Holevos sætning

Holevos teorem  er et vigtigt begrænsende teorem inden for kvanteberegning , et tværfagligt felt inden for fysik og datalogi . Det kaldes undertiden Holevo-grænsen , fordi sætningen sætter en øvre grænse for mængden af ​​information, der kan kendes om en kvantetilstand (tilgængelig information). Teoremet blev offentliggjort af Aleksandr Semyonovich Holevo i 1973.

Introduktion

Som med andre begreber inden for kvanteinformationsteori er det lettere at forstå essensen af ​​problemet ved at bruge eksemplet med kommunikation mellem to mennesker. Lad os sige, at vi har Alice og Bob . Alice har en klassisk tilfældig variabel X , som kan tage værdierne {1, 2, …, n } med tilsvarende sandsynligheder . Alice forbereder en kvantetilstand , repræsenteret ved en tæthedsmatrix , valgt fra sættet , og sender denne tilstand til Bob. Bobs mål er at finde værdien af ​​X , hvilket gøres gennem måling af tilstanden , som giver det klassiske resultat, betegnet med Y . I denne sammenhæng er mængden af ​​tilgængelig information, dvs. mængden af ​​information, som Bob kan opnå gennem variablen X , den maksimale værdi af gensidig information I ( X : Y ) mellem tilfældige variable X og Y over alle mulige målinger Bob kan lave [1] .

På nuværende tidspunkt kendes der ingen formel til beregning af den tilgængelige information. Der er dog flere øvre grænser, hvoraf den bedst kendte er Holevo-grænsen, som er udtrykt ved følgende sætning [1] .

Udtalelse af sætningen

Lad være et sæt af blandede tilstande og lad være en af ​​disse tilstande udtrukket i henhold til sandsynlighedsfordelingen .

For enhver måling, der er beskrevet af POVM-elementer ( positiv operatørværdi måling , positiv operatørmåling) og udført på , er mængden af ​​tilgængelig information fra variablen X i form af et måleresultat Y begrænset ovenfra som følger:  

hvor  ; er von Neumann-entropien .

Værdien på højre side af uligheden kaldes Holevo-informationen eller Holevo- værdien χ :

Bevis

For at bevise dette skal du overveje tre kvantesystemer med navnet . Samtidig betragtes det som forberedelse ,  - som en kvantetilstand udarbejdet af Alice og overført til Bob, og  - som et middel til at måle Bobs modtagne information.

Et komplekst system er oprindeligt i en tilstand

Alices tilstand kan ses som om Alice havde en værdi for en tilfældig variabel . Så er forberedelsestilstanden en blandet tilstand beskrevet af tæthedsmatricen , kvantetilstanden, der sendes til Bob, er , og Bobs måleinstrumenter er i deres indledende eller ledige tilstand .

Brug af de kendte resultater af kvanteinformationsteori[ hvad? ] kan vises[ hvordan? ] det

Også efter nogle algebraiske beregninger kan man vise[ hvordan? ] , hvilket svarer til sætningen [1] .

Noter

I det væsentlige beviser Holevo-bindingen, at for n qubits , selvom de kan "bære" mere (klassisk) information på grund af kvantesuperposition, overstiger mængden af ​​klassisk information, der kan udvindes , dvs. opnået i praksis , ikke n klassisk (dvs. ikke-kodede kvante) bits . Dette er overraskende af to grunde. :

1. kvantedatabehandling er ofte så meget mere kraftfuld end konventionel databehandling, at resultater, der viser, at de kun er marginalt bedre, eller endda værre, end konventionelle teknikker er mærkelige;
2. komplekse tal er nødvendige for at kode en qubit, som kun repræsenterer n bit.

Se også

• Quantum ultra-tæt kodning

Noter

1. ↑ 1 2 3 Nielsen, Chuang, 2000 .

Litteratur

• Holevo A.S. Grænser for mængden af ​​information transmitteret over en kvantekommunikationskanal // Problemer med informationstransmission. - 1973. - T. 9 . - S. 177-183 .
• Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang. afsnit 12.1.1 - ligning (12.6) // Kvanteberegning og kvanteinformation  (engelsk) . - Cambridge, Storbritannien: Cambridge University Press, 2000. - S.  531 . - ISBN 978-0-521-63235-5 .
• Mark M. Wilde (2011), From Classical to Quantum Shannon Theory, arΧiv : 1106.1445v2 [quant-ph].  Se afsnit 11.6. Holevos sætning er præsenteret som øvelse 11.9.1 på side 288.