indiana University Math. Tidsskrift. - 1990. - T. 39 , no. 3 .
• Jaemin Shin, Sungki Kim, Darae Jeong, Hyun Geun Lee, Dongsun Lee, Joong Yeon Lim, Junseok Kim. Finite Element Analysis of Schwarz P Surface Pore Geometries for Tissue-engineered scaffolds // Matematiske problemer i teknik. - 2012. - doi : 10.1155/2012/694194 .
• Paul JF Gandy, Djurdje Cvijović, Alan L. Mackay, Jacek Klinowski. Nøjagtig beregning af den tredobbelte periodiske D ('diamant') minimal overflade // Chemical Physics Letters. - 1999. - December ( vol. 314 , hæfte 5–6, 10 ).