Lukket monoidal kategori

I kategoriteori er en lukket monoid kategori en kategori, der gør det muligt at tage tensorprodukter af objekter samt overveje objekter, der svarer til sæt af morfismer. Det klassiske eksempel er kategorien af sæt , hvor der er et kartesisk produkt af sæt , samt et sæt funktioner mellem to sæt. "En genstand svarende til et sæt af morfismer" kaldes normalt en indre Hom .

Definition

En symmetrisk monoidal kategori kaldes lukket , hvis funktiontoren for nogen af dens objekter , givet ved tensormultiplikation til højre : ${\mathcal {C}}$ $B$ $B$

A\mapsto A\otimes B

har en højre adjoint , betegnet

A\mapsto (B\Højrepil A).

Det betyder, at der er en bijektion, kaldet ' currying ', mellem sættene

{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B\Rightarrow C )

hvilket er naturligt i A og i C .

Tilsvarende er en lukket monoidal kategori en kategori, der er udstyret med to vilkårlige objekter A og B , ${\mathcal {C}}$

objekt , $A\højrepil B$
og morfisme , $\mathrm {eval} _{A,B}:(A\Højrepil B)\nogle gange A\til B$

opfylder følgende universelle egenskab : for enhver morfisme

f:X\otimes A\to B

der er kun én morfisme

h:X\to A\Rightarrow B

sådan at

f=\mathrm {eval} _{A,B}\circ (h\otimes \mathrm {id} _{A}).

Det kan påvises, at denne konstruktion definerer en funktor . Denne funktion kaldes den indre funktion Hom . Mange andre notationer bruges til et objekt , for eksempel når et tensorprodukt i C er et kartesisk produkt af mængder, betegnes det normalt og kaldes et eksponentielt . $\Rightarrow :C^{op}\otimes C\to C$ $A\højrepil B$ $B^{A}$

Bilukkede kategorier

I tilfælde af en symmetrisk monoidal kategori er funktionerne for venstre tensor multiplikation og højre tensor multiplikation naturligt isomorfe , så begge kan bruges til at definere lukkethed. Hvis kategorien ikke er symmetrisk, svarer ovenstående definition til en højrelukket monoidal kategori , da vi kun krævede, at tensormultiplikation med et objekt til højre har en højre adjunktfunktion. En venstre-lukket monoid kategori er en, hvor tensor multiplikation med et objekt til venstre $EN$ $EN$

B\mapsto A\otimes B

har en venstre adjoint

B\mapsto (B\venstrepil A)

En bilukket monoidal kategori er en monoidal kategori, der er venstre og højre lukket.

Eksempler

Som nævnt ovenfor er kategorien Sæt en lukket monoidal kategori. Den er også kartesisk lukket , og enhver kartesisk lukket kategori er monoidal lukket.
Kategorien FdVect af endelig-dimensionelle vektorrum og lineære afbildninger, med det sædvanlige tensorprodukt , er en lukket monoidal. Her er vektorrummet for lineære afbildninger fra til (isomorfisk til rummet af matricer). $A\højrepil B$ $EN$ $B$

Noter

Kelly, GM, "Basic Concepts of Enriched Category Theory" Arkiveret 8. september 2012 på Wayback Machine , London Mathematical Society Lecture Note Series No.64 (CUP, 1982)
Paul-André Mellies, Categorical Semantics of Linear Logic, 2007
Lukket monoid kategori Arkiveret 3. juni 2013 på Wayback Machine på nLab [