Stereotype rum

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 6. oktober 2020; verifikation kræver 1 redigering .

I funktionel analyse og beslægtede områder af matematik er stereotype rum en klasse af topologiske vektorrum , der er kendetegnet ved nogle særlige refleksivitetsbetingelser . Denne klasse har en række bemærkelsesværdige egenskaber, især er den meget bred (for eksempel indeholder den alle Fréchet-rum og derfor alle Banach-rum ), den består af rum underlagt en vis fuldstændighedsbetingelse og danner en lukket monoid kategori med standard analytiske midler til at konstruere nye rum, såsom overgang til et lukket underrum, kvotientrum, projektive og injektionsgrænser, operatørrum, tensorprodukter osv.

Definition og kriterium for stereotype

Et stereotypt rum [1] er et topologisk vektorrum over feltet af komplekse tal [2] , således at den naturlige afbildning til det andet dobbeltrum $x$ $\mathbb {C}$

i:X\to X^{\star \star },\quad i(x)(f)=f(x),\quad x\in X,\quad f\in X^{\star }

er en isomorfi af topologiske vektorrum (det vil sige en lineær og homeomorf kortlægning). Her er det dobbelte rum defineret som rummet af alle lineære kontinuerte funktionaler udstyret med topologien af ensartet konvergens på totalt afgrænsede sæt i , og det andet dobbeltrum er rummet dual til i samme betydning. ${\displaystyle X^{\star ))$ $f:X\to \mathbb {C}$ $x$ ${\displaystyle X^{\star \star ))$ ${\displaystyle X^{\star ))$

Følgende kriterium er sandt: [1] et topologisk vektorrum er stereotypt, hvis og kun hvis det er lokalt konveks og opfylder følgende to betingelser: $x$

pseudofuldstændighed : enhver fuldstændig afgrænset Cauchy-retningalitet i konvergerer, $x$
pseudosaturation : enhver lukket konveks afbalanceret rummelig [3] sat i er et kvarter på nul i . $D$ $x$ $x$

Pseudofuldstændighed er en svækkelse af den sædvanlige egenskab ved fuldstændighed, og pseudosaturation er en svækkelse af den barreled-egenskab for et topologisk vektorrum.

Eksempler

Hvert pseudokomplet rum med tønde (især hvert Banach-rum og hvert Fréchet-rum) er stereotypt. Et metriserbart lokalt konveks rum er stereotypt, hvis og kun hvis det er komplet. Hvis er et normeret rum, og er en svag topologi på , genereret af funktionalerne i det dobbelte rum , så er rummet stereotypt med hensyn til topologien, hvis og kun hvis det er endeligt-dimensionelt. Der er stereotype rum, der ikke er Mackey-rum . $x$ $x$ $x$ $\sigma$ $x$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $\sigma$ $x$

De enkleste forbindelser mellem egenskaberne af et stereotypt rum og dets dobbelte rum er udtrykt ved følgende liste over regelmæssigheder [1] [4] : $x$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ normable - Banach space - Smith space ; $\Langvenstrehøjrepil$ $x$ $\Langvenstrehøjrepil$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ metrizable - Fréchet space - Brauner space ; $\Langvenstrehøjrepil$ $x$ $\Langvenstrehøjrepil$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ tønde har Heine-Borel-ejendommen; $\Langvenstrehøjrepil$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ kvasi -tønde ind i enhver delmængde absorberet af enhver tønde er fuldstændig afgrænset; $\Langvenstrehøjrepil$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $T$

$x$ — Mackey-pladsen i ethvert -svagt kompakt sæt er kompakt; $\Langvenstrehøjrepil$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $x$

$x$ — Montel-rummet er tønde og har Heine-Borel-ejendommen — Montel-rummet; $\Langvenstrehøjrepil$ $x$ $\Langvenstrehøjrepil$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ — rummet med den svage topologi er endeligt dimensioneret i ethvert kompakt rum ; $\Langvenstrehøjrepil$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $T$

$x$ er adskillelig i, at der er en sekvens af lukkede underrum af endelig kodimension med trivielt skæringspunkt :. $\Langvenstrehøjrepil$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $L_{n}$ ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }L_{n}=\{0\))$

$x$ har den (klassiske) tilnærmelsesegenskab har den (klassiske) tilnærmelsesegenskab; $\Langvenstrehøjrepil$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ fuldstændig komplet [5] mættet [6] ; $\Langvenstrehøjrepil$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $\Langvenstrehøjrepil$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ — Ptak-rummet [7] ind i ethvert underrum , der efterlader et lukket spor på hver kompakt, der er sat ind , lukkes automatisk; $\Langvenstrehøjrepil$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $L$ $L\cap K$ $K$ ${\displaystyle X^{\star ))$

$x$ — et hyperkomplet mellemrum [8] i ethvert konveks balanceret sæt, der efterlader et lukket spor på hvert kompakt sæt ind , lukkes automatisk. $\Langvenstrehøjrepil$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $B$ $B\cap K$ $K$ ${\displaystyle X^{\star ))$

Historie

De første resultater, der beskriver denne type refleksivitet af topologiske vektorrum, blev opnået af M. F. Smith [9] i 1952. Yderligere forskning på dette område blev udført af B. S. Brudovsky, [10] W. S. Waterhouse, [11] K. Browner, [12] S. S. Akbarov, [1] [4] [13] [14] og E. T. Shavgulidze . [15] Udtrykket "stereotypisk rum" blev introduceret af S. S. Akbarov i 1995 [16] . Hovedegenskaberne for kategorien stereotype rum blev beskrevet af S. S. Akbarov i en række værker 1995-2017.

Pseudo-fuldførelse og pseudo-mætning

Ethvert lokalt konveks rum kan omdannes til et stereotypt rum ved hjælp af standardoperationerne beskrevet af følgende forslag. [en] $x$

1. Hvert lokalt konveks rum kan associeres med en lineær kontinuerlig afbildning til et eller andet pseudokomplet lokalt konveks rum , kaldet rumpseudofuldførelsen , på en sådan måde, at følgende betingelser er opfyldt: $x$ $\triangledown _{X}:X\to X^{\triangledown }$ ${\displaystyle X^{\triangledown ))$ $x$

$x$ er pseudokomplet, hvis og kun hvis er en isomorfi; $\triangledown _{X}:X\to X^{\triangledown }$
for enhver lineær kontinuert kortlægning af lokalt konvekse rum eksisterer der en unik lineær kontinuerlig kortlægning , således at . $\varphi :X\to Y$ $\varphi ^{\triangledown }:X^{\triangledown }\to Y^{\triangledown }$ $\triangledown _{Y}\circ \varphi =\varphi ^{\triangledown }\circ \triangledown _{X}$

Intuitivt kan man tænke på et pseudo-komplet rum som "tættest på ydersiden" pseudo-komplet lokalt konveks rum, således at operationen tilføjer nogle elementer til, men ikke ændrer topologien (svarende til den sædvanlige færdiggørelsesoperation). $x$ $x$ ${\displaystyle X\mapsto X^{\triangledown ))$ $x$ $x$

2. Ethvert lokalt konveks rum kan associeres med en lineær kontinuerlig afbildning fra et eller andet pseudo-mættet lokalt konveks rum , kaldet space pseudo -saturation , på en sådan måde, at følgende betingelser er opfyldt: $x$ $\vartriangle _{X}:X^{\vartriangle }\to X$ ${\displaystyle X^{\vartriangle ))$ $x$

$x$ er pseudomættet, hvis og kun hvis er en isomorfi; $\vartriangle _{X}:X^{\vartriangle }\to X$
for enhver lineær kontinuert kortlægning af lokalt konvekse rum eksisterer der en unik lineær kontinuerlig kortlægning , således at . $\varphi :X\to Y$ ${\displaystyle \varphi ^{\vartriangle }:X^{\vartriangle }\to Y^{\vartriangle ))$ $\varphi \circ \vartriangle _{X}=\vartriangle _{Y}\circ \varphi ^{\vartriangle }$

Pseudo-mætning af et rum kan intuitivt opfattes som "tættest på indersiden" pseudo-mættet lokalt konveks rum, sådan at operationen styrker topologien , men ikke ændrer dens elementer. $x$ $x$ $X\mapsto X^{\vartriangle }$ $x$

Hvis er et pseudokomplet lokalt konveks rum, så er dets pseudosaturation stereotyp. Dobbelt, hvis er et pseudo-mættet lokalt konveks rum, så er dets pseudo- fuldførelse stereotyp. For et vilkårligt lokalt konveks rum er mellemrummene og stereotype [17] . $x$ ${\displaystyle X^{\vartriangle ))$ $x$ ${\displaystyle X^{\triangledown ))$ $x$ ${\displaystyle X^{\vartriangle \triangledown ))$ $X^{\triangledown \vartriangle }$

Kategorien af stereotype rum

Klassen Ste af stereotype rum danner en kategori med lineære kontinuerlige afbildninger som morfismer og har følgende egenskaber: [1] [13]

Ste er en præ-abelsk kategori;
Ste - komplet og cocomplete kategori;
Ste er en selv-dobbelt kategori med hensyn til overgangsfunktioneren til det dobbelte rum; $X\mapsto X^{\star }$
Ste er en kategori med nodal nedbrydning : enhver morfisme har en nedbrydning , hvor er en streng epimorfi, er en bimorfi og er en streng monomorfi. $\varphi :X\to Y$ $\varphi =\sigma \circ \beta \circ \pi$ $\pi$ $\beta$ $\sigma$

For alle to stereotype rum og stereotype rum af operatorer fra til er defineret som pseudosaturationen af rummet af alle lineære kontinuerlige afbildninger udstyret med topologien af ensartet konvergens på fuldstændigt afgrænsede sæt. Rummet er stereotypt. Det bruges til at definere to naturlige tensorprodukter i Ste : $x$ $Y$ $Y\oslash X$ $x$ $Y$ ${\text{L}}(X,Y)$ $\varphi :X\to Y$ $Y\oslash X$

X\circledast Y:=(Y^{\star }\oslash X)^{\star },

X\odot Y:=Y\oslash X^{\star }.

Sætning. Følgende naturlige identiteter findes i kategorien Ste : [1] [14] :

\mathbb {C} \circledast X\cong X\cong X\circledast \mathbb {C} ,

\mathbb {C} \odot X\cong X\cong X\odot \mathbb {C} ,

X\circledast Y\cong Y\circledast X,

X\odot Y\cong Y\odot X,

(X\circledast Y)\circledast Z\cong X\circledast (Y\circledast Z),

(X\odot Y)\odot Z\cong X\odot (Y\odot Z),

(X\circledast Y)^{\star }\cong Y^{\star }\odot X^{\star },

(X\odot Y)^{\star }\cong Y^{\star }\circledast X^{\star },

X\oslash Y\cong Y^{\star }\oslash X^{\star },

X\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\oslash Y)\oslash Z,

(X\odot Y)\oslash Z\cong X\odot (Y\oslash Z)

Især er Ste en symmetrisk monoidal kategori med hensyn til en bifunctor , en symmetrisk lukket monoidal kategori med hensyn til en bifunctor og en indre hom-functor , og en *-autonom kategori :

\odot

\circledast

\oslash

X^{\star }\oslash (Y\circledast Z)\cong (X\circledast Y)^{\star }\oslash Z,

Kernel og kokkerne i kategorien Ste

Da Ste er en præ-abelsk kategori, har enhver morfisme i den en kerne , en kokkerne, et billede og et coimage. Disse objekter opfylder følgende naturlige identiteter: [1] $\varphi :X\to Y$

({\text{ker}}\varphi )^{\star }={\text{coker}}(\varphi ^{\star}),\qquad ({\text{coker}}\varphi) ^{\star }={\text{ker}}(\varphi ^{\star }),

({\text{im}}\varphi )^{\star }={\text{coim}}(\varphi ^{\star}),\qquad ({\text{coim}}\varphi) ^{\star }={\text{im}}(\varphi ^{\star }),

({\text{Ker}}\varphi )^{\perp \vartriangle }={\text{Im}}(\varphi ^{\star }),\qquad ({\text{Im}}\ varphi )^{\perp \vartriangle }={\text{Ker}}(\varphi ^{\star }),

{\text{Ker}}\varphi =({\text{Im}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle },\qquad {\text{Im}}\varphi =({\text{Ker}}(\varphi ^{\star }))^{\perp \vartriangle }.

Direkte og omvendte grænser i kategorien Ste

Følgende naturlige identiteter gælder: [1] [14]

{\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \prod _{i\in I}X_{i}^{\star }

{\Big (}\prod _{i\in I}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \bigoplus _{i\in I}X_{i}^{\star }

Y\oslash {\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}\cong \prod _{i\in I}(Y\oslash X_{i})

{\Big (}\prod _{j\in J}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \prod _{j\in J}(Y_{j}\oslash X)

{\Big (}\bigoplus _{i\in I}X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\bigoplus _{j\in J}Y_{j}{\Big ) }\cong \bigoplus _{i\in I,j\in J}(X_{i}\circledast Y_{j})

{\Big (}\prod _{i\in I}X_{i}{\Big )}\odot {\Big (}\prod _{j\in J}Y_{j}{\Big ) }\cong \prod _{i\in I,j\in J}(X_{i}\odot Y_{j})

{\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim _{\infty \gets i}X_{i}^{ \stjerne}

{\Big (}\lim _{\infty \gets i}X_{i}{\Big )}^{\star }\cong \lim _{i\to \infty }X_{i}^{ \stjerne}

Y\oslash {\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\cong \lim _{\infty \gets i}(Y\oslash X_{i} )

{\Big (}\lim _{\infty \gets j}Y_{j}{\Big )}\oslash X\cong \lim _{\infty \gets j}(Y_{j}\oslash X )

{\Big (}\lim _{i\to \infty }X_{i}{\Big )}\circledast {\Big (}\lim _{j\to \infty }Y_{j}{\ Big )}\cong \lim _{i,j\to \infty }(X_{i}\circledast Y_{j})

{\Big (}\lim _{\infty \gets i}X_{i}{\Big )}\odot {\Big (}\lim _{\infty \gets j}Y_{j}{\ Big )}\cong \lim _{\infty \gets i,j}(X_{i}\odot Y_{j})

(her --- direkte grænse og --- omvendt grænse i kategorien Ste ). ${\displaystyle \lim _{i\to \infty ))$ ${\displaystyle \lim _{\infty \gets i))$

Grothendieck transformation

Hvis og er stereotype mellemrum, så for alle elementer og formlen $x$ $Y$ $x\i X$ $y\i Y$

(x\circledast y)(\varphi )=\varphi (y)(x),\qquad \varphi \in X^{\star }\oslash Y

definerer en elementær tensor , og formlen $x\circledast y\in X\circledast Y=(X^{\star }\oslash Y)^{\star }$

(x\odot y)(f)=f(x)\cdot y,\qquad f\in X^{\star }

--- elementær tensor $x\odot y\in X\odot Y=Y\oslash X^{\star }$

Sætning. [1] For alle stereotype rum, og der er en unik lineær kontinuerlig kortlægning , der kortlægger elementære tensorer til elementære tensorer

x

Y

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

x\circledast y

x\odot y

\Gamma _{X,Y}(x\circledast y)=x\odot y,\qquad x\in X,\ y\in Y.

Kortlægningsfamilien definerer en naturlig transformation af en bifunctor til en bifunctor

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

\circledast

\odot

Kortlægningen kaldes Grothendieck-transformationen . $\Gamma _{X,Y}$

Egenskab for stereotype tilnærmelse

Et stereotypt rum siges at have egenskaben stereotype tilnærmelse , hvis hvert lineært kontinuerligt kort kan tilnærmes i det stereotype rum af operatører ved finit-dimensionelle lineære kontinuerlige kort. Denne tilstand er svagere end eksistensen af et Schauder-grundlag i , men formelt stærkere end den klassiske tilnærmelsesegenskab (det er dog stadig uvist (2013), om den stereotype tilnærmelse falder sammen med den klassiske). $x$ $\varphi :X\to Y$ $X\oslash X$ $x$

Sætning. [1] For et stereotypt rum er følgende betingelser ækvivalente:

x

(i) har stereotype tilnærmelsesegenskaben;

x

(ii) Grothendieck-transformationen er en monomorfi (i kategorien Ste );

\Gamma _{X,X^{\star }}:X\circledast X^{\star }\to X\odot X^{\star }

(iii) Grothendieck-transformationen er en epimorfi (i kategorien Ste );

\Gamma _{X,X^{\star }}:X\circledast X^{\star }\to X\odot X^{\star }

(iv) for hvert stereotype rum er Grothendieck-transformationen en monomorfi (i kategorien Ste );

Y

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

(v) for ethvert stereotypt rum er Grothendieck-transformationen en epimorfi (i kategorien Ste ).

Y

\Gamma _{X,Y}:X\circledast Y\to X\odot Y

Sætning. [1] Hvis to stereotype rum og har stereotype tilnærmelsesegenskaben, så har mellemrummene og også stereotype tilnærmelsesegenskaben.

x

Y

X\oslash Y

X\circledast Y

X\odot Y

Især hvis den har stereotype tilnærmelsesegenskaben, så gælder det samme for og . $x$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $X\oslash X$

Ansøgninger

Da Ste er en symmetrisk monoid kategori, genererer Ste begreberne en stereotyp algebra (som en monoid i Ste ) og et stereotyp modul (som et modul i Ste over en sådan monoid). For enhver stereotyp algebra er kategorierne Ste og Ste for venstre og højre stereotype moduler relative kategorier over Ste . [1] Dette adskiller kategorien Ste fra andre kendte kategorier af lokalt konvekse rum, da det indtil for nylig kun var kategorien Banach - rum og kategorien Fin af finit-dimensionelle rum kendt for at have denne egenskab. På den anden side er kategorien Ste så bred, og midlerne den giver til at konstruere nye rum er så forskelligartede, at det tyder på, at alle resultaterne af funktionel analyse kan omformuleres inden for stereotype teorien uden væsentlige tab. Efter denne idé kan man forsøge fuldstændigt at erstatte kategorien lokalt konvekse rum i funktionel analyse (og relaterede områder) med kategorien Ste af stereotype rum for at sammenligne de resulterende teorier for at finde mulige forenklinger - dette program blev annonceret af S. Akbarov i 2005 [18] og følgende resultater bekræfter dens betydning: $EN$ $EN$ $EN$ $EN$

I teorien om stereotype rum er tilnærmelsesegenskaben arvet af operatorrum og tensorprodukter. Dette gør det muligt at reducere antallet af modeksempler i sammenligning med teorien om Banach-rum, hvor operatørernes rum som bekendt ikke arver tilnærmelsesegenskaben. [19]
Den nye teori om stereotype algebraer gør det muligt at forenkle konstruktioner i dualitetsteorier om ikke-kommutative grupper. Især gruppealgebraer i disse teorier bliver til Hopf-algebraer i sædvanlig algebraisk forstand. [4] [14] [20]

Noter

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 S.S. Akbarov, 2003.
↑ ... eller over feltet af reelle tal med en lignende definition. $\mathbb {R}$
↑ En mængde kaldes rummelig , hvis der for hvert fuldstændigt afgrænset sæt eksisterer en endelig mængde , således at $D\subseteq X$ $A\subseteq X$ $F\subseteq X$ $A\subseteq D+F$
↑ 1 2 3 S.S. Akbarov, 2008.
↑ Et lokalt konveks rum kaldes cocomplete, hvis hver lineær funktional , der er kontinuert på hvert fuldstændigt afgrænset sæt, er kontinuert på alt . $x$ $f:X\to \mathbb {C}$ $S\subseteq X$ $x$
↑ Et lokalt konveks rum kaldes mættet , hvis det i det, for at mængden skal være et kvarter af nul, er det nok, at det er konveks, balanceret, og at der for hvert fuldstændigt afgrænset sæt eksisterer et lukket kvarter på nul i en sådan det . $x$ $B$ $B$ $S\subseteq X$ $U$ $x$ $B\cap S=U$
↑ Et lokalt konveks rum kaldes et Ptak-rum eller perfekt komplet , hvis et underrum i det dobbelte rum er -svagt lukket, når det efterlader et -svagt lukket spor på polaren af hvert kvarter på nul . $x$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $Q\subseteq X^{\star }$ $x$ $x$ ${\displaystyle U^{\circ ))$ $U\subseteq X$
↑ Et lokalt konveks rum kaldes hyperkomplet , hvis et absolut konveks sæt i det dobbelte rum er -svagt lukket, når det efterlader et -svagt lukket spor på polaren af hvert kvarter på nul . $x$ ${\displaystyle X^{\star ))$ $Q\subseteq X^{\star }$ $x$ $x$ ${\displaystyle U^{\circ ))$ $U\subseteq X$
↑ M. F. Smith, 1952.
↑ BSBrudovski, 1967.
↑ WCWaterhouse, 1968.
↑ K.Brauner, 1973.
↑ 1 2 S.S. Akbarov, 2013.
↑ 1 2 3 4 S.S. Akbarov (2017 ).
↑ SSAkbarov, ETShavgulidze, 2003.
↑ SSAkbarov (1995 ).
↑ Spørgsmålet om tilfældigheder forbliver åbent (2013). ${\displaystyle X^{\vartriangle \triangledown ))$ $X^{\triangledown \vartriangle }$
↑ SSAkbarov, 2005.
↑ A.Szankowski, 1981.
↑ J.Kuznetsova, 2013

Litteratur

Schäfer, H. Topologiske vektorrum. - Moskva: Mir, 1971.
Robertson A.P., Robertson, W.J. Topologiske vektorrum. - Moskva: Mir, 1967.
Smith, MF Pontrjagin-dualitetssætningen i lineære rum (engelsk) // Annals of Mathematics : journal. - 1952. - Bd. 56 , nr. 2 . - S. 248-253 .
Brudovski, BS Om k- og c-refleksivitet af lokalt konvekse vektorrum (engelsk) // Lithuanian Mathematical Journal : journal. - 1967. - Bd. 7 , nr. 1 . - S. 17-21 .
Waterhouse, WC Dobbelt grupper af vektorrum (engelsk) // Pac. J Math. : journal. - 1968. - Bd. 26 , nr. 1 . - S. 193-196 .
Brauner, K. Dualer af Frechet-rum og en generalisering af Banach-Dieudonne-sætningen (engelsk) // Duke Math. Jour. : journal. - 1973. - Bd. 40 , nej. 4 . - S. 845-855 .
Akbarov, S.S. Pontryagin-dualitet i teorien om topologiske vektorrum // Matematiske noter: tidsskrift. - 1995. - T. 57 , nr. 3 . - S. 463-466 . - doi : 10.1007/BF02303980 . (Russisk)
Akbarov, SS Pontryagin-dualitet i teorien om topologiske vektorrum og i topologisk algebra (engelsk) // Journal of Mathematical Sciences : journal. - 2003. - Bd. 113 , nr. 2 . - S. 179-349 . (utilgængeligt link)
Akbarov, S.S. Holomorfe funktioner af eksponentiel type og dualitet for Stein-grupper med en algebraisk forbundet enhedskomponent // Grundlæggende og anvendt matematik: tidsskrift. - 2008. - T. 14 , nr. 1 . - S. 3-178 . - arXiv : 0806.3205 . (Russisk)
Akbarov, SS Konvolutter og forbedringer i kategorier, med anvendelser til funktionel analyse (engelsk) // Dissertationes Mathematicae : journal. - 2016. - Bd. 513 . - S. 1 - 188 . - arXiv : 1110.2013 .
Akbarov, S.S.; Shavgulidze, ET Om to klasser af rum refleksive i betydningen Pontryagin (engelsk) // Mat. Sbornik: dagbog. - 2003. - Bd. 194 , nr. 10 . - S. 3-26 .
Akbarov, S.S. Kontinuerlige og glatte konvolutter af topologiske algebraer. Del 1 // Itogi nauki i tekhniki. Ser. Moderne måtte. og hendes app. Emne. anmeldelse : magasin. - 2017. - T. 129 . - S. 3-133 . - doi : 10.1007/s10958-017-3599-6 . - arXiv : 1303.2424v10 . (Russisk)
Akbarov, S.S. Kontinuerlige og glatte konvolutter af topologiske algebraer. Del 2 // Itogi nauki i tekhniki. Ser. Moderne måtte. og hendes app. Emne. anmeldelse : magasin. - 2017. - T. 130 . - S. 3-112 . - doi : 10.1007/s10958-017-3600-4 . - arXiv : 1303.2424v10 . (Russisk)
Kuznetsova, J. En dualitet for Moore-grupper // Journal of Operator Theory. - 2013. - T. 69 , nr. 2 . - S. 101-130 .
Akbarov, SS Pontryagin dualitet og topologiske algebraer (engelsk) // Banach Center Publications: tidsskrift. - 2005. - Bd. 67 . - S. 55 - 71 .
Szankowski, A. B(H) har ikke tilnærmelsesegenskaben // Act. Math.. - 1981. - T. 147 . — S. 147:89-108 .