Fuzzy sæt

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 10. september 2022; verifikation kræver 1 redigering .

A fuzzy set (nogle gange fuzzy [1] , foggy [2] , fluffy [3] ) er et begreb introduceret af Lotfi Zadeh i 1965 i artiklen "Fuzzy Sets" i tidsskriftet Information and Control [4] , i som han udvidede det klassiske begreb om et sæt , idet han antog, at den karakteristiske funktion af et sæt (kaldet af Zade medlemskabsfunktionen for et fuzzy sæt) kan tage alle værdier i intervallet , og ikke kun værdierne eller . Det er det grundlæggende koncept for fuzzy logik . $[0, 1]$ $0$ $en$

Forældet navn: vagt sæt [5] [6] ,

Definition

Et fuzzy sæt er et sæt ordnede par, der består af elementer i et universelt sæt og de tilsvarende grader af medlemskab : $EN$ $x$ $x$ $\mu _{A}(x)$

A=\{(x,\mu _{A}(x))\midt x\i X\}

desuden er en medlemskabsfunktion (en generalisering af begrebet den karakteristiske funktion af almindelige sprøde sæt), der angiver i hvilket omfang (måle) et element tilhører et fuzzy-sæt . Funktionen tager værdier i et eller andet lineært ordnet sæt . Et sæt kaldes et sæt tilbehør , ofte vælges et segment som et segment . Hvis (det vil sige, det kun består af to elementer), så kan fuzzy-sættet betragtes som et almindeligt sprødt sæt. $\mu _{A}(x)$ $x$ $EN$ $\mu _{A}(x)\$ $M$ $M$ $M$ $[0, 1]$ $M=\{0,1\}\$

Grundlæggende definitioner

Lad et fuzzy sæt med elementer fra universalsættet og et sæt tilbehør . Derefter: $EN$ $X\$ $M=[0,1]$

bæreren ( støtten ) af et fuzzy sæt er sættet ; $\operatørnavn {supp} A$ $\{x\midt x\i X,\mu _{A}(x)>0\}$
værdien kaldes højden af fuzzy-sættet . Et fuzzy sæt er normalt, hvis dets højde er . Hvis højden strengt taget er mindre end , kaldes fuzzy-sættet subnormalt ; $\sup _{{x\in X}}\mu _{A}(x)$ $EN\$ $EN\$ $en\$ $en\$
fuzzy sæt er tomt, hvis . Et ikke-tomt subnormalt fuzzy-sæt kan normaliseres med formlen $\forall x\in X:\mu _{A}(x)=0$ $\mu '_{A}(x)={\frac {\mu _{A}(x)}{\sup \mu _{A}(x)))$ ;
fuzzy sæt er unimodal hvis kun på en af ; $\mu _{A}(x)=1\$ $x\$ $X\$
elementer , som kaldes overgangspunkter i fuzzy-sættet . $x\i X$ $\mu _{A}(x)=0{,}5$ $EN\$

Sammenligning af fuzzy sæt

Lad og vær fuzzy sæt defineret på det universelle sæt . $EN$ $B$ $x$

$EN$ er indeholdt i , hvis for ethvert element fra funktionen af dets medlemskab i sættet vil tage en værdi mindre end eller lig med medlemskabsfunktionen for sættet : $B$ $x$ $EN$ $B$ $A\subset B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$ .
Hvis betingelsen ikke er opfyldt for alle , så taler vi om graden af inklusion af fuzzy-sættet i , som er defineret som følger: $\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$ $x\i X$ $EN$ $B$ $l\left(A\subset B\right)=\min _{x\in T}\mu _{B}(x)$ , hvor . ${\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x),\mu _{A}(x)>0\))$
To sæt siges at være ens , hvis de er indeholdt i hinanden: $A=B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)$ .
Hvis medlemsskabets værdier fungerer og er næsten lige med hinanden, taler man om graden af lighed af fuzzy sæt og f.eks. $\mu _{A}(x)$ $\mu _{B}(x)$ $EN$ $B$ $E(A=B)=1-\max _{x\in T}|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|$ , hvor . ${\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\neq \mu _{B}(x)\))$

Egenskaber for fuzzy sæt

$\alfa$ -Slice of fuzzy set , betegnet som , er følgende klare sæt: $A\subseteq X$ $A_{\alpha}$

{\displaystyle A_{\alpha }=\{x\in X\mid \mu _{A}(x)\geqslant \alpha \))

det vil sige sættet defineret af følgende karakteristiske funktion (medlemsfunktion):

\chi _{A_{\alpha }}(x)=\venstre\{{\begin{matrix}0,&\mu _{A}(x)<\alpha ,\\1,&\mu _{A}(x)\geqslant \alpha .\end{matrix}}\right.

For et udsnit af et fuzzy sæt er følgende implikation sand: $\alfa$

\alpha _{1}<\alpha _{2}\Rightarrow A_{\alpha _{1}}\supset A_{\alpha _{2}}

Et fuzzy sæt er konveks , hvis og kun hvis følgende betingelse er opfyldt: $A\subseteq \mathbf {R}$

\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\geqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\land \mu _{ A}(x_{2})=\min\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle

for enhver og . $x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$ $\gamma \i [0,1]$

Et fuzzy-sæt er konkavt , hvis og kun hvis følgende betingelse er opfyldt: $A\subseteq \mathbf {R}$

\mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\leqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\lor \mu _{ A}(x_{2})=\max\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle

for enhver og . $x_{1},x_{2}\in \mathbf {R}$ $\gamma \i [0,1]$

Operationer på fuzzy sæt

Med mange tilbehør $M=[0,1]\$

Skæringspunktet mellem fuzzy sæt er en fuzzy undergruppe med en medlemsfunktion, der er minimum af medlemsfunktioner og : $EN$ $B$ $EN$ $B$ $\mu _{A\cap B}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ .
Produktet af fuzzy sæt er en fuzzy undergruppe med en medlemsfunktion: $EN$ $B$ $\mu _{AB}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$ .
Sammenslutningen af fuzzy sæt er en fuzzy undergruppe med en medlemsfunktion, der er maksimum af medlemsfunktionerne og : $EN$ $B$ $EN$ $B$ $\mu _{A\kop B}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ .
Summen af fuzzy sæt er en fuzzy undergruppe med en medlemsfunktion: $EN$ $B$ $\mu _{A+B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\ -\mu _{A}(x)\mu _{B }(x)$ .
Negationen af et sæt er et sæt med en medlemsfunktion: $EN\$ $\overline A$ $\mu _{\overline {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)$ for alle . $x\i X$

En alternativ repræsentation af operationer på fuzzy sæt

Krydsning

Generelt er driften af skæringspunktet mellem fuzzy sæt defineret som følger:

\mu _{A\cap B}(x)=T(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))

hvor funktionen er den såkaldte T-norm . Nedenfor er særlige eksempler på implementeringen af T-normen : $T$

$\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\land \mu _{B}(x)=\min(\mu _{A}(x), \mu _{B}(x))$
$\mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)$
${\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=\max\{0,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-1\))$
$\mu _{A\cap B}(x)=\venstre\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=1\\ \mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=1\\0,&\mu _{A}(x)<1,\mu _{B}(x)<1 ,\end{matrix}}\right.$
$\mu _{A\cap B}(x)=1-\min\{1,[(1-\mu _{A}(x))^{p}+(1-\mu _{ B}(x))^{p}]^{1 \over p}\}$ , til $p\geqslant 1$

Konsolidering

I det generelle tilfælde er operationen med at kombinere fuzzy sæt defineret som følger:

\mu _{A\kop B}(x)=S(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))

hvor funktionen er T-konormen af . Nedenfor er særlige eksempler på implementering af S-normen : $S$

$\mu _{A\kop B}(x)=\mu _{A}(x)\lor \mu _{B}(x)=\max(\mu _{A}(x), \mu _{B}(x))$
$\mu _{A\kop B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-\mu _{A}(x)\mu _{B }(x)$
${\displaystyle \mu _{A\kop B}(x)=\min\{1,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\))$
$\mu _{A\kop B}(x)=\venstre\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=0\\ \mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=0\\1,&\mu _{A}(x)>0,\mu _{B}(x)>0 \end{matrix}}\right.$
$\mu _{A\kop B}(x)=\min\{1,[\mu _{A}^{p}(x)+\mu _{B}^{p}(x) ]^{1 \over p}\}$ , til $p\geqslant 1$

Forbindelse med sandsynlighedsteori

Teorien om fuzzy mængder er i en vis forstand reduceret til teorien om tilfældige mængder og dermed til sandsynlighedsteorien . Hovedideen er, at værdien af medlemsfunktionen kan opfattes som sandsynligheden for, at et element er dækket af et tilfældigt sæt . $\mu _{A}(x)\$ $x\$ $B\$

Men i praktisk anvendelse bruges apparatet til fuzzy-sætteori normalt uafhængigt, idet det fungerer som en konkurrent til apparatet for sandsynlighedsteori og anvendt statistik . For eksempel er der i kontrolteori en retning, hvor fuzzy-sæt (fuzzy-controllere) bruges i stedet for metoder til sandsynlighedsteori til at syntetisere ekspertcontrollere .

Eksempler

Lade:

masser af $X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}$
mange tilbehør $M=[0,1]$
$EN$ og er to fuzzy undergrupper $B$ $x$
- $A=\{(x_{1}\midt 0{,}4),(x_{2}\midt 0{,}6),(x_{3}\midt 0),(x_{4}\midt 1 )\}$
- $B=\{(x_{1}\midt 0{,}3),(x_{2}\midt 0),(x_{3}\midt 0),(x_{4}\midt 0{,}2 )\}$

Resultater af de vigtigste operationer:

vejkryds: ${A\cap B}=\{(x_{1}\midt 0{,}3),(x_{2}\midt 0),(x_{3}\midt 0),(x_{4}\midt 0{,}2)\}={B}$
en forening: ${A\kop B}=\{(x_{1}\midt 0{,}4),(x_{2}\midt 0{,}6),(x_{3}\midt 0),(x_{ 4}\midt 1)\}={A}$

Noter

↑ Bulletin fra Videnskabsakademiet i den georgiske SSR . - Akademiet, 1974. - S. 157. - 786 s. Arkiveret 4. april 2017 på Wayback Machine
↑ Kozlova Natalya Nikolaevna. Farvebillede af verden i sprog // Uchenye zapiski Zabaikal'skogo gosudarstvennogo universiteta. Serie: Filologi, historie, orientalske studier. - 2010. - Udgave. 3 . — ISSN 2308-8753 . Arkiveret fra originalen den 4. april 2017.
↑ Kemi og liv, XXI århundrede . - Company "Chemistry and Life", 2008. - S. 37. - 472 s. Arkiveret 4. april 2017 på Wayback Machine
↑ Lotfi A. Zadeh Grundlæggende om en ny tilgang til analyse af komplekse systemer og beslutningsprocesser (oversat fra engelsk af V. A. Gorelik, S. A. Orlovsky, N. I. Ringo) // Mathematics Today. - M., Viden, 1974. - s. 5-48
↑ Leonenkov A. V. Fuzzy modellering i MATLAB og fuzzyTECH miljøet. St. Petersborg: BKhV�Peterbur, 2005. 736 s.: ill. ISBN 5.94157.087.2
↑ A.M. Shirokov. Fundamentals of Acquisition Theory . - Videnskab og teknologi, 1987. - S. 66. - 190 s. Arkiveret 18. april 2021 på Wayback Machine

Litteratur

Zadeh L. Begrebet en sproglig variabel og dens anvendelse til at træffe omtrentlige beslutninger. - M . : Mir, 1976. - 166 s.
Orlov AI Optimeringsproblemer og uklare variabler. - M .: Viden, 1980. - 64 s.
Kofman A. Introduktion til teorien om fuzzy sets. - M . : Radio og kommunikation, 1982. - 432 s.
Fuzzy sæt og mulighedsteori: Seneste fremskridt / R. R. Yager. - M . : Radio og kommunikation, 1986.
Zadeh LA Fuzzy sæt // Information og kontrol. - 1965. - T. 8 , nr. 3 . - S. 338-353.
Orlovsky SA Beslutningsproblemer med uklar indledende information. — M .: Nauka, 1981. — 208 s. - 7600 eksemplarer.
Orlov A. I. , Lutsenko E. V. System fuzzy interval matematik. — Monografi (videnskabelig udgave). - Krasnodar, KubGAU. 2014. - 600 s. [en]