Gauss sum

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. juni 2020; checks kræver 2 redigeringer .

I matematik forstås Gauss summen som en bestemt slags endelige sum af rødder fra enhed , som regel skrevet i formen

Her er summen overtaget alle elementer r af en eller anden endelig kommutativ ring R , ψ( r ) er homomorfi af additivgruppen R + ind i enhedscirklen , og χ( r ) er homomorfi af gruppen af ​​enheder R × ind enhedscirklen udvidet med 0. Gauss-summer er analoge med Gamma-funktioner for tilfældet med endelige felter .

Disse summer forekommer ofte i talteori , især i de funktionelle ligninger af Dirichlet L-funktioner .

Carl Friedrich Gauss brugte summers egenskaber til at løse nogle problemer i talteorien, især han anvendte dem i et af beviserne for den kvadratiske lov om gensidighed . Oprindeligt blev Gauss-summer forstået som kvadratiske Gauss-summer , for hvilke R  er feltet af rester modulo p , og χ er Legendre-symbolet . For dette tilfælde viste Gauss, at G (χ) = p 1/2 eller ip 1/2 , når p er kongruent med henholdsvis 1 eller 3 modulo 4.

En alternativ form for at skrive Gauss summen:

Den generelle teori om Gauss-summer blev udviklet i det tidlige 19. århundrede ved hjælp af Jacobi-summer og deres primtalsfaktoriseringer i cirkulære felter .

Gauss-summernes betydning for talteorien blev først afsløret i 1920'erne. På dette tidspunkt anvendte Hermann Weyl mere generelle trigonometriske summer til studiet af ensartede fordelinger , senere kaldet Weyl-summer. Samtidig brugte I. M. Vinogradov Gauss-summer til at opnå et øvre estimat for den mindste kvadratiske nonresidue modulo p. Gauss-summer gør det muligt at etablere en forbindelse mellem to vigtige objekter i talteorien: multiplikative og additive tegn. Kvadratiske Gauss-summer er tæt forbundet med teorien om θ-funktioner .

Den absolutte værdi af Gauss summer er normalt fundet ved hjælp af Plancherels sætning for endelige grupper . I det tilfælde, hvor R  er et felt af p elementer, og χ er ikke-trivielt, er den absolutte værdi lig med p 1/2 . At beregne den nøjagtige værdi af de samlede Gauss-summer er ikke en let opgave.

Egenskaber for Gauss-summer for Dirichlet-karakteren

Gauss sum for Dirichlet-karakteren modulo N

Hvis χ er primitiv , så

og er især ikke lig med nul. Mere generelt, hvis N 0  er en leder af karakteren χ, og χ 0  er et primitivt Dirichlet-tegn modulo N 0 , der inducerer χ, så

hvor μ er Möbius-funktionen .

Det følger af dette, at G (χ) er ikke-nul, hvis og kun hvis N / N 0 er kvadratisk fri og relativt prime til N 0 .

Forholdet

hvor χ  er den komplekse konjugation af Dirichlet-karakteren.

Hvis χ′ er et Dirichlet-tegn modulo N ′ således, at N og N ′ er coprime, så

Se også

Litteratur

Udgaver på russisk

Jig-karakter